lista_7_(derivacão_implicita)

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR - DTL
Lista 7 - Ca´lculo I
1) Determine
dy
dx
por derivac¸a˜o impl´ıcita
(a) x3 + y3 = 8xy
(b) 3
√
x+ 3
√
xy = 4y2
(c) y = cos(x− y)
(d) sec2 x+ csc2 y = 4
(e) sec2 y + cot(x− y) = tan2 x
2) Em que pontos da curva x +
√
xy + y = 1 a reta tangente e´ paralela
ao eixo x?
3) Um avia˜o voa a 152,4 m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de
1220 m no sentido oeste, tomando como refereˆncia um holofote fixado no
solo que o focaliza e que se encontra a` esquerda da projec¸a˜o vertical do
avia˜o em relac¸a˜o ao solo. Sabendo-se que a luz do holofote deve permanecer
iluminando o avia˜o, qual devera´ ser a velocidade angular de giro do holofote,
no instante em que a distaˆncia horizontal entre ele e a projec¸a˜o vertical do
avia˜o for de 610 m?
4) Uma pipa esta´ voando a uma altura de 40 m. Uma crianc¸a esta´
empinando-a de tal forma que ela se mova horizontalmente, a uma velocidade
de 3 m/s. Se a linha estiver esticada, com que velocidade a linha esta´ sendo
”dada”, quando o comprimento da linha desenrolada for 50 m?
5) Um tanque com a forma de um cone invertido esta´ sendo esvaziado a
uma taxa de 6 m3/min. A altura do cone e´ de 24 m e o raio da base e´ de
12 m. Ache a velocidade com que o n´ıvel da a´gua esta´ abaixando, quando a
a´gua estiver com profundidade de 10 m.
6) Um automo´vel aproxima-se de um cruzamento a uma velocidade de 30
m/s. Quando o automo´vel esta´ a 120 m do cruzamento, um caminha˜o a ve-
locidade de 40m/s atravessa o cruzamento. O automo´vel e o caminha˜o esta˜o
em ruas que se cruzam em aˆngulo reto. Com que velocidade o automo´vel e
o caminha˜o estara˜o se afastando um do outro, 2 segundos apo´s o caminha˜o
ter passado pelo cruzamento?
7) Ache f (5)(x), se f(x) = cos 2x− sin 2x
8) Ache a inclinac¸a˜o da reta tangente em cada ponto do gra´fico de y =
x4 + x3 − 3x2, onde a taxa de variac¸a˜o da inclinac¸a˜o e´ zero.
9) Ache (f−1)′(d), para o ponto d indicado.
(a) f(x) =
√
3x+ 1, d = 1
(b) f(x) = 3x5 + 2x3, d = 5
(c) f(x) = 1
2
cos2 x, 0 ≤ x ≤ pi
2
, d = 1/4
(d) f(x) = 2 cotx em 0 < x < pi, d = 2
(e) f(x) = 1
2
csc x, em 0 < x < pi
2
, d = 1
10) Derive as func¸o˜es. ( Na˜o esquec¸a de escrever a notac¸a˜o de derivada,
se f e´ uma func¸a˜o de x, a derivada denota-se por
df
dx
ou D
x
(f) ou f ′(x) ).
(1) f(x) = ln(4 + 5x) (2) g(t) = ln(3t+ 1)2
(3) f(t) = ln2(3t+ 1) (4) h(y) = ln(sin 5y)
(5) f(x) = ln(sec 2x+ tan 2x) (6) g(w) = ln
√
3w + 1
2w − 5
(7) f(x) =
x
ln x
(8) f(x) =
√
x+ 1− ln(1 +√x+ 1)
11) Dada f(x) = x2, definida em [0,∞). Ache a inversa de f , esboce os
gra´ficos de f e de f−1 no mesmo conjunto de eixos. Ache a inclinac¸a˜o da
reta tangente ao gra´fico de f−1 no ponto (9,3) e da reta tangente ao gra´fico
de f no ponto (3,9).
12) Derive as func¸o˜es. ( Na˜o esquec¸a de escrever a notac¸a˜o de derivada,
se f e´ uma func¸a˜o de x, a derivada denota-se por
df
dx
ou D
x
(f) ou f ′(x) ).
(1) f(x) = e5x (2) y = e−3x
2
(3) y = ecos x (4) y =
ex − e−x
ex + e−x
(5) f(x) = x5e−3 lnx (6) y = sec e2x + e2 secx
1) a)
8y − 3x2
3y2 − 8x b)
y
2
3
24x
2
3y
5
3 − x
c)
sin(x− y)
sin(x− y)− 1 d)
tan x sec2 x
cot y csc2 y
e)
2 tan x sec2 x+ csc2(x− y)
2 tan y sec2 y + csc2(x− y)
2) (1, 0), (1/3, 4/3)
3) 1/10 rad/s
4) −9
5
m/s
5)
6
25pi
m/min
6) 14 m/s
7) −32(sin 2x+ cos 2x)
8) −7/4; 5
9)
a)2/3
b)1/21
c)−2
d)−1/4
e)
−1√
3
10)
(1) 5/(4 + 5x) (2) 6/(3t+ 1)
(3)
6 ln(3t+ 1)
3t+ 1
(4)
5 cos y
sin 5y
(5) 2 secx (6) − 17
2(2w − 5)(3w + 1)
(7)
ln x− 1
ln2 x
(8)
1
2(1 +
√
x+ 1)
11) Observe que os gra´ficos de f e de f−1 sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o a`
reta y = x.
y = x2
1 2 3 4 5 6 7 8 9−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1
y =
√
x
y = x
f ′(3) = 6 e (f−1)′(9) = 1/6
12)
(1) 5e5x (2) −6xe−3x2
(3) −ecos x sin x (4) 4
(ex + e−x)2
(5) 2x (6) 2e2x sec(e2x) tan(e2x) + 2e2 secx sec(x) tan(x)