prova-de-equac3a7c3b5es-diferenciais-_-unidade-3-2-_-2013-1

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Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia
Professor: Allan de Sousa Soares
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
Aluno(a): Data: / /
Segunda Avaliac¸a˜o da Terceira Unidade 2013.1
Valor 10, 0 - Peso 3, 0
i) Na˜o e´ permitido qualquer tipo de comunicac¸a˜o entre os alunos;
ii) Justifique todos os ca´lculos e passagens;
iii) Na˜o e´ permitido a utilizac¸a˜o folhas de rascunho ou dispositivos eletroˆnicos sem a autorizac¸a˜o pre´via do professor;
iv) Desligue o celular;
v) Assine o nome em cada folha assim que receber a avaliac¸a˜o.
Questo˜es:
1) Consideremos uma situac¸a˜o formada por uma populac¸a˜o de organismos zooplanctoˆnicos. Sa˜o colocadas em um
be´quer 3 feˆmeas partenogene´ticas gra´vidas (na˜o ha´ necessidade de fecundac¸a˜o pelo macho) de um microcrusta´ceo
chamado clado´cero em condic¸o˜es ideais de alimentac¸a˜o, temperatura, aerac¸a˜o e iluminac¸a˜o e auseˆncia de predadores.
Sabendo-se que em 10 dias havia 240 indiv´ıduos determine a populac¸a˜o em func¸a˜o do tempo supondo-se que a taxa de
crescimento da populac¸a˜o e´ proporcional a` populac¸a˜o atual (crescimento exponencial). A populac¸a˜o, y(t), e´ a soluc¸a˜o
do problema de valor inicial y(0) = 3. Determine o instante em que a populac¸a˜o atingira´ 10000 indiv´ıduos.
2) Um tanque conte´m 200 litros de fluido no qual sa˜o dissolvidos 45 gramas de sal. Uma soluc¸a˜o salina contendo
1 g de sal por litro e´ enta˜o bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 litros por minuto; a mistura e´ drenada
a` mesma taxa. Encontre a quantidade de gramas de sal no tanque no istante t = 30.
3) O cafe´ esta´ a 90o C logo depois de coado e, um minuto depois, passa para 85o C, em uma cozinha a 25o C.
Determine a temperatura do cafe´ em func¸a˜o do tempo e o tempo que levara´ para o cafe´ chegar a 30o C.
4) Em um circuito RC uma bateria gera uma diferenc¸a de potencial de 10 volts enquanto a resisteˆncia e´ de 103
ohms e a capacitaˆncia e´ de 10−4 farads. Encontre a carga Q(t) no capacitor em cada instante t, se Q(0) = 0 e o
limite de Q(t) quando t tende a mais infinito.
5) Considere o problema de valor inicial
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x′′ + 3x = 0, x(0) = −1 e x′(0) = 1.
Determine:
a) A soluc¸a˜o do PV I;
b) Uma poss´ıvel interpretac¸a˜o f´ısica do item a) considerando que este trata-se de uma mola em movimento vibrato´rio
(posic¸a˜o e velocidade inicial com os respectivos sentidos).
Valor das Questo˜es
1) 2,0 2) 2,0 3) 2,0 4) 2,0 5) a) 1,0 b) 1,0
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