Lista de Equações Diferenciais

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MAT01167 - Equações Diferenciais II - 2026/2
Lista 1
1) Verifique, por substituição direta, que cada famı́lia de funções abaixo é solução da equação diferencial
indicada, nos intervalos em que está definida.
a) y(x) = C(2 + x)
(2 + x)y′ − y = 0.
b) y(x) = 2Ce− sen x
y′ + cos(x)y = 0.
c) y(x) =
4e2x
C + e2x
y′ = 2y − 1
2
y2.
d) y(x) =
2√
C − senx
8y′ = cos(x)y3.
e) y(x) =
2
C − x2
y′ = xy2.
f) y(x) = tg(x+ C)
y′ = 1 + y2.
g) y(x) = x+
√
16x+ C
(y − x)y′ = y − x+ 8.
h) y(x) = 2 sen(x2 + C)
y′ = 2x
√
4− y2.
2) Para cada famı́lia de soluções do exerćıcio 1), isto é, para cada item determine a respectiva solução
que satisfaz y(0) = 1.
3) Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
a) y′ =
xy
1 + x2
b) (xy − x)y′ = xy2 + 2y2 − x− 2
c) y′ = ex+y
d) y′ = y + y2
e) x2y′ − y + xy = 0
f) y′ = cos2 y (ex + 2x)
4) Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a)
{
y′ = x2y2,
y(0) = 1.
b)
{
y′ = senx cos2 y,
y(0) =
π
4
.
c)
{
y′ = ex(1− y2),
y(0) = 0.
d)
y′ =
lnx
x
y2,
y(1) = 1.
5) Suponha que, inicialmente, há 120 gramas do isótopo de chumbo Pb-209. Se Q(t) representa a massa
de chumbo no instante t (em horas), temos que Q(t) satisfaz a equação
dQ
dt
= −1
5
Q.
a) Resolva o problema de valor inicial para Q(t).
b) Determine o instante de tempo T para que a massa se reduza a 60g, isto é, determine T satis-
fazendo Q(T ) = 60.
6) A meia-vida de uma substância é o tempo necessário para que metade da massa inicial se desintegre
ou se transforme em outro elemento. Por exemplo, se tivermos 100g de C-14 (isótopo carbono 14) cuja
meia-vida é 5730 anos, significa que passados 5730 anos, teremos somente 50g deste material; mais
5730 anos e teremos só 25g do material, e assim sucessivamente. Supondo que a quantidade de C-14
de uma amostra satisfaz a equação Q′(t) = αQ(t), onde α é uma constante real, responda:
1
a) Um tipo de papiro continha Q0g de C-14 quando foi produzido. Determine a função Q(t), quan-
tidade de C-14 no papiro instante t, usando o fato que Q(t) satisfaz o problema{
Q′(t) = αQ(t)
Q(0) = Q0;
sujeita a Q(5730) =
Q0
2
.
b) Um papiro do mesmo tipo foi encontrado e verificou-se que continha 0, 65Q0 de C-14. Determine
a idade do papiro. Isto é, usando a função encontrada no item a), encontre o valor de T > 0 tal
que Q(T ) = 0, 65Q0.
7) Um corpo foi encontrado dentro de uma sala fechada de uma casa onde a temperatura era constante
igual a 21 ºC. No instante da descoberta, a temperatura do corpo era de 24 ºC. Após 1h, uma nova
medição mostrou que a temperatura do corpo era de 23,5 ºC. Sabendo que a temperatura do corpo
no momento da morte era de 36,6 ºC e que a função temperatura satisfaz a Lei do Resfriamento de
Newton, isto é, que a função T (t) é solução de T ′(t) = κ(T (t)−Tm), onde Tm é a temperatura da sala,
determine quantas horas se passaram entre a morte e a descoberta do corpo.
8) Determine a solução geral da equação diferencial√
1 + x2
dy
dx
= x
(
y − 1
)3
.
Encontre a solução que satisfaz cada uma das condições iniciais a seguir.
a) y(0) = 0 b) y(0) = 1
2
2) a) y(x) = 1 +
x
2
.
b) y(x) = e− sen x.
c) y(x) =
4e2x
3 + e2x
.
d) y(x) =
2√
4− senx
.
e) y(x) =
2
2− x2
.
f) y(x) = tg
(
x+
π
4
)
.
g) y(x) = x+
√
16x+ 1.
h) y(x) = 2 sen
(
x2 +
π
6
)
.
3) a) y(x) = C
√
1 + x2
b)
y(x) = Cx2ex − 1,
y(x) = 1.
c) y(x) = − ln(C − ex)
d)
y(x) =
Cex
1− Cex
,
y(x) = −1.
e) y(x) =
C
x
e−1/x
f)
y(x) = arctan
(
ex + x2 + C
)
+ kπ, k ∈ Z,
y(x) =
π
2
+ kπ, k ∈ Z.
4) a) y(x) =
3
3− x3
.
b) y(x) = arctan(2− cosx).
c) y(x) =
e2(e
x−1) − 1
e2(ex−1) + 1
.
d) y(x) =
2
2− (lnx)2
.
5) a) Q(t) = 120e−t/5.
b) T = 5 ln 2 ≈ 3, 466 horas.
6) a) α = − ln 2
5730
, Q(t) = Q0e
− ln 2
5730 t
b) T = −5730 ln(0.65)
ln 2
≈ 3561, 13 anos.
7) κ = − ln
(
6
5
)
, T (t) = 21 + 15, 6e− ln(6/5)t. O tempo entre a morte e a descoberta foi de t∗ =
ln(15, 6/3)
ln(6/5)
≈ 9, 043 horas.
8)
y(x) = 1± 1√
C − 2
√
1 + x2
,
y(x) = 1.
a) y(x) = 1− 1√
3− 2
√
1 + x2
b) y(x) = 1
3