Lista de Equações Diferenciais II

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MAT01167 - Equações Diferenciais II - 2025/1
Lista 5
1. Dada a EDOLH e uma solução, determine uma segunda solução L.I., utilizando o método de D’Alembert,
e indique a solução geral da EDO.
a) (x− 1) y′′ − x y′ + y = 0
y1(x) = ex
b) x2y′′ + 2xy′ − 2y = 0
y1(x) = x
c) x y′′ − y′ + 4x3y = 0
y1(x) = senx2
d) (x3 − x2) y′′ − (7x2 − 6x) y′ + (15x− 12) y = 0
y1(x) = x3
2. Encontre a solução geral das EDOL de ordem 2 a seguir:
a) y′′ − 2y′ − 3y = 0
b) y′′ + 2y′ = 0
c) y′′ +
y
4
= 0
d) 4y′′ − 4y′ + y = 0
e) y′′ + 2y′ + 10y = 0
f) y′′ + 4y′ + 3y = 0
3. Determine a solução dos PVI a seguir:
a)
{
y′′ − 3y′ + 2y = 0,
y(0) = 2, y′(0) = 3.
b)
{
y′′ + 2y = 0
y(0) = 2, y′(0) = −1
c)
{
y′′ − 2 y′ + y = 0,
y(0) = 1, y′(0) = 2.
d)
{
y′′ + 2 y′ + 5 y = 0
y(0) = 1, y′(0) = −2
4. Considere o PVI {
4y′′ − y = 0
y(0) = 2, y′(0) = β
Determine β para o qual se tenha lim
x→+∞
y(x) = 0 .
5. Determine as condições que α e β devem satisfazer para que a solução do PVI{
y′′ − y′ − 2y = 0
y(0) = α, y′(0) = β
satisfaça condição lim
x→+∞
y(x) = 0.
6. As oscilaçções livres em um sistema massa–mola com amortecimento supercŕıtico são governadas pela
equação diferencial y′′ + 5 y′ + 6 y = 0 . A massa inicia seu movimento a partir da posição inicial
y(0) = 2 , com velocidade inicial y′(0) = v0 . Qual a condiçção que v0 deve satisfazer para que a
massa passe uma vez pela posição de equiĺıbrio?
7. Considere o circuito RLC representado na figura abaixo com a seguinte tensão V (t) aplicada de tal
forma que, a partir da lei de Kirchoff, a corrente i(t) deve satisfazer{
Li′′(t) +Ri′(t) +
1
C
i(t) = 0
i(0) = 2, i′(0) = β
−
+V
R L
C
onde L = 1H é a indutância do indutor, C =
1
5
F é a capacitância do
capacitor e R a resistência do resistor.
a) Para R = 2Ω e β = −2, encontre a corrente i(t) solução do PVI acima.
b) Pra a solução encontrada no item a), determine lim
t→+∞
i(t).
c) Quantas vezes a solução do item a) assume valor zero para t > 0? Isto é, em quantos instantes
t > 0 vale i(t) = 0?
d) Para R = 0Ω e β = 0, encontre a corrente i(t) solução do PVI acima.
e) Para quais valores de R a solução não é composta por funções trigonométricas?
RESPOSTAS
1) a) y2(x) = x, y(x) = C1 e
x + C2x
b) y2(x) =
1
x2
, y(x) = C1x+ C2
1
x2
c) y2(x) = cosx2, y(x) = C1 senx
2 + C2 cosx
2
d) y2(x) = x5−2x4, y(x) = C1x
3+C2(x
5−2x4)
2) a) y = C1e
−x + C2e
3x
b) y = C1 + C2e
−2x
c) y = C1 cos
(x
2
)
+ C2 sen
(x
2
)
d) y = C1e
1
2x + C2xe
1
2x
e) y = e−x (C1 cos 3x + C2 sen 3x)
f) y = C1e
−x + C2e
−3x
3) a) y(x) = ex + e2x.
b) y(x) = 2 cos
(√
2x
)
− 1√
2
sen
(√
2x
) c) y(x) = (1 + x)ex
d) y(x) (x) = −1
2
e−x sen (2x) + e−x cos (2x)
4) β = −1
5) β = −α
6) v0