1a serie apostila matematica vol 3.pdf

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Matemática I
Módulo
 11
3971a Série
Construção e análise de gráficos
1. Construção de gráficos, 
dada a lei de formação (fórmula)
No exemplo anterior, percebemos que o gráfico tem uma 
vantagem visual em relação à tabela, mas a verdade é que um é 
feito a partir do outro. No caso ideal, os gráficos são criados a 
partir de uma “lei de formação”, que mostra como um elemento 
(por exemplo, o número de usuários) depende de outro (por 
exemplo, o ano). 
Essa lei de formação pode ser uma fórmula matemática ou um 
conjunto de informações tabeladas. Matematicamente, podemos 
descrever o processo de criação de um gráfico a partir de uma 
fórmula em dois passos:
Passo 1 – Montar uma tabela com vários valores da variável 
independente x na primeira coluna (à esquerda), e calcular, por meio 
da fórmula os valores correspondentes da variável dependente y, 
que deverão ser postos na coluna da direita.
Passo 2 – Os pares ordenados obtidos no passo anterior 
devem ser desenhados em um plano cartesiano. Caso o domínio 
seja formado por um conjunto finito de valores, o gráfico consistirá 
em um conjunto finito de pontos. Se o domínio for contínuo, ou 
seja, um intervalo real, o gráfico consistirá em uma linha, que pode 
eventualmente ter mais de um pedaço.
Exercícios Resolvidos
Construir o gráfico da função f(x) = x + 1 considerando como 
domínio:
a. o conjunto {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3};
b. o intervalo [–3, 3];
c. o conjunto  dos reais.
Contruindo a tabela de valores:
a. Como o domínio é formado x y = f(x)= x + 1
–3 –2
–2 –1
–1 0
0 1
1 2
2 3
3 4
por uma quantidade finita de 
valores de x, ao colocar os 
pares ordenados no plano 
cartesiano, a figura obtida é 
um conjunto de pontos 
alinhados.
b. Tomando como domínio 
o intervalo [–3, 3], que é 
contínuo, o gráfico passa a 
ter uma infinidade de pontos 
e, nesse caso, o melhor modo de representá-lo é ligando os 
pontos da figura do item (a), gerando, assim, um segmento 
de reta.
Você já ouviu a frase “uma 
imagem vale mais do que mil 
palavras”? 
Em matemática, poderíamos 
parafraseá-la como “um gráfico vale 
mais do que mil números”. Compare 
a imagem (gráfico) e os números 
das tabelas ao lado. Embora ambas 
contenham as mesmas informações, 
o gráfico permite que você tire con-
clusões visuais aproximadas mais 
rapidamente. No gráfico ao lado, 
por exemplo, podemos concluir que 
“o Facebook se manteve estável até 
2006, mas disparou em crescimento 
a partir de 2008” ou que “no ano de 
2012, o Facebook rompeu a barreira 
de 1 bilhão de usuários”.
Neste módulo, aprenderemos a construir e interpretar gráficos, além de identificar alguns padrões importantes 
como crescimento, descrescimento, pontos de anulação (raízes) e pontos extremos.
2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
Número de usuários ativos do Facebook no mundo 
em milhões
Facebook:
usuários ativos
Ano
Usuários 
em MM
2004 5
2005 10
2006 25
2007 60
2008 100
2009 350
2010 500
2011 750
2012 960
2013 1150
Matemática I – Módulo 11
398 Vol. 3
c. Se o domínio passa a ser o conjunto de todos os reais, o segmento 
de reta do item (b) deve ser prolongado nos dois sentidos, já que 
agora há valores de x maiores que 3 e menores que –3 sendo 
levados em consideração. A consequência é que o gráfico deixa 
de ser um segmento de reta e passa a ser uma reta.
a. 
A
B
C
D
E
F
G
–2
–1
–1–2–3–4 1 2 3 4
1
2
3
4
5
0
0
b. 
A
B
C
D
E
F
G
–2
–1
–1–2–3–4 1 2 3 4
1
2
3
4
5
0
0
c. 
A
B
C
D
E
F
G
–2
–1
–1–2–3–4 1 2 3 4
1
2
3
4
5
0
0
2. Crescimento, decrescimento e 
extremos locais
No exemplo inicial do módulo, pode-se identificar que o 
número de usuários está crescendo rapidamente. Em geral, é 
importante sabermos se o gráfico está indicando crescimento ou 
redução (decrescimento) de uma função pois isso pode influenciar 
nossas ações (ex: investir no Facebook dado o crescimento dele, 
descontinuar uma propaganda em um canal de TV cuja audiência 
esteja decrescendo, etc).
Diz-se que uma função é crescente quando os valores de y 
aumentam à medida em que aumentam os valores de x associados 
(1a figura), e que uma função é decrescente quando os valores 
de y diminuem à medida em que aumentam os valores de x 
associados (2a figura). Veja os gráficos abaixo:
Crescente: 
f(x)
x1 x2 x
y
f(x1)
f(x2)
+
+
Decrescente: 
f(x)
x1 x2 x
y
f(x2)
f(x1)
–
+
Uma função pode ser sempre crescente ou decrescente, 
como acontece nos exemplos acima, mas isso não é uma 
regra, ou seja, é comum gráficos apresentarem trechos de 
crescimento e trechos de decrescimento. Se o gráfico de 
uma função deixa de ser crescente e passa a ser decrescente, 
diz-se que naquele ponto a função possui um máximo local. 
De forma análoga, se o gráfico deixa de ser decrescente e 
passa a ser crescente, diz-se que naquele ponto a função 
possui um mínimo local (ver a primeira das três figuras abaixo). 
É necessário usar o termo local porque pode acontecer de 
haver outros pontos de máximo em que o gráfico é mais alto, e/
ou outros pontos de mínimo em que o gráfico é mais baixo. Se 
houver no gráfico um máximo local maior que todos os outros, 
diz-se que a função possui ali um máximo global (segunda 
figura). A ideia de mínimo global é totalmente análoga. 
Deve-se observar ainda que é possível que um extremo local 
esteja localizado em um ponto de descontinuidade do gráfico, 
como mostra a terceira figura.
f(x)
x
y
máximos locais
mínimo local
Construção e análise de gráficos
3991a Série
f(x)
x
y
máximo 
local
mínimo 
local
máximo 
global
 
–1
–2
–3
–3 –2 –1 1 2 30
0
1
2
3
4
mínimo 
local
5
Do ponto de vista algébrico, as raízes de uma função y = f(x) 
são os valores de x para os quais f(x) = 0. Falando de forma mais 
geométrica/visual, as raízes são os valores de x para os quais o 
gráfico toca, tangencia ou corta o eixo horizontal.
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6–1–2–3–4–5–6
raiz
O gráfico da função 
toca o eixo horizontal, 
mas sem tangenciar
y
x
O gráfico apenas
tangencia o eixo
horizontal.
Aqui, nota-se que o gráfico
corta o eixo horizontal.
x
y
3. Raízes e sinal da função
Nos trechos em que o gráfico da função está localizado acima 
do eixo x, diz-se que a função é positiva, porque os valores de y 
assumidos pela função são positivos nesse caso. Nos trechos 
em que o gráfico está localizado abaixo do eixo x, diz-se que a 
função é negativa porque os valores de y assumidos pela função 
são negativos nesse caso.
–4
–2
2
4
–1 –0,5–1,5 0,5 1,51
x
y
Matemática I – Módulo 11
400 Vol. 3
O que será que acontece com o gráfico de uma 
função quando se promovem pequenas alterações 
em sua fórmula? Mais especi f icamente fa lando, 
supondo que seja conhecido o gráfico da função 
y = f(x), como seriam os gráficos das funções y = – f(x), 
y = f(x) + c e y = f(x + c), em que c é uma constante real?
Considere como exemplo a função y = x2.
Na primeira figura, são vistos os gráficos das funções 
y = x2 (gráfico 1) e y = – x2 (gráfico 2). O gráfico da função 
y = – x2 nada mais é do que o gráfico da função y = x2 rebatido 
em relação ao eixo x.
Na segunda figura, são vistos os gráficos das funções 
y = x2 (gráfico 1), y = x2 + 4 (gráfico 2) e y = x2 – 2 (gráfico 
3). Nota-se que adicionar uma constante à fórmula significa 
transladar o gráfico ver ticalmente, para cima quando a 
constante for positiva, e para baixo, quando a constante for 
negativa.
Na terceirafigura são vistos os gráficos das funções 
y = x2 (gráfico 1), y = (x + 3)2 e y = (x – 5)2. Nota-se que 
adicionar uma constante à variável x significa transladar o 
gráfico horizontalmente, para a esquerda quando a constante 
é positiva, e para a direita quando a constante é negativa (aqui 
há uma tendência muito forte por parte dos estudantes em 
geral de acreditar no contrário).
gráfico 1
gráfico 2
–3
–2
–1
–2 –1 1
1
2
3
2
 
gráfico 1
gráfico 2
gráfico 3
2–2
2
4
6
8
0
0
–2
gráfico 2
gráfico 1
gráfico 3
0
0
1
2
3
4
5
6
7
–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7
As modificações apresentadas antes podem ser feitas 
simultaneamente. O gráfico da função y = 3 – (x – 4)2 aparece 
na figura abaixo. O processo de obtenção desse gráfico é o 
seguinte:
Passo 1: Traçar o gráfico de y = x2.
Passo 2: Traçar o gráfico de y =(x – 4)2.
Passo 3: Traçar o gráfico de y = – (x – 4)2.
Passo 4: Traçar o gráfico de y = 3 – (x – 4)2.
1
2
3
1 2 3 4 5 6
–1
–2
–3
–1–2
passo 1
passo 2
passo 3
passo 4
0
0
Exercícios de Fixação
01. Faça uma tabela com os valores de g x x x( )= −( )� � ³� �1
2
 para
x = – 3, – 2, –1, 0, 1, 2 , 3, esboce o gráfico da função, e em 
seguida classifique as afirmações abaixo em V ou F:
a. A função possui duas raízes. ( )
b.	 A	função	é	crescente	no	intervalo	(–∞,	–2].	(			)
c.	 A	função	é	decrescente	no	intervalo	[2,	∞).	(			)
d. A função é positiva no intervalo (–2, 2). ( )
e. A inequação g(x) < 0 possui como solução 
 S = {x ∈ ; x < –2 ou 0 < x < 2}. ( )
02. Considere a função y = f(x), que tem como domínio o intervalo 
(–2, 3) e que se anula somente em x = −
3
2
e x = 1, como se vê 
nesta figura:
1 2 3
1
–1
–2
−
1
2
−
3
2 x
f(x)
1
2
Construção e análise de gráficos
4011a Série
Assim, determine o conjunto dos valores de x para os quais 
0 < f(x)	≤	 1.	 Preocupe-se	 em	 escrever	 a	 solução	 utilizando	
linguagem apropriada.
03. 
a. As funções f e g abaixo possuem como domínio o intervalo 
[–10, 10]. Assim, determine o conjunto-solução da inequação 
f(x) – g(x)	≥	0.
2
30–10 10
y = f(x)
y = g(x)
y
x
b. No plano cartesiano da figura abaixo, estão representados os 
gráficos das funções f e g, ambas tendo como domínio o intervalo 
aberto (0, 6). Seja S o subconjunto dos números reais definido por 
S={x ∈ ; f(x) · g(x) < 0}. Determine S.
g
f
f
fg
g
x
y
1 2
3 4 5
60
04. A figura apresenta parte do gráfico da função f:	]1,	∞[→ .
x
y
0 1 2
Assinale a alternativa que melhor representa o gráfico da função 
g(x) = – f(x – 1) + 1:
(A) (C)
1
0 2 3
y
x 
1
0 1
y
x
(B) (D)
1
0 43
y
x 
1
0–2
y
x–3
05. Com relação à função f: R → R, cujo gráfico está representado 
abaixo, é correto afirmar que:
x
y
2
1
–1
–2
(A) f(f(–2)) = 1.
(B) f(f(–1)) = 2.
(C) f(f (–2)) = –1.
(D) f(f(–1)) = 0.
(E) f(–2) = 1. 
Exercícios Contextualizados
01. Para levar uma carga de caminhão dentro de um Estado, uma 
transportadora cobra R$ 10,00 fixos mais R$ 0,50 por quilo de 
carga. O preço do frete (f(x)) é função da massa em quilogramas 
(x) da carga. Construa uma tabela de valores para o transporte 
de 10 kg, 20 kg, 50kg, 80kg e 100kg, e depois coloque essas 
informações em um gráfico no plano cartesiano. O gráfico possui 
alguma característica notável?
Matemática I – Módulo 11
402 Vol. 3
02. O gráfico a seguir representa o número de pacientes atendidos 
mês a mês, em um ambulatório, durante o período de 6 meses de 
determinado ano.
20
40
60
80
jan fev mar abr mai jun x (meses)
y (no de pacientes)
Determine o número total de pacientes atendidos durante o 
semestre.
03. A figura abaixo mostra a precipitação pluviométrica em 
milímetros por dia (mm/dia) durante o último verão em Campinas. 
Se a precipitação ultrapassar 30 mm/dia, há determinado risco de 
alagamentos na região. De acordo com o gráfico, quantos dias 
Campinas teve este risco de alagamento?
71.1
63.6
56.1
48.6
41.1
33.7
26.2
18.7
11.2
3.7
22/12 03/01 15/01 27/01 08/02 20/02 03/03 15/03
Dia
PR
EC
IP
IT
AÇ
ÃO
(A) 2 dias. 
(B) 4 dias. 
(C) 6 dias.
(D) 10 dias.
(E) 12 dias.
04. A população mundial está ficando mais velha, os índices 
de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No 
gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa 
realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito 
da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. 
Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. 
Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos 
ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da 
população total nos países desenvolvidos.
490
110
95
269
461
1592
Número em milhões
Países desenvolvidos
Países em
desenvolvimento
0
5
10
15
20
25
30
35
1950 201070 90 30 50
ESTIMATIVAS
(Perspectivas da População Mundial, ONU, 2009.
Disponível em: <www.economist.com>. Acesso em: 09 jul. 2009. (adaptado)
Segundo o gráfico, o percentual de pessoas com 60 anos ou mais 
de idade, na população dos países desenvolvidos, em 2050, será 
aproximadamente:
(A) 50%. 
(B) 35%. 
(C) 32%.
(D) 20%.
(E) 12%.
05. Após a ingestão de bebidas alcoólicas, o metabolismo do 
álcool e sua presença no sangue dependem de fatores como peso 
corporal, condições e tempo após a ingestão. O gráfico mostra 
a variação da concentração de álcool no sangue de indivíduos 
de mesmo peso que beberam três latas de cerveja cada um, em 
diferentes condições: em jejum e após o jantar.
Tendo em vista que a concentração máxima de álcool no sangue 
permitida pela legislação brasileira para motoristas é 0,6 g/L, o 
indivíduo que bebeu após o jantar e o que bebeu em jejum só 
poderão dirigir após, aproximadamente:
1 2 3 4 5 6 7
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0 em jejum
após o jantar
g/L Ingestão de álcool
Tempo após ingestão
horas
Ál
co
ol
 n
o 
sa
ng
ue
Revista Pesquisa FAPESP no 57. Setembro de 2000.
(A) uma hora e uma hora e meia, respectivamente. 
(B) três horas e meia hora, respectivamente. 
(C) três horas e quatro horas e meia, respectivamente. 
(D) seis horas e três horas, respectivamente. 
(E) seis horas, igualmente. 
Construção e análise de gráficos
4031a Série
06. A pressão atmosférica diminui à medida que a altitude aumenta. 
O gráfico seguinte traduz, de modo aproximado, essa variação, 
estando a pressão atmosférica indicada em milibares e altitude 
em metros.
200
400
600
800
1000
2.000 4.000 6.000 8.000 1.0000(0,0)
Altitude (m)
Pr
es
sã
o 
at
m
os
fé
ric
a 
(m
b)
a. Qual é o valor aproximado da pressão atmosférica a uma altitude 
de 2.000 m?
b. A partir de que altitude a pressão se torna inferior a 700 mb? E a 
400 mb?
07. Em um rio há três espécies de peixe que estão sendo estudadas 
por cientistas que pretendem fazer um trabalho. Segundo modelos 
descritos a partir de dados reais, eles chegaram ao seguinte gráfico 
populacional das espécies A, B e C:
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
2.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Meses
Po
nt
ua
çã
o
C
B
A
Segundo observações do gráfico, os cientistas puderam afirmar que:
(A) no período de 0 a 2 meses, a população B manteve-se menor 
do que a de C.
(B) no quinto mês, havia menos de 3500 peixes das espécies 
observadas.
(C) no período de 0 a 5 meses, as populações de B e C mantiveram-
se crescentes.
(D) a população C atingiu seu máximo no terceiro mês.
(E) no período de 3 a 7 meses, a população B manteve-se maior 
quea de A.
08. Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São 
Paulo, no período de 1985-1996, realizado pela SEADE-DIEESE, 
apresentou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego:
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
6,0%
8,0%
12,0%
10,0%
14,0%
16,0%
Médias Anuais da Taxa de Desemprego Total
Grande São Paulo
1985-1996
Pela análise do gráfico, podemos afirmar que, no período 
mencionado:
(A) a maior taxa de desemprego foi de 14%.
(B) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor no período.
(C) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente.
(D) no período de 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 
8% e 16%.
(E) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido 
entre 1988 e 1991.
09. A obsidiana é uma pedra de origem vulcânica que, em contato 
com a umidade do ar, fixa água em sua superfície formando uma 
camada hidratada. A espessura da camada hidratada aumenta de 
acordo com o tempo de permanência no ar, propriedade que pode 
ser utilizada para medir sua idade. O gráfico a seguir mostra como 
varia a espessura da camada hidratada, em mícrons, em função 
da idade da pedra.
0
5
10
15
20.000 40.000 60.000 80.000 100.000 120.000 140.000
Idade (em anos)
Es
pe
ss
ur
a 
hi
dr
at
ad
a 
(e
m
 m
íc
ro
ns
)
Com base no gráfico, pode-se concluir que a espessura da camada 
hidratada de uma obsidiana:
(A) é diretamente proporcional à sua idade.
(B) dobra a cada 10.000 anos.
(C) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais jovem.
(D) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais velha.
(E) a partir de 100.000 anos não aumenta mais.
Matemática I – Módulo 11
404 Vol. 3
10. No arremesso de um corpo, os dados aproximaram sua 
trajetória pelo gráfico em questão.
2 4
3
4
O eixo horizontal representa o tempo, medido em segundos, e o eixo 
vertical marca a altitude (em km) em que o corpo se encontra em 
determinado instante. Cada quadriculado da malha do gráfico é uma 
unidade de tempo por uma unidade de comprimento. Assim sendo:
a. Calcule a taxa de crescimento da altitude entre o segundo e o 
quarto segundos.
b. Depois de quantos segundos após atingir 3 km de altitude pela 
primeira vez, o corpo atingirá 3 km de altitude pela segunda 
vez?
Exercícios de Aprofundamento
01. Considere a função f: [0, + ∞) → [0, + ∞) dada por 
f x
x
x
( )=
+
�
1
. A função f é crescente? Justifique.
02. A figura indica o gráfico da função f, de domínio [–7; 5], no plano 
cartesiano ortogonal. Determine o número de soluções da equação 
f(f(x)) = 6.
–1
–2
–3
–4
–5
–6
1
2
3
4
5
6
–6–7 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 x
y
Rascunho
Matemática I
Módulo
 12
4051a Série 
Funções e construção e 
análise de gráficos: exercícios
Exercícios de Fixação
01. Sendo f(x) = 3x – a, em que a é um número real fixado, calcule 
f(2a) – f(a – 1).
(A) 2a – 3. (D) 2a – 1.
(B) 2a. (E) 1 – a.
(C) 3(a + 1). 
02. Dos gráficos, o único que representa uma função de domínio 
[– 1,1] e imagem [1,3] é:
(A) (D)
y
x
3
1–1 0
1
 
3
x
y
1–1 0
1
(B) (E)
y
3
1
1
–1 0
x
 
y
x
10
1
3
–1
(C)
1–1 0
3
1
y
x
03. Para que a função g: → dada por:
g x
x
x
( ) = −
−
8
25
faça sentido, precisamos retirar qual(is) valor(es) do seu domínio? 
Para qual(is) valor(es) de x essa função g assume o valor zero, ou 
seja, quais são as raízes dessa função?
04. Frequentemente a palavra “regra” é utilizada para fazer 
referência à maneira como os elementos do domínio de uma 
função se associam com os elementos do contradomínio. No 
entanto, a palavra “regra” pode nos fazer crer que toda associação 
deve ter alguma regra explícita e intuitiva, ou que toda associação 
pode ser representada por uma fórmula algébrica, o que não 
necessariamente é verdade. Para exemplificar, consideremos os 
conjuntos A = {1,2,3} e B = {0,1}. Exiba todas as funções 
possíveis de A em B (considerando A como domínio e B como 
contradomínio). Isso pode ser feito tanto listando explicitamente 
as imagens dos números 1, 2 e 3 em cada caso quanto utilizando 
diagramas de flechas.
05. O triângulo a seguir tem altura 8 e base 10, e o retângulo dentro 
dele tem altura y e base x. Calcule y em função de x.
X
A B
D C ZY
Exercícios Contextualizados
01. O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, 
no período das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram 
acentuadamente em curtos intervalos de tempo.
10 11 12 13 14 15 16 17
460
380
330
280
200
150
100
Valor da Ação (em reais)
Tempo
(em horas)
Nesse dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo 
volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com 
a tabela a seguir.
Investidor Hora da compra Hora da venda
1 10:00 15:00
2 10:00 17:00
3 13:00 15:00
4 15:00 16:00
5 16:00 17:00
Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, 
qual investidor fez o melhor negócio?
Matemática I – Módulo 12
406 Vol. 3
02. A figura a seguir apresenta dois gráficos com informações 
sobre as reclamações diárias recebidas e resolvidas pelo Setor 
de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, em uma 
dada semana. O gráfico de linha tracejada informa o número de 
reclamações recebidas no dia, e o de linha contínua é o número de 
reclamações resolvidas no dia. As reclamações podem ser resolvidas 
no mesmo dia ou demorarem mais de um dia para serem resolvidas. 
Qui Sex Sáb Dom Seg Ter Qua
30
20
10
0
O gerente de atendimento deseja identificar os dias da semana 
em que o nível de eficiência pode ser considerado muito bom, ou 
seja, os dias em que o número de reclamações resolvidas excede 
o número de reclamações recebidas.
Disponível em:<www.bibliotecaunix.org>. 
Acesso em: 21 jan. 2012. (adaptado).
Determine em que dias o gerente de atendimento pôde concluir 
que o nível de eficiência foi muito bom, baseado no conceito de 
eficiência utilizado na empresa e nas informações do gráfico.
03. O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à 
pecuária, pois as atividades ligadas a essas produções incluem 
fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, 
industrialização e comercialização dos produtos. O gráfico seguinte 
mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro:
21,33
22,24 22,87
23,26
25,31
27,79
25,83
23,92 24,74
26,46
28,28
30
25
20
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou 
uma queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a 
posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais.
Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de:
(A) 1998 e 2001.
(B) 2001 e 2003.
(C) 2003 e 2006.
(D) 2003 e 2007.
(E) 2003 e 2008.
04. Paulo é um zoólogo que realiza suas observações em um ponto, 
o de observação, e guarda seus equipamentos em outro ponto, o de 
apoio. Em certo dia, para realizar seu trabalho, fez o seguinte trajeto:
• Partiu do ponto de apoio com destino ao de observação e, 
na metade do caminho, voltou ao ponto de apoio, para pegar 
alguns equipamentos que havia esquecido. Ali demorou apenas 
o suficiente para encontrar tudo de que necessitava. Em seguida, 
partiu novamente em direção ao ponto de observação, e lá chegou.
• Depois de fazer algumas observações e anotações, partiu com 
destino ao ponto de apoio. Após alguns minutos de caminhada, 
lembrou que havia esquecido o binóculo no ponto de observação 
e, nesse instante, retornou para pegá-lo. Ao chegar ao ponto de 
observação, demorou ali um pouco mais, pois avistou uma espécie 
rara e resolveu observá-la. Depois disso, retornouao ponto de 
apoio, para guardar seus equipamentos, encerrando o seu trabalho 
nesse dia. O gráfico a seguir mostra a variação da distância do 
zoólogo ao ponto de apoio, em função do tempo, medido em 
minutos, a partir do instante em que ele deixou o ponto de apoio 
pela primeira vez.
distância (metros)
tempo (metros)50 10 15 25 35 40 45 55 75
Com base nas informações apresentadas e no gráfico acima, 
classifique em (V) ou (F) as afirmativas abaixo:
I. O zoólogo chegou ao ponto de apoio, para pegar os 
equipamentos que ali havia esquecido, 10 minutos depois de 
ter saído desse ponto pela primeira vez.
II. O zoólogo chegou ao ponto de observação, pela primeira vez, 
15 minutos depois de ter saído do ponto de apoio, após apanhar 
os equipamentos que ali havia esquecido.
III. O zoólogo esteve no ponto de observação durante 20 minutos.
IV. O zoólogo notou que havia esquecido o binóculo, 5 minutos 
após deixar o ponto de observação.
V. O tempo transcorrido da chegada do zoólogo ao ponto de 
observação, pela primeira vez, a sua chegada ao ponto de 
apoio, para encerrar o trabalho, foi de 50 minutos.
05. Uma grande empresa recebeu 5.750 currículos de profissionais 
interessados em par ticipar do processo de seleção para 
preenchimento de vagas de estágios. O departamento de Recursos 
Humanos (RH) da empresa é capaz de, por meio de uma primeira 
triagem, descartar 300 currículos por semana, até que sobrem 50 
nomes de candidatos que participarão do processo de seleção.
a. Como se expressa a quantidade de currículos (y) existentes 
após x semanas do início da triagem feita pelo RH?
b. Após quantas semanas serão conhecidos os nomes dos 50 
candidatos?
Funções e construção e análise de gráficos: exercícios
4071a Série
06. Um trem acelera uniformemente em uma ferrovia reta, e sua 
velocidade varia de 0 a 90 km/h em 20 s. Chegando a 90 km/h, 
mantém sua velocidade durante 10 s e depois freia em 30 s, 
chegando novamente a 0. Determine a área da figura formada pelo 
gráfico v x t e o eixo horizontal.
07. Um desfibrilador é um equipamento utilizado em pacientes 
durante parada cardiorrespiratória com objetivo de restabelecer 
ou reorganizar o ritmo cardíaco. O seu funcionamento consiste em 
aplicar uma corrente elétrica intensa na parede torácica do paciente 
em um intervalo de tempo da ordem de milissegundos.
O gráfico seguinte representa, de forma genérica, o comportamento 
da corrente aplicada no peito dos pacientes em função do tempo.
0 2 4 6 8
–20
0
20
40
60
80
0,1
3,9
5,2
7,2
1,4
t (ms)
I (A)
De acordo com o gráfico, a contar do instante em que se inicia 
o pulso elétrico, a corrente elétrica inverte o seu sentido após 
quantos segundos?
08. A figura abaixo representa o boleto de cobrança da mensalidade 
de uma escola referente ao mês de junho de 2008.
Banco S.A.
Pagável em qualquer agência bancária até a data de vencimento
Data documento
02/06/2008
Uso do banco
Instruções
Observação: no caso de pagamento em atraso, cobrar multa de 
R$ 10,00 mais 40 centavos por dia de atraso.
Cedente
Escola de Ensino Médio
vencimento
30/06/2008
Nosso número
(=) Valor documento
R$ 500,00
(–) Descontos
(–) Outras deduções
(+) Mora/Multa
(+) Outros acréscimos
(=) Valor cobrado
Agência / Código cedente
Temos que M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, e 
x é o número de dias em atraso. Determine a função que oferece 
o valor do boleto para pagamento com atraso e calcule o valor de 
uma mensalidade com 12 dias de atraso.
09. Um vendedor recebe de uma firma uma comissão de 10% no 
valor das vendas, quando estas atingem a faixa de R$ 2.000,00 
a R$ 20.000,00. Porém, para vendas acima de R$ 20.000,00, a 
firma concede 15% de comissão sobre o total das vendas, mais 
R$ 50,00. Sendo x o total de vendas, pede-se: 
a. a função comissão C(x); 
b. a comissão C(x) numa venda de R$ 10.000,00; 
c. a comissão C(x) numa venda de R$ 50.000,00.
10. O gráfico indica o imposto a pagar I (em reais) sobre uma renda 
líquida R (em reais).
Com base nesse gráfico, uma pessoa que teve renda líquida de 
R$ 1.500,00 pagará imposto no valor de:
190
135
900 1800 2000
R (R$)
I (R$)
1500
y
0
(A) R$ 60,00. 
(B) R$ 70,00. 
(C) R$ 80,00.
(D) R$ 90,00.
(E) R$ 100,00.
Exercícios de Aprofundamento
01. Com duas torneiras A e B, aber tas simultaneamente, 
consegue-se encher um tanque de água em y minutos. Encher 
esse tanque com a torneira A aberta e a torneira B fechada demora 
x minutos a mais do que com a torneira A fechada e a torneira B 
aberta. Calcule y em função de x, sabendo que a torneira A, sozinha, 
enche o tanque em 10 minutos.
02. Determine o valor da expressão:
f f f f f
1
2000
2
1999
3
1998
1998
3
1




+





+





+ +





+...
9999
2
2000
1
1
2
2





+






( ) =
+
f
f x
x
x
em que .em que 
f f f f f
1
2000
2
1999
3
1998
1998
3
1




+





+





+ +





+...
9999
2
2000
1
1
2
2





+






( ) =
+
f
f x
x
x
em que ..
Matemática I
Módulo
 13
408 Vol. 3
Função afim e funções poligonais
1. Definição
Uma função f: →  é dita afim se sua expressão algébrica for 
da forma f(x) = ax + b,	com	a	e	b	sendo	números	reais	e	a	≠	0.	O	
coeficiente a é chamado de taxa de variação, taxa de crescimento 
(ou decrescimento), inclinação, ou ainda de coeficiente angular. O 
coeficiente b é chamado de coeficiente linear.
Exs.:
a. f(x) = 2x + 3
b. g(x) = –5x + 7
c. h(x) = –2x/3 – 5
d. f(x) = 6x
Obs.: Quando a = 0 a função f(x) = b é dita constante, e o gráfico 
é uma reta horizontal que corta o eixo y em b. Quando b = 0, a 
função f(x) = ax é dita linear. Nesse caso, as variáveis y e x são 
diretamente proporcionais, e o gráfico contém a origem do sistema 
cartesiano de coordenadas.
2. Gráfico
Ex.1:
Vamos construir, por meio de uma tabela, o gráfico da função 
f(x) = 2x + 3. Atribuindo à variável x os valores –1, 0, 1, 2, obtém-
se como imagens, respectivamente, 1, 3, 5, 7. Representando 
os pares ordenados obtidos no plano cartesiano, nota-se que os 
pontos ficam alinhados, ou seja, formam uma reta.
x f(x) = 2x + 3
–1 1
0 3
1 5
2 7
–3 –2 –1 0 1
1
2
2
3
3
4
5
6
7
B
C
D
E
0
Você saberia dizer o que há de comum entre uma 
corrida de táxi e a mensalidade de uma academia?
Assim que entra no táxi o cliente já paga um valor, 
que é fixo, independente do trajeto, da distância ou do 
tempo da corrida, a chamada bandeirada. No Rio de 
Janeiro, por exemplo, a bandeirada custava R$ 4,80 em 
janeiro de 2014. Além disso, é cobrado um valor por cada 
quilômetro rodado (R$ 1,95 na chamada bandeira 1, ou 
R$ 2,34 na bandeira 2).
Da mesma forma, ao entrar em uma academia, é 
comum o pagamento de uma taxa de matrícula, que é 
fixa, e mais uma mensalidade. Se em um determinado 
momento o cliente quiser saber quanto já gastou, basta 
multiplicar o número de meses desde que entrou na 
academia pelo valor da mensalidade e somar a isso o 
valor da taxa de matrícula.
As situações descritas acima podem ser modeladas 
matematicamente por meio de funções afins, que 
constituem a mais simples e ao mesmo tempo uma das 
mais importantes classes de funções estudadas no ensino médio. Também conhecidas vulgarmente como funções 
do 1o grau, as funções afins serão apresentadas em detalhes neste módulo.
©
 iS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
 / 
In
ne
rs
ha
do
w
s
©
 iS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
 / 
le
pa
s2
004
Função afim e funções poligonais
4091a Série
Ex. 2: 
Se for adotado o mesmo procedimento do exemplo 1 para a 
função f(x) = –x + 4, nota-se que o gráfico obtido também é uma 
reta, porém decrescente, como se pode observar na figura a seguir:
A
B
C
D
E
F
B
1
1–1–2
2
2
3
3 4
4
5
6
7
5
Dos exemplos acima, pode-se intuir que o gráfico de toda 
função afim é uma reta, que é crescente quando a > 0 e 
decrescente quando a < 0.
Obs.: Como já foi dito anteriormente, quando a=0 a função f(x)=b 
é dita constante, e o gráfico é uma reta horizontal que corta o eixo 
y em b. Isso poderia despertar a seguinte dúvida: já que uma função 
afim possui como gráfico uma reta crescente ou decrescente e uma 
função constante possui como gráfico uma reta horizontal, será que 
uma reta vertical também pode ser gráfico, seja de uma função 
afim, seja de outro tipo de função qualquer? A resposta é não. Uma 
reta vertical no plano cartesiano é a representação da situação 
em que um único valor de x encontra-se em correspondência 
com todos os valores reais de y ou, em outras palavras, trata-se 
de um caso em que temos um único elemento do domínio com 
infinitas imagens.
b
x
y
a>0
x
b
a<0
y
A justificativa matemática para a afirmação acima vem do 
fato de que dados dois pontos quaisquer do gráfico da função 
f(x)=ax+b, A(x1,y1) e B(x2,y2), o segmento de reta AB forma 
sempre o mesmo ângulo com a horizontal, como mostra o 
cálculo a seguir:
Passo 1: substituindo as coordenadas dos pontos A e B na 
fórmula que define a função f, obtém-se:
y ax b
y ax b
1 1
2 2
 = + 
 = + 



Passo 2: Subtraindo as duas equações de baixo pra cima:
y y a x x a
y y
x x
y
x
tg 2 1 2 1
2 1
2 1
− = −( ) → = −
−
= =
∆
∆
α
Na fórmula acima, α representa o ângulo formado pelo 
segmento AB e o eixo horizontal, levando-se em consideração 
que o ângulo está sendo medido a partir do eixo x e no sentido 
anti-horário.
Obs.: A fórmula de uma função e o seu gráfico estão intimamente 
relacionados. Na verdade, são de duas representações diferentes 
(a primeira, algébrica, a segunda, geométrica) de um mesmo 
objeto. Em problemas de matemática, é comum essa relação ser 
explorada em ambos os sentidos. Sendo assim, o aluno deve estar 
preparado para:
a. Dada a fórmula da função, obter todas as informações possíveis 
sobre o seu gráfico, o que será feito no ponto (3), a seguir.
b. Dadas informações suficientes sobre o gráfico, obter a fórmula 
da função, o que será feito no ponto (4), logo depois.
3. Pontos notáveis do gráfico
Uma vez que se sabe que o gráfico de toda função afim é uma 
reta, e levando em consideração que uma reta fica determinada por 
dois pontos, a tarefa de desenhar o gráfico de uma função afim, 
dada a sua fórmula, fica agora mais simples. Basta escolher dois 
valores para x, calcular os valores correspondentes para y, desenhar 
os dois pontos no plano cartesiano e ligá-los.
De maneira geral, costuma ser relevante saber quais são os 
pontos de interseção entre o gráfico de uma função e os eixos 
coordenados, e é fácil obter esses pontos no caso de uma função afim.
É fato conhecido que todo ponto do plano é representado 
algebricamente por um par ordenado. Isso vale, em particular, 
para os pontos localizados sobre os eixos cartesianos. Quando um 
ponto está no eixo x, sua coordenada y é igual a zero, e portanto o 
ponto é da forma (x, 0). Analogamente, um ponto que está sobre 
o eixo y é sempre da forma (0, y). Para saber em que ponto(s) um 
gráfico encontra cada um dos eixos, basta anular, uma de cada vez, 
a coordenada relativa ao outro eixo na fórmula da função.
Matemática I – Módulo 13
410 Vol. 3
Considere uma função afim representada genericamente na forma 
y = ax + b. Fazendo x = 0, temos y = b, e portanto o gráfico 
contém o ponto (0, b), que é o ponto de interseção do gráfico 
com o eixo y. Analogamente, fazendo y = 0, temos x = –b/a, e 
portanto o gráfico também contém o ponto (–b/a, 0), que é o ponto 
de interseção do gráfico com o eixo x. A abscissa desse ponto, 
x = –b/a, é dita raiz ou zero da função afim.
(0,b)
x
y
−





b
a
, 0
0
Exercício Resolvido
Desenhar o gráfico da função f(x) = 2x + 3, usada como exemplo 
no início do módulo, destacando os pontos notáveis do gráfico.
O esquema apresentado abaixo, de anular uma de cada vez 
as coordenadas x e y na fórmula para calcular o valor da outra 
coordenada, pode ser organizado através de uma tabela:
x y
0 3
– 3/2 0
y
x
1
–1–2
2
3
(0,3)
−3
2
,0





0
4. Como determinar a equação da reta 
que passa por dois pontos dados
Um dos postulados da geometria plana afirma que dois pontos 
distintos no plano determinam uma reta. Isso significa, em primeiro 
lugar, que existe uma reta r passando pelos dois pontos dados 
(existência) e, em segundo lugar, que não existe nenhuma outra 
reta com essa característica, ou seja, a reta r é única (unicidade). O 
verbo determinar, neste caso, possui significado bastante específico 
do ponto de vista matemático.
Algebricamente isso equivale a dizer que, dadas as coordenadas 
de dois pontos no plano, é possível determinar a fórmula da função 
(que necessariamente é afim) cujo gráfico é a (única) reta que 
contém os pontos dados. O termo “determinar a equação da reta” 
pode ser entendido como “determinar a fórmula da reta”, ou seja, 
determinar a lei de formação da função cujo gráfico é a reta.
Exercício Resolvido
Determinar a equação da reta que passa pelos pontos A(2,1) e 
B(5,16).
Como a reta em questão é gráfico de alguma função afim, podemos 
assumir que sua equação é do tipo y = ax + b. Sendo assim, 
determinar a equação da reta significa encontrar os valores dos 
coeficientes a e b. Em relação aos dados, saber que a reta passa 
por dois pontos de coordenadas conhecidas significa dizer que 
essas coordenadas (x e y) podem ser substituídas na fórmula, 
gerando duas equações com duas incógnitas (a e b).
Substituindo as coordenadas do ponto A(2,1), obtemos 1 = 2a + b.
Substituindo as coordenadas do ponto B(5,6), obtemos 
16 = 5a + b
 
Resolvendo o sistema formado por essas duas equações, tem-se que 
a = 5 e b = –9, de modo que a equação da reta em questão é 
y = 5x –9.
Obs.: Uma forma alternativa de resolução do problema é determinar 
diretamente a inclinação da reta por meio da fórmula.
a
y
x
= =
−
−
= =
∆
∆
16 1
5 2
15
3
5
Se y = ax + b e já se sabe que a = 5, a equação da 
reta fica y= 5x + b, restando apenas uma variável a 
determinar. Substituindo as coordenadas do ponto A(2,1) 
(ou do ponto B, tanto faz), por exemplo, tem-se que 
1 = 5× 2 + b → b= –9, e portanto a equação da reta é y = 5x –9.
5. Estudo do sinal da função afim, 
quadro de sinais e desigualdades
5.1. Estudo do sinal da função afim
a f x se x
b
a
e f x se x
b
a
a< 0 f x se x
b
a
e f x
> → ( ) > > − ( ) < < −
→ ( ) > < − ( )
0 0 0
0 << > −0 se x
b
a
Função afim e funções poligonais
4111a Série
5.2. Desigualdades envolvendo fatores 
afins (Inequações do 1o grau)
5.2.1 Inequações do tipo produto-quociente e quadro 
de sinais
Inequações do tipo produto-quociente são inequações da forma
N N N
D D D
1 2 3
1 2 3
0
× × ×…
× × ×…
>
As seguintes características devem ser observadas:
a. O lado esquerdo da desigualdade é formado por uma única 
parcela (não confundir parcela com fator).
b. N1, N2, N3,… e D1, D2, D3,… são todos fatores da forma 
ax + b.
c.	 O	sinal	pode	ser	qualquer	um	dentre	>,	≥,	<,	≤.
d. O lado direito da desigualdade é necessariamente igual a zero.
Uma inequação nesse formato pode ser resolvida por meio da 
utilização de uma ferramenta conhecida comoquadro de sinais. 
O principal objetivo do quadro é fornecer um estudo do sinal da 
expressão que se encontra do lado esquerdo da inequação a partir 
do estudo do sinal dos fatores que a compõem. Para isso, os 
seguintes passos devem ser seguidos:
I. No topo de cada coluna do quadro deve-se colocar uma 
das raízes dos fatores que aparecem do lado esquerdo da 
desigualdade, e essas raízes devem ser dispostas ao longo 
das colunas em ordem crescente, da esquerda para a direita.
II. No canto esquerdo de cada linha deve-se colocar um dos 
fatores que aparecem do lado esquerdo da desigualdade.
III. Estuda-se o sinal de cada fator.
IV. Analisa-se se os valores encontrados em (I) pertencem ou não 
à solução.
V. Por meio da regras de multiplicação e divisão entre sinais, 
determina-se o conjunto solução.
Exercícios Resolvidos
01. Determinar os valores de x para os quais (3 – x)(2x	+	5)	≥	0.
Raízes: –5/2 e 3.
–5/2 3
y = 3 – x
y = 2x + 5
+ +
+ +
+
–
–
––
Portanto, a solução é: x∈ −[ , ].
5
2
3
02. Determine para quais valores reais de x vale a desigualdade 
( )( )
( )( )
2 1 3
2 3 1
0
x x
x x
+ − +
− − +
< .
Para facilitar a notação, chamemos o lado esquerdo da inequação 
de y, ou seja, y
x x
x x
=
+( ) − +( )
−( ) − +( )
2 1 3
2 3 1
.
Sendo assim, a inequação pode ser escrita simplesmente como 
y < 0. Como trata-se de uma inequação do tipo produto-quociente, 
a solução é montar o quadro de sinais associado.
2x + 1
–3x + 1
x – 2
– x + 3
y +
+
+ +
+ +
+
+
+
+++ +
+
+
–
–
–
–
–
– –
–
––
–1/2 1/3 2 3
Logo, x∈ − ∪( , ) ( , )
1
2
1
3
2 3
Desigualdades mais gerais envolvendo 
fatores afins
Determinar os valores reais de x para os quais x
x
x
x
−
−
<
−
−
3
2
3
1 3
.
Cuidado! Se ao invés de uma desigualdade tivéssemos 
uma igualdade na situação acima, a solução do problema 
seria bem simples. Bastaria multiplicar os meios e os extremos 
da proporção de forma cruzada e o problema cairia em uma 
equação do segundo grau. Entretanto, o raciocínio que estaria 
100% correto no caso de uma equação não pode ser aplicado 
a uma inequação. Não se pode cortar fatores iguais ou opostos 
(seria o caso do fator x – 3) e nem multiplicar as frações de 
forma cruzada. Ao passar multiplicando um termo que contém 
incógnita (seria o caso dos fatores x – 2 e 1 – 3x), não se pode 
afirmar qual é o sinal deste termo (que pode ser positivo, zero 
ou negativo dependendo de x), e portanto não se pode afirmar 
o que vai acontecer com o sinal da inequação original (quando 
se passa multiplicando um termo positivo nada acontece com 
o sinal, ao passo que se o termo for negativo deve-se trocar 
o sinal). Exatamente pelo fato de haver essa dúvida é que o 
procedimento adotado precisa ser outro.
Para resolver uma desigualdade como essa, a ideia é 
passar todos os termos para o lado esquerdo da inequação 
(subtraindo), tirar o mmc entre os denominadores para 
ficar com apenas uma parcela do lado esquerdo, fatorar o 
numerador (caso seja possível) e então montar o quadro
Matemática I – Módulo 13
412 Vol. 3
de sinais (já que, realizadas todas as operações citadas, a 
inequação se transformará em uma inequação do tipo produto-
quociente, abordada no tópico anterior).
Solução: 
x
x
x
x
x x x x
x x
x
−
−
−
−
−
< →
− − − − −
− −
< →
− +
3
2
3
1 3
0
3 1 3 3 2
2 1 3
0
3
( )( ) ( )( )
( )( )
( ))( )
( )( )
( )( )
( )( )
.
− + − +
− − +
< →
− + +
− − +
<
1 3 2
2 3 1
0
3 2 1
2 3 1
0
x x
x x
x x
x x
Pode-se observar que a desigualdade obtida é a mesma do 
exercício resolvido anterior, e portanto a solução do problema 
também é a mesma.
6. Funções poligonais
6.1 Funções definidas 
por mais de uma sentença
Uma função pode ser definida por mais de uma fórmula em 
trechos diferentes do seu domínio.
Exemplo: f x
x se x
x x se x
se x
( ) =
− <
+ ≤
>





≤
4 2 2
2
6 4
42
,
,
,
É importante observar, nesses casos, que o domínio de 
validade de cada uma das fórmulas que juntas definem a função f 
é especificado imediatamente ao lado da própria fórmula.
Exercício Resolvido
Para a função f definida anteriormente, calcular f(1) + f(3) + f(7).
Solução: 
Para calcular f(1) deve ser utilizada a primeira fórmula, já 
que 1 < 2. Para calcular f(3) deve ser utilizada a segunda 
fórmula, já que 2 < 3 < 4. Por fim, para calcular f(7) deve 
ser utilizada a terceira fórmula, já que 7 > 4. Sendo assim, 
f(1) = 4 · 1 – 2 = 2, f(3) = 32 + 3 = 12, e f(7) = 6. Portanto 
f(1) + f(3) + f(7) = 2 + 12 + 6 = 20, o que conclui o exercício.
Já que em cada trecho do domínio a função é definida por 
fórmulas diferentes, a consequência natural deste fato é que em 
cada um desses trechos o gráfico também tem formatos diferentes. 
Quando uma função é definida por mais de uma sentença, portanto, 
seu gráfico é uma composição de vários partes. Uma pergunta 
interessante é a seguinte: será que essas partes se conectam? 
Quando observado como um todo, o gráfico da função é uma linha 
contínua, que pode ser desenhada sem que pra isso seja necessário 
tirar o lápis do papel?
Essa pergunta pode ser respondida de maneira simples quando 
o domínio da função é toda a reta real. Basta substituir os valores 
de x localizados em cada fronteira entre dois trechos diferentes 
do domínio nas duas respectivas fórmulas. Se o y encontrado for 
o mesmo nos dois casos, significa que os gráficos se conectam; 
caso contrário, não.
Voltando ao exemplo, nota-se que uma mudança de fórmula 
ocorre em x = 2, e a outra em x = 4. Fazendo x = 2 na primeira 
e na segunda fórmulas encontra-se 4 × 2 – 2 = 6 e 22 + 2 = 6, 
respectivamente, o que indica que o primeiro trecho do gráfico 
encontra o segundo. Fazendo x = 4 na segunda e na terceira fórmulas 
encontra-se 42 + 4 = 20 e 6, respectivamente, o que indica que o 
segundo e o terceiro trechos do gráfico não se conectam.
6.2 Funções poligonais
Diz-se que uma função é poligonal quando seu gráfico é uma 
linha poligonal, o que equivale a dizer que a função é definida por 
várias sentenças em trechos diferentes do domínio sendo, em cada 
um desses trechos, coincidente com uma função afim.
Um exemplo bastante comum do cotidiano em que 
funções poligonais ocorrem naturalmente é o da modelagem 
do valor pago pela conta de telefone em função da quantidade 
de minutos falados. Suponha, por exemplo, que um plano de 
celular cobre 200,00 por mês dando ao cliente direito a 400 
minutos em ligações e que, a partir daí, o minuto excedente 
custe 0,75. A função que modela a situação descrita é:
f t
se t
t se t
( ) =
≤ ≤
+ × −( ) >




200 00 0 400
200 00 0 75 400 400
,
, , ,
O gráfico desta função deve ser pensado por partes. Se 
o cliente falar em um mês qualquer quantidade abaixo de 400 
minutos (inclusive), o valor a ser pago é constante e igual a 
200,00,	o	que	indica	que	o	gráfico	no	trecho	0	≤	t	≤	400	é	
uma semirreta horizontal. Se o cliente falar 401 minutos, são 
cobrados 200,00 pelos primeiros 400 minutos e 0,75 apenas 
pelo 401° minuto. Se falar 402 minutos, são cobrados 200,00 
pelos 400 primeiros minutos e 1,50 apenas pelo 401° e pelo 
402° minutos. Ou seja, o valor da conta começa a subir de 
0,75 em 0,75 daí por diante, o que indica que o segundo trecho 
do gráfico é uma semirreta crescente. Veja a figura:
400 401 402
200
200,75
201,50
0
R$
t (min)
Função afim e funções poligonais
4131a Série
Exercícios de Fixação
01. O objetivo deste exercício é fazer uma revisão de todos os 
conceitos apresentados no módulo. Assinale V ou F nas afirmativas 
abaixo:
a. A função f(x) = (2 + x)(3x– 5) é afim. ( )
b. A função g(x) = (2 + x)/(3x – 5) é afim. ( )
c. A função h(x) = 7x + 3 é afim e possui coeficiente angular 3. 
( )
d. Taxa de variação e taxa de crescimento são sinônimos de 
coeficiente linear. ( )
e. O gráfico de uma função afim pode ser uma reta vertical. ( )
f. Uma função cuja fórmula algébrica é do tipo y = mx + n recebe 
o nome de função constante se m = 0 e de função linear se 
n = 0.
g. O gráfico de uma função linear é uma reta que necessariamente 
passa pela origem do sistema cartesiano de coordenadas.
h. Quando a relação entre duas grandezas é dada por uma 
função linear, diz-se que essas grandezas são inversamente 
proporcionais.
i. A raiz da função y = px + q é dada por x = –q/p, e esta é a 
abscissa do ponto em que o gráfico corta o eixo x.
j. A função g(x) = –8x + 11 tem como gráfico uma reta 
decrescente que corta o eixo y no ponto (0,11).
02. Determine a equação da reta que passa pelos dois pontos 
dados em cada item abaixo, dizendo, em cada caso, se a reta é 
crescente, decrescente ou horizontal:
a. (1,4) e (–2,13)
b. (1,2) e (3,7)
c.	 (3,π)	e	(10,π)
d. (2,5) e (2,9)
03.
a. Desenhe os gráficos das funções h(x) = 5x + 9 e g(x) = 
–2x + 2, dizendo em que pontos os gráficos cortam os eixos 
coordenados x e y.
b. Determine as coordenadas do ponto de interseção entre os 
dois gráficos.
04.
a. Determine as raízes ou zeros da função:
 f x
x se x
x se x
( ) =
+ >
− + ≤



4 1 2
3 5 2
,
,
b. Esta função é contínua? Justifique.
05. Determine o conjunto solução da inequação:
x
x
x
x
+
+
>
+
+
1
2
3
4
Exercícios Contextualizados
01. Em Economia, o preço de equilíbrio de um determinado produto 
é o preço que se atribui a ele de maneira que a quantidade de 
demanda é igual à quantidade de oferta. Por exemplo, supomos 
que haja 1000 pessoas interessadas em um produto A, ao preço 
de R$ 200,00 e os fabricantes concordam produzir 1000 unidades 
de A, ao preço de R$ 200,00 reais: este preço é dito de equilíbrio, 
já que a quantidade de oferta é igual à quantidade de demanda.
Supondo que um determinado produto tenha como função de 
demanda (em função do preço) QD = 100 – 5P e função de oferta 
QO = 15P, determine o preço de equilíbrio.
(A) R$ 10,00. (D) R$ 4,00.
(B) R$ 20,00. (E) R$ 5,00.
(C) R$ 50,00.
02. A gerente de uma loja está fazendo uma pesquisa para precificar 
um produto em sua loja. Para isso, contratou um consultor, que 
coletou os seguintes gastos:
– Custos fixos para fabricar o produto: R$ 720,00
– Custos variáveis para fabricar o produto (por unidade): R$ 3,00
Sabendo que ao longo dos meses em que esteve trabalhando, em 
média, o produto vendia 240 unidades por mês, e que a função 
que fornece o lucro que ela obterá é dada pela fórmula
L = (P – Cv)V – Cf, onde L é o lucro, P é o preço do produto, Cv 
são os custos variáveis por unidade, V é o volume de vendas e Cf 
os custos fixos, determine o menor preço de venda do produto de 
modo que a gerente consiga obter algum lucro.
03. O estoque de uma sapataria é reposto assim que a quantidade 
de sapatos está abaixo de 200. Neste instante, a loja conta com um 
estoque de 640 sapatos. Os clientes costumam, semanalmente, 
comprar, em média, 40 sapatos. A partir de hoje, daqui a quantas 
semanas será necessário fazer um pedido de aumento no estoque, 
sabendo que leva uma semana para que o pedido seja atendido?
(A) 12 semanas. (D) 9 semanas.
(B) 11 semanas. (E) 8 semanas.
(C) 10 semanas.
04. O salário fixo mensal de um segurança é de R$ 1.800,00. Para 
aumentar sua receita, ele faz plantões em uma boate, onde recebe 
R$ 60,00 por noite de trabalho. Podemos dizer que a função em 
que descreve a quantidade recebida pelo segurança em função das 
noites que trabalha é dada por:
(A) S = 1800 – 60n.
(B) S = 1200 + 60(n + 10).
(C) S = 1800 + 60 (n – 1).
(D) S = 1800 – 60(n – 4).
(E) S = 1800 – n.
Matemática I – Módulo 13
414 Vol. 3
05. Um pecuarista mede o desenvolvimento de um bezerro 
em quilogramas, todos os meses. Ligando os pontos por ele 
observados em um gráfico, ficaremos com este que se mostra na 
questão. Mantida essa relação entre tempo, medido em meses, e 
o “peso”, medido em kg, qual será o peso do bezerro no oitavo 
mês?
1 2 3 40
50
75
p
t
(A) 100 kg. (D) 150 kg.
(B) 120 kg. (E) 162,5 kg.
(C) 137,5 kg.
06. Uma encomenda, para ser enviada pelo correio, tem um custo C 
de R$ 10,00 para um peso P de até 1 kg. Para cada quilo adicional, 
o custo aumenta de 30 centavos. A função que representa o custo 
de uma encomenda de peso maior do que 1 kg é:
(A) C = 10 + 30P
(B) C = 10P + 0,3
(C) C = 10 + 0,3(P – 1)
(D) C = 9 + 3P
(E) C = 10P – 7
07. Uma empresa de cerâmica concede uma gratificação mensal 
a seus funcionários em função da produtividade de cada um 
convertida em pontos. A relação entre a gratificação e o número 
de pontos está representada a seguir.
número 
de pontos
gratificação
(em real)
300 50 90 100
110
310
Observando que entre 30 e 90 pontos a variação da gratificação é 
proporcional à variação do número de pontos, José tentou fazer os 
cálculos de quanto tinha conseguido de gratificação por ter atingido 
100 pontos de produtividade, e chegou à conclusão de que:
(A) Ganhou R$ 600,00 ao todo. 
(B) Ganhou R$ 710,00 ao todo. 
(C) Ganhou R$ 500,00 ao todo.
(D) Ganhou R$ 610,00 ao todo.
(E) Ganhou R$ 810,00 ao todo.
08. 
“Há mais de 50 anos os egípcios observaram que a sombra no 
chão provocada pela incidência dos raios solares de um gnômon 
(um tipo de vareta) variava de tamanho e direção. Com medidas 
feitas sempre ao meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos 
dias, aumentava de tamanho. Depois de chegar a um comprimento 
máximo, ela recuava até perto da vareta. As sombras mais longas 
coincidiam com os dias frios. E as mais curtas, com dias quentes.”
A
B0
Sol
Vareta
Início do verão
(sombra mais 
curta)
Outono ou
primavera
Início do inverno
(sombra mais 
longa)
Um estudante fez uma experiência semelhante à do texto, utilizando 
uma vareta AO de 2 m de comprimento. No início do inverno, 
mediu o comprimento da sombra OB, encontrando 8 m. Utilizou, 
para representar sua experiência, um sistema de coordenadas 
cartesianas, no qual o eixo de ordenadas y e o eixo das abscissas 
x continham, respectivamente, os segmentos de reta que 
representavam a vareta e a sombra que ela determinava no chão. 
Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta 
que contém o segmento AB:
(A) y = 8 – 4x. (D) y = 6 – 3x.
(B) x = 6 – 3y. (E) y = 8 – 2x.
(C) x = 8 – 4y.
09. Um poluente, produzido pela queima de combustíveis fósseis 
é o SO2 (dióxido de enxofre). Uma pesquisa realizada na Noruega 
e publicada na revista Science, em 1972, concluiu que o número 
(N) de mortes por semana, causadas por inalação de SO2, estava 
relacionado com a concentração média (C) do SO2, conforme 
gráfico a seguir: os pontos (C,N) dessa relação estão sobre o 
segmento de reta da figura:
100 7000
97
115
C
N
Com base nos dados apresentados, a relação entre C e N pode 
ser dada por:
(A) N = 100 – 700C. (D) N = 115 – 94C.
(B) N = 94 + 0,03C. (E) N= 97 + 600C.
(C) N = 97 + 0,03C.
Função afim e funções poligonais
4151a Série
10. Em uma corrida de táxi, a bandeirada inicial é de R$4,80 e além 
disso há a cobrança de R$1,95 por quilômetro rodado. Se, ao final 
de um percurso sem paradas, o taxímetro registrava R$34,05, o 
total de quilômetros rodados foi de:
(A) 15.
(B) 20.
(C) 25.
(D) 30.
(E) 35.
Exercícios de Aprofundamento
01. Um pequeno avião a jato gasta sete horas a menos do que um 
avião a hélice para ir de São Paulo até Boa Vista. O avião a jato voa 
a uma velocidade média de 660 km/h, enquanto o avião a hélice 
voa em média a 275 km/h. Qual é a distânciaentre São Paulo e 
Boa Vista?
02. Uma função da forma y
ax b
cx d
=
+
+
 é dita racional. Considere a 
função racional abaixo:
y
x
x
=
+
−
6 5
3 7
a. Determine o valor de x para o qual y = 1.
b. Existe algum valor de y não assumido por esta função? 
Justifique.
Rascunho
Matemática I
Módulo
 14
416 Vol. 3
Função afim e funções poligonais: exercícios (I)
Exercícios de Fixação
01. Sendo f:   com f(x) = –4x + 3, calcule o valor numérico de
f f f( ) ( ) ( )1 2 3
3
+ +
.
02. No plano cartesiano, marque os pontos A = (1,1), B = (2,3) e 
C = (–1,–1). Os pontos A, B e C podem pertencer a um mesmo 
gráfico de uma função afim? Justifique sua resposta.
03. Os pontos A = (2,1), B = (4,2) e C = (– 2,– 1) podem 
pertencer a um mesmo gráfico de uma função linear? Justifique 
sua resposta.
04. 
a. Desenhe o gráfico da função afim f(x) = – 4x + 8. Qual é o ponto 
em que o gráfico “corta” o eixo horizontal (dito das abscissas)? 
E o vertical?
b. Faça o mesmo exercício para a função g(x) = 4x + 8. Em 
relação à inclinação do gráfico, o que você percebeu?
05. Desenhe o gráfico da função
f x x( ) = −
1
4
3
Em seguida, calcule as diferenças d1 = f(2) – f(1), d2 = f(3) – f(2) e 
d3 = f(4) – f(3). Notou algo curioso? Será que é mera coincidência? 
Tente explicar o que está ocorrendo.
Exercícios Contextualizados
01. A promoção de uma mercadoria em um supermercado 
apresenta, no gráfico, 6 pontos de uma mesma reta.
150
50
5 20 30
Quantidade 
de unidades 
compradas
Valor total da compra (R$)
Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, 
pagará por unidade, em reais, o equivalente a:
(A) 4,50.
(B) 5,00.
(C) 5,50.
(D) 6,00.
(E) 6,50.
02. O gráfico a seguir descreve o crescimento populacional de certo 
vilarejo desde 1910 até 1990. No eixo das ordenadas, a população 
é dada em milhares de habitantes.
10
População
9
8
7
6
5
4
3
2
1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 Ano
a. Determine em que década a população atingiu a marca de 
5.000 habitantes.
b. Observe que a partir de 1960 o crescimento da população em 
cada década tem se mantido constante. Suponha que esta taxa 
se mantenha inalterada no futuro. Determine em que década o 
vilarejo terá 22.000 habitantes.
03. Um automóvel modelo flex consome 34 litros de gasolina para 
percorrer 374 km. Quando se opta pelo uso do álcool, o automóvel 
consome 37 litros deste combustível para percorrer 259 km. 
Suponha que um litro de gasolina custe R$ 2,20. Qual deve ser 
o preço do litro do álcool para que o custo do quilômetro rodado 
por esse automóvel seja o mesmo, tanto usando somente álcool 
quanto usando somente gasolina?
(A) R$ 1,00. 
(B) R$ 1,10. 
(C) R$ 1,20.
(D) R$ 1,30.
(E) R$ 1,40.
04. Um vídeo-clube propõe a seus clientes três planos de 
pagamento.
Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual e R$ 1,20 por cada 
DVD alugado.
Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual e R$ 2,00 por cada 
DVD alugado.
Opção III: R$ 3,00 por cada DVD alugado sem taxa de adesão.
Um cliente escolheu a opção 2 e pagou R$ 56,00 no ano. Esse 
cliente escolheu a melhor opção de pagamento? Justifique a 
resposta.
05. Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a temperatura do 
corpo e que, ao ser exalado, tem temperatura inferior à do 
Função afim e funções poligonais: exercícios (I)
4171a Série
corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz. Através de 
medições realizadas em um laboratório foi obtida a função: 
TA = 8,5 + 0,75 · TB,	12°	≤	TB	≤	30°,	em	que	TA e TB representam, 
respectivamente, a temperatura do ar exalado e a do ambiente.
Calcule:
a. a temperatura do ambiente quando TA = 25°C;
b. o maior valor que pode ser obtido para TA.
06. Um reservatório, contendo inicialmente 400 litros de água, 
começa a receber água a uma razão constante de 3 litros por 
segundo, ao mesmo tempo que uma torneira deixa escoar 
água desse reservatório a uma razão, também constante, de 
1 litro por segundo. Considerando o instante inicial (t = 0) 
como o instante em que o reservatório começou a receber 
água, determine:
a. o volume de água no reservatório decorridos dez segundos 
(t = 10) a partir do instante inicial;
b. uma expressão para o volume (V), em litro, de água no 
reservatório em função do tempo decorrido (t), em segundo, a 
partir do instante inicial.
07. Os gráficos abaixo representam as funções receita mensal R(x) 
e custo mensal C(x) de um produto fabricado por uma empresa, 
em que x é a quantidade produzida e vendida. Qual o lucro obtido 
ao se produzir e vender 1.350 unidades por mês?
0
0
5.000
10.000
15.000
20.000
25.000
500
R(x)
C(x)
1.000
Quantidade
Re
ce
ita
 e
 c
us
to
1.500 2.000
(A) 1.740. 
(B) 1.750. 
(C) 1.760. 
(D) 1.770.
(E) 1.780.
08. Carlos trabalha como disc-jockei (dj) e cobra uma taxa fixa de 
R$ 100,00, mais R$ 20,00 por hora, para animar uma festa. Daniel, 
na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 
por hora. O tempo máximo de duração de uma festa, para que a 
contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, é: 
(A) 6. 
(B) 5. 
(C) 4.
(D) 3.
(E) 2.
 
09. O treinamento físico, na dependência da qualidade e da 
quantidade de esforço realizado, provoca, ao longo do tempo, 
aumento do peso do fígado e do volume do coração. De acordo 
com especialistas, o fígado de uma pessoa treinada tem maior 
capacidade de armazenar glicogênio, substância utilizada no 
metabolismo energético durante esforços de longa duração. De 
acordo com dados experimentais realizados por Thörner e Dummler 
(1996), existe uma relação linear entre a massa hepática e o volume 
cardíaco de um indivíduo fisicamente treinado. Nesse sentido, essa 
relação linear pode ser expressa por y = ax+b onde y representa 
o volume cardíaco em mililitros (ml) e x representa a massa do 
fígado em gramas (g). A partir da leitura do gráfico abaixo, afirma-se 
que a lei de formação linear que descreve a relação entre o volume 
cardíaco e a massa do fígado de uma pessoa treinada é: 
1.315
Volume cardíaco (mL)
Massa do fígado (g)
1.400 2.000
745
Cálculo Ciências Médicas e Biológicas. Editora Harbra ltda, São Paulo: 1988. (adaptado)
(A) y = 0,91x – 585. 
(B) y = 0,92x + 585. 
(C) y = – 0,93x – 585.
(D) y = – 0,94x + 585.
(E) y = 0,95x – 585.
10.
VENDEDORES JOVENS
Fábrica de LONAS – Vendas no Atacado
10 vagas para estudantes, 18 a 20 anos, sem experiência.
Salário: R$ 300,00 fixo + comissão de R$ 0,50 por m2 
vendido.
Contato: 0xx97-43421167 ou atacadista@lonaboa.com.br
Na seleção para as vagas deste anúncio, feita por telefone ou correio 
eletrônico, propunha-se aos candidatos uma questão a ser resolvida 
na hora. Deveriam calcular seu salário no primeiro mês, se vendessem 
500 m de tecido com largura de 1,40 m, e no segundo mês, 
se vendessem o dobro. Foram bem sucedidos o jovens que 
responderam, respectivamente: 
(A) R$ 300,00 e R$ 500,00. 
(B) R$ 550,00 e R$ 850,00. 
(C) R$ 650,00 e R$ 1.000,00. 
(D) R$ 650,00 e R$ 1.300,00.
(E) R$ 950,00 e R$ 1.900,00.
Matemática I – Módulo 14
418 Vol. 3
Exercícios de Aprofundamento
01. Duas torneiras são abertas juntas, a primeira enchendo um 
tanque em 5 horas, a segunda outro tanque de igual volume em 4 
horas. No fim de quanto tempo, a partir do momento em que as 
torneiras são abertas, o volume que falta para encher o segundo 
tanque é 1/4 do volume que falta para encher o primeiro tanque?
(A) 3h e 54 min. 
(B) 3h e 45 min. 
(C) 4h e 53 min.
(D) 4h e 35 min.
(E) 5h e 34 min.
02. Uma fábrica produz óleo de soja por encomenda, de modo que 
a produção é comercializada. O custo de produção é composto 
de duas parcelas. Uma parcela fixa, independente do volume 
produzido, corresponde a gastos com aluguel, manutenção deequipamentos, salários, etc., a outra parcela é variável, dependente 
da quantidade de óleo fabricado. No gráfico a seguir, a reta r1 
representa o custo de produção e a reta r2 descreve o faturamento 
da empresa, ambos em função do número de litros comercializados. 
A escala é tal que uma unidade representa R$ 1.000,00 (mil reais) 
no eixo das ordenadas e 1.000 (mil litros) no eixo das abscissas.
r1
x
x(l)
60
10
40
90
y(R$)
r2
a. Determine, em reais, o custo correspondente à parcela fixa.
b. Determine o volume mínimo de óleo a ser produzido para que 
a empresa não tenha prejuízo.
Rascunho
Matemática I
Módulo
 15
4191a Série
Função afim e funções poligonais: exercícios (II)
Exercícios de Fixação
01. Desenhe os gráficos das funções y = – 4x + 8 e f x x( ) = −1
4
3
simultaneamente no plano cartesiano. Estes gráficos se cortam? 
Em que ponto? (Lembre que um ponto no plano cartesiano é 
determinado por um par de coordenadas).
02. Desenhe os gráficos de h(x) = 4x + 3 e g(x) = 4x – 4 em um 
mesmo plano cartesiano. Eles se cortam em algum ponto? Isso é 
intuitivo sem precisar do desenho?
03. Dados os pontos A = (–1, 5) e B = (3, 4) no plano cartesiano, 
escreva a fórmula da função afim que tem como gráfico uma reta 
que passa por esses pontos.
04. Seja a função f de  em  definida por f(x) = 3x – 2. A raiz 
da equação f(f(x)) = 0 satisfaz:
(A) x ≤ 0 (D) 1
8
3
< <x
(B) 0
1
3
< ≤x (E) x >
8
3
(C) 1
3
1< ≤x
05. Na figura abaixo, estão representados as funções reais: f(x) = 
ax + 2 e g x x b( ) = − +2
3
.
B
x
CA
0
y
g
f
Sabendo que AC OB. = 8, então a reta que representa a função f 
passa pelo ponto:
(A) (1,3). (D) (2, 4).
(B) (– 2, – 2). (E) (3, 6).
(C) (– 1, 4).
Exercícios Contextualizados
01. O valor de um carro novo é de R$ 9.000,00 e, com 4 anos de 
uso, é de R$ 4.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, 
segundo uma linha reta, o valor de um carro com 1 ano de uso é:
(A) R$ 8.250,00. (D) R$ 7.500,00.
(B) R$ 8.000,00. (E) R$ 7.000,00.
(C) R$ 7.750,00.
02. O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial 
Q0 fixo, mais um valor que varia proporcionalmente à distância D 
percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual 
foram percorridos 3,6 km, a quantia cobrada foi de R$8,25 e que 
em outra corrida, de 2,8km, a quantia cobrada foi de R$ 7,25.
a. Calcule o valor inicial de Q0.
b. Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$ 75,00 em 10 
corridas, quantos quilômetros seu carro percorreu naquele dia?
03. Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela. 
Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos 
por mês?
Plano Custo fixo mensal Custo adicional por minuto
A R$ 35,00 R$ 0,50
B R$ 20,00 R$ 0,80
C 0 R$ 1,20
04. Num certo país, o imposto de renda é cobrado da seguinte 
forma: os que têm rendimento até 1.500 u.m (unidades monetárias) 
são isentos: aos que possuem renda entre 1.500 u.m e 6.000 u.m, 
cobra-se um imposto de 10%; acima de 6000 u.m, o imposto é 
de 20%. Qual dos gráficos melhor representa a situação acima 
descrita?
(A) 
Imposto cobrado
Renda
(B)
 
Imposto cobrado
Renda
Matemática I – Módulo 15
420 Vol. 3
(C)
 
Imposto cobrado
Renda
(D) Imposto cobrado
Renda
05. Em uma partida de futebol, dois grandes clubes levaram ao 
Maracanã um total de 90.000 torcedores. Três portões foram 
abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um número constante 
de pessoas por minuto. A partir desse horário, abriram-se mais 3 
portões e o fluxo constante de pessoas aumentou. 
Os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio 
em função do horário de entrada estão contidos no gráfico abaixo:
12 15 17
30.000
45.000
90.000
no de pessoas
horário
Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o relógio estava 
marcando 15 horas e:
(A) 20 min.
(B) 30 min.
(C) 40 min.
(D) 50 min.
(E) 55 min.
06. Um provedor de acesso à Internet oferece dois planos para 
seus assinantes:
• Plano A – Assinatura mensal de R$ 8,00 mais R$ 0,03 por 
cada minuto de conexão durante o mês.
• Plano B – Assinatura mensal de R$ 10,00 mais R$ 0,02 por 
cada minuto de conexão durante o mês.
Acima de quantos minutos de conexão por mês é mais econômico 
optar pelo plano B?
(A) 160.
(B) 180.
(C) 200.
(D) 220.
(E) 240.
07. O lucro líquido mensal de um produtor rural com a venda de 
leite é de R$ 2.580,00. O custo de produção de cada litro de leite, 
vendido por R$ 0,52, é de R$ 0,32. Para aumentar em exatamente 
30% o seu lucro líquido mensal, considerando que os valores do 
custo de produção e do lucro por litro de leite permaneçam os 
mesmos, quantos litros a mais de leite o produtor precisa vender 
mensalmente?
(A) 16.770.
(B) 12.900.
(C) 5.700.
(D) 3.870.
(E) 3.270.
08. Devido a uma frente fria, a temperatura em uma cidade caiu 
de 28°C, às 14h, para 24°C, às 22h. Supondo que a variação da 
temperatura nesse intervalo de tempo tenha sido linear, determine 
o valor da temperatura às 17h:
(A) 27,4 ºC.
(B) 26,5 ºC.
(C) 26,0 ºC.
(D) 25,5 ºC.
(E) 24,6 ºC.
09. Em 31/12/2001 uma represa continha 5.000 m3 e água. Devido 
a problemas climáticos, a quantidade de água dessa represa vem 
decrescendo ano a ano de forma linear, sendo que em 31/12/2006 
continha 2.500 m3 de água. Se esse comportamento se manteve 
nos anos seguintes, determine quantos litros de água a represa 
continha em 31/12/2009.
10. Pedro e João acertaram seus relógios às 11h de ontem, mas 
o de Pedro está adiantando 30 segundos por hora e o de João está 
atrasando 10 segundos por hora. Determine:
a. a diferença entre os horários marcados pelos dois relógios às 
20h de ontem;
b. os horários que estarão marcando os dois relógios às 11h 
de amanhã.
Função afim e funções poligonais: exercícios (II)
4211a Série
Exercícios de Aprofundamento
01. O gráfico da função f está representado na figura:
O
4
4 6 8 x
y
Sobre a função f é falso afirmar que:
(A) f(1) + f(2) = f(3). 
(B) f(2) = f(7).
(C) f(3) = 3 f(1).
(D) f(4) – f(3) = f(1).
(E) f(2) + f(3) = f(5).
02. Analisando o gráfico da função h(x), responda:
2
4
3– 3– 4
– 8 5 6
– 6
12 15 x
y
a. Qual o domínio da função?
b. Qual o conjunto-imagem do intervalo [– 4,6] do domínio?
c. Qual o intervalo de decrescimento da função?
d. Qual o valor da expressão: E = h h h
h h
( ) ( ) ( )
( ) ( )
− + +
− +
3 0 10
5 6
?
Rascunho
Matemática I
Módulo
 16
422 Vol. 3
Revisão
Exercícios de Fixação
01. A figura a seguir representa, em sistemas coordenados 
com a mesma escala, os gráficos das funções reais f e g, com 
f(x) = x² e g(x) = x.
f(x) g(x)
0 0c 3c x x
T
Sabendo que a região poligonal T demarca um trapézio de área 
igual a 160, o número real c é: 
(A) 2. (D) 1.
(B) 1,5. (E) 0,5.
(C) 2.
02. A função f(x) = ax + b é estritamente decrescente. Sabe-se 
que f(a) = 2b e f(b) = 2a. O valor de f(3) é:
(A) 2. (D) 0.
(B) 4. (E) – 1.
(C) – 2.
03. O gráfico representa a função real definida por f(x) = ax + b.
y
x
3
0 2
O valor de a + b é igual a: 
(A) 0,5. (C) 1,5. 
(B) 1,0. (D) 2,0. 
04. Considere a, b e c três números reais não nulos, sendo 
a < b < c, e as afirmações abaixo.
I. a + b < b + c
II. a² < b²
III. b – a > c – b
Quais afirmações são verdadeiras? 
(A) Apenas I. 
(B) Apenas II. 
(C) Apenas III. 
(D) Apenas I e II. 
05. No Brasil há várias operadoras e planos de telefonia celular.
Uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C, D e E) de planos 
telefônicos. O valor mensal de cada plano está em função do tempo 
mensal das chamadas, conforme o gráfico.
70
60
50
40
30
20
10
10 20 30 40 50 60
E
D
C
BA
Tempo mensal (em minutos)
Va
lo
r m
en
sa
l (
em
 re
ai
s)
0
0
Essa pessoa pretende gastar exatamente R$ 30,00 por mês com 
telefone.
Dos planos telefônicos apresentados, qual é o mais vantajoso, 
em tempo de chamada, para o gasto previsto para essa pessoa? 
(A) A. (D) D.
(B) B. (E) E.
(C) C.
Exercícios Contextualizados
01. Uma fábrica de panelas opera com um custo fixo mensal de 
R$ 9 800,00 e um custo variável por panela de R$ 45,00. Cada 
panela é vendida por R$ 65,00. Seja x a quantidade que deve ser 
produzida e vendida mensalmente para que o lucro mensal seja 
igual a 20% da receita.
A soma dos algarismos de x é: 
(A) 2. (D) 5.
(B) 3. (E) 6.
(C) 4.
 
Revisão
4231a Série
02. O soro antirrábico é indicado para a profilaxia da raiva humana 
após exposição ao vírus rábico. Ele é apresentado sob a forma 
líquida, em frasco ampola de 5 mL equivalente a 1000 UI (unidades 
internacionais). O gráfico abaixo indica a quantidade de soro 
(em mL) que um indivíduo deve tomar em função de sua massa 
(em kg) em um tratamento de imunização antirrábica.
q (mL)
m (Kg)15 40
3
8
Analise as afirmações a seguir:
l. A lei da função representada no gráfico é dada por 
q = 0,2 · m, em que q é a quantidade de soro e m é a massa.
II. O gráfico indica que as grandezas relacionadas são inversamente 
proporcionais, cuja constante de proporcionalidade é igual a 1
5
.
III. A dose do soro antirrábico é 40 UI/Kg.
lV. Sendo 3000 UI de soro a dose máxima recomendada, então, 
um indivíduo de 80 kg só poderá receber a dose máxima.
V. Se um indivíduo necessita de 2880 UI de soro, então, a massa 
desse indivíduo é de 72,2 kg.
Todas as afirmações corretas estão em: 
(A) I, III e IV. (C) II, III, IV e V.
(B) I, III, IV e V. (D) I, II e V.
03. João resolveu fazer um grande passeio de bicicleta. Saiu 
de casa e andou calmamente, a uma velocidade (constante) de 
20 quilômetros por hora. Meia hora depois de ele partir, a mãe 
percebeu que ele havia esquecido o lanche. Como sabia por qual 
estrada o filho tinha ido, pegou o carro e foi à procura dele a uma 
velocidade (constante) de 60 quilômetros por hora. A distância que 
a mãe percorreu até encontrar João e o tempo que ela levou para 
encontrá-lo foram de: 
(A) 10 km e 30 min. (D) 20 km e 30 min.
(B) 15 km e 15 min. (E) 20 km e 1 h.
(C) 20 km e 15 min.
 
04. O caos no trânsito começa alastrar-se por todo país. Um 
estudo do Observatório das Metrópoles, órgão ligado ao Instituto 
Nacional de Ciência e Tecnologia, aponta que, em dez anos (de 
2001 a 2011), a frota das 12 principais regiões metropolitanas 
do país cresceu, em média, 77,8%. São Paulo, por exemplo, que 
tem hoje cerca de 11,4 milhões de habitantes e uma frota de 
4,8 milhões de automóveis, acrescenta, mensalmente, 22000 
veículos em sua frota ativa nas ruas.
National Geographic Scientific – Brasil, “Cidades Inteligentes”. Edição Especial (adaptado).
Considerando que a população de São Paulo permaneça 
constante, assim como a quantidade de automóveis acrescentada 
mensalmente, o número de veículos da frota paulista atingirá 50% 
do número de habitantes, aproximadamente, em: 
(A) 2,0 anos. (D) 3,5 anos. 
(B) 2,5 anos. (E) 4,0 anos. 
(C) 3,0 anos. 
05. Em uma corrida de táxi, é cobrado um valor inicial fixo, chamado 
de bandeirada, mais uma quantia proporcional aos quilômetros 
percorridos. Se por uma corrida de 8 km paga-se R$ 28,50 e por uma 
corrida de 5 km paga-se R$ 19,50, então o valor da bandeirada é: 
(A) R$ 7,50. (C) R$ 5,50. 
(B) R$ 6,50. (D) R$ 4,50. 
06. Para comemorar o aniversário de uma cidade, um artista 
projetou uma escultura transparente e oca, cujo formato foi 
inspirado em uma ampulheta. Ela é formada por três partes de 
mesma altura: duas são troncos de cone iguais e a outra é um 
cilindro. A figura é a vista frontal dessa escultura.
No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte água, para 
dentro dela, com vazão constante.
O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função 
do tempo (t) decorrido é: 
(A) 
h
t
 (D) 
h
t
(B) 
h
t
 (E) 
h
t
(C) 
h
t
 
Matemática I – Módulo 16
424 Vol. 3
07. O consumo mensal de água nas residências de uma pequena 
cidade é cobrado como se descreve a seguir. Para um consumo 
mensal de até 10 metros cúbicos, o preço é fixo e igual a 20 reais. 
Para um consumo superior, o preço é de 20 reais acrescidos de 
4 reais por metro cúbico consumido acima dos 10 metros cúbicos. 
Considere c(x) a função que associa o gasto mensal com o 
consumo de x metros cúbicos de água.
a. Esboce o gráfico da função c(x) no plano cartesiano para x 
entre 0 e 30.
C
x
100
90
80
60
40
20
70
50
30
10
0 5 10 15 20 25 30
b. Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, qual 
é o preço efetivamente pago por metro cúbico? E para um 
consumo mensal de 25 metros cúbicos? 
 
08. Dois corredores partem de um ponto ao mesmo tempo e se 
deslocam da seguinte forma: o primeiro é tal, que sua velocidade 
y1 é dada em função da distância x por ele percorrida através de:
y
x
n
x
n n
n x n
4 200
200
8
2
200 200 1
2
,
, ( )
se
se
≤
−
+ −
< ≤ +




em que n varia no conjunto dos números naturais não nulos.
O segundo é tal que sua velocidade y2 é dada em função da distância 
x por ele percorrida através de y
x
2 100
4= + .
Tais velocidades são marcadas em km/h, e as distâncias, em 
metros. Assim sendo, ambos estarão à mesma velocidade após 
terem percorrido:
(A) 800 m. (C) 1.000 m.
(B) 900 m. (D) 1.100 m.
09. Em um jogo, cada participante recebe 12 fichas coloridas, 
devendo dividi-las em quatro grupos de três fichas cada, de modo 
a tentar obter a máxima pontuação possível. Cada trio de fichas 
formado é pontuado da seguinte maneira:
• três fichas da mesma cor → 8 pontos;
• duas fichas de uma mesma cor e uma ficha de cor diferente 
→ 6 pontos;
• três fichas de cores diferentes → 1 ponto.
Se um participante recebeu 4 fichas verdes, 4 amarelas, 2 brancas, 
1 preta e 1 marrom, então a máxima pontuação que ele poderá 
obter é:
(A) 23. (D) 26. 
(B) 24. (E) 27. 
(C) 25. 
 
10. Uma determinada empresa de biscoitos realizou uma pesquisa 
sobre a preferência de seus consumidores em relação a seus 
três produtos: biscoitos cream cracker, wafer e recheados. Os 
resultados indicaram que: 
– 65 pessoas compram cream crackers. 
– 85 pessoas compram wafers. 
– 170 pessoas compram biscoitos recheados.
– 20 pessoas compram wafers, cream crackers e recheados. 
– 50 pessoas compram cream crackers e recheados.
– 30 pessoas compram cream crackers e wafers.
– 60 pessoas compram wafers e recheados. 
– 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa. 
Determine quantas pessoas responderam a essa pesquisa. 
(A) 200. (D) 370.
(B) 250. (E) 530.
(C) 320.
Exercícios de Aprofundamento
01. Dentro de um grupo de tradutores de livros, todos os que falam 
alemão também falam inglês, mas nenhum que fala inglês fala 
japonês. Além disso, os dois únicos que falam russo também falam 
coreano. Sabendo que todo integrante desse grupo que fala coreano 
também fala japonês, pode-se concluir que, necessariamente:
(A) todos os tradutores que falam japonês também falam russo. 
(B) todos os tradutores que falam alemão também falam coreano. 
(C) pelo menos um tradutor que fala inglês também fala coreano. 
(D) nenhum dos tradutores fala japonês e também russo. 
(E) nenhum dos tradutores fala russo e também alemão. 
02. Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das 
afirmações:
I. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C);
II. (A ∩ C) \ B = A ∩ BC ∩ C;
III. (A \ B) ∩ (B \ C) = (A \ B) \ C,
é(são) verdadeira(s):
(A) apenasI. (D) apenas I e III.
(B) apenas II. (E) todas.
(C) apenas I e II.
Matemática II
Módulo
 11
4251a Série
Lei dos senos
1. Teorema (Lei dos senos)
Em um triângulo ABC com lados BC = a, CA = b, AB = c e 
ângulos α, b e g como na figura, vale que a b c R
sen sen senα β γ
= = = 2 , 
onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
A
B
C
α
b
g
a
b
c
A demonstração deste teorema é dividida em três partes: 
triângulos acutângulo, retângulo e obtusângulo. Neste material, 
faremos a demonstração para o triângulo acutângulo (os outros 
casos são análogos).
Para isso, considere a figura a seguir, onde O é o circuncentro 
do triângulo e D é o ponto diametralmente oposto a B.
A
B
C
D
2R O
α
α
a
Veja agora que como BD é diâmetro, o triângulo BCD é retângulo 
em C. Além disso, temos que B^DC = B^AC = α (ambos “enxergam” 
o arco BC). Com isso, no triângulo BCD, usando a definição de 
seno, segue que 
BC
BD
a
R
a
R= ⇔ = ⇔ =sen sen
sen
α α
α2
2 . 
Analogamente, obtemos b c R
sen senβ γ
= = 2 , que demonstra o 
desejado.
2. Situações em que o uso da 
Lei dos senos é bastante útil
I. Quando conhecermos os ângulos de um triângulo, um dos 
lados e quisermos descobrir os outros lados.
II. Quando conhecermos dois lados, um ângulo não compreendido 
entre esses dois lados e quisermos descobrir todos os ângulos 
e lados.
III. Calcular cordas de círculos.
3. Senos de ângulos obtusos
Para lidar com senos de ângulos obtusos, como 120°, 135°, 
temos a relação sen(180° – x) = sen x. Com isso, podemos montar 
a seguinte tabela:
Ângulo Seno
120° 3
2 
135° 2
2 
150°
1
2 
Você conseguiria medir a altura do Pão de Açúcar 
sem a ajuda de um GPS?
Um modo de fazer essa medição é traçando 
triângulos como na imagem ao lado.
Mede-se a base horizontal, já que fazer medidas 
horizontais é muito mais fácil. Com o uso dos ângulos A 
ou B e C (ângulos não se alteram ao mudar o tamanho 
de uma figura) é possível encontrar tanto o lado a como o 
lado b. Se, por exemplo, você encontrou o lado a, basta 
fazer sen B = altura/a. Pronto, encontramos a altura do 
Pão de Açúcar.
Essa forma de medição já foi utilizada há tempos, e 
só é possível graças à LEI DOS SENOS, que relaciona 
lados e ângulos, e é exatamente do que trataremos 
neste módulo.
A
a
B
b
C
©
IS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
/C
es
ar
Ok
ad
a
Matemática II – Módulo 11
426 Vol. 3
O teorema que veremos nesse box (Teorema da Bissetriz 
Interna) é um clássico da geometria euclidiana e possui uma 
demonstração bastante simples usando a lei dos senos.
Vejamos o enunciado: em um triângulo ABC, seja AD, 
com D no lado BC, a bissetriz interna relativa ao ângulo A^. 
Então, AB
AC
DB
DC
= .
A
B C
D
180° – qq
αα
Para a demonstração, sejam B^AD = D^AB =α, A^DB = q 
e A^DC = 180° – q. Usando lei dos senos nos triângulos ABD 
e ACD, segue que: 
AB BD AC DC
sen sen sen senθ α θ α
=
°−
=e
( )
.
180
 
Usando que sen (180° – q) = sen q, segue que 
AB
AC
DB
DC
= .
Exercícios Resolvidos
01. Seja ABC um triângulo tal que ^ A = 45°, B^ = 15° e AB = 10 cm. 
Determine a medida do segmento BC.
Solução:
A B
C
x
120°
10
45° 15°
Como a soma dos ângulos internos do triângulo ABC é 180°, temos 
que C^ = 120°. Usando agora Lei dos Senos, segue que
10
120 45
10
3
2
2
2
10 2
3
10 6
3sen sen
cm
°
=
°
⇔ = ⇔ = =
x x
x .
02. Seja ABC um triângulo escaleno tal que ^ A = 30°, AB = 3 cm e 
BC = 3 cm. Determine a medida do ângulo C^.
Solução:
A
B C
30°
3
C^
3
Usando Lei dos Senos, temos que 
3 3
30
3
2sen sen
sen
C
C

=
°
⇒ = . 
Assim, ^C = 60° ou ^C = 120°. Entretanto, se ^C = 120°, teríamos que 
B^ = 30° e o triângulo seria isósceles, o que contradiz o enunciado. 
Logo, C^ = 60°.
Exercícios de Fixação
01. No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8 cm e 6 cm, 
respectivamente, e o ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B
^
 vale:
(A) 1/2.
(B) 2/3.
(C) 3/4.
(D) 4/5.
(E) 5/6.
02. Seja ABC um triângulo com AB = 10 e cujo raio da 
circunferência circunscrita é igual a 10. Determine a medida do 
ângulo A^CB.
03. Em um triângulo ABC, os ângulos ^A e ^B medem, respectivamente, 
60° e 45°; o lado BC mede 5 6 cm. Então, a medida do lado AC é:
(A) 18 cm.
(B) 3 cm.
(C) 12 cm.
(D) 9 cm.
(E) 10 cm.
04. No triângulo abaixo, determine as medidas de x e y. Use 
sen15
6 2
4
°=
−
.
x
y
15°
135°
2
05. Em uma circunferência, considere quatro pontos A, B, C, D 
nessa ordem de forma que os arcos AB AD e tenham como medida 
60° e 90°, respectivamente. Se AB = 20, determine o valor de AD.
Lei dos senos
4271a Série
Exercícios Contextualizados
01. Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos 
A e B, como ilustrado na figura abaixo. Para calcular o comprimento 
AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, 
e medem-se os ângulos C^BA = 57° e A^CB = 59°. Sabendo que 
BC mede 30 m, indique, em metros, a distância AB. (Dado: use as 
aproximações sen(59°) ≅ 0,87 e sen(64°) ≅ 0,90)
57°
59°
A
B
C
02. Na instalação das lâmpadas de uma praça de alimentação, a 
equipe necessitou calcular corretamente a distância entre duas delas, 
colocadas nos vértices B e C do triângulo, segundo a figura. Assim, 
a distância d é:
50 m
A
B
C
d
135°
30°
(A) 50 2 m. (D) 25 2 m.
(B) 50 6
3
m. (E) 50 2 m.
(C) 50 3 m.
03. Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas 
margens opostas de um rio, nos pontos A e B, um observador que 
se encontra junto a A afasta-se 20 m da margem, na direção da 
reta AB, até o ponto C e depois caminha em linha reta até o ponto 
D, a 40 m de C, do qual ainda pode ver as árvores.
A
C
D
B
Tendo verificado que os ângulos DC
^
B e BD
^
C medem, respec-
tivamente, cerca de 15° e 120°, que valor ele encontrou para a 
distância entre as árvores, se usou a aproximação 2 = 1,4?
04. Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos 
pontos A, B e C. O comandante, quando o navio está em A, observa 
um farol L, e calcula L^AC = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica 
L^BC = 75°. Quantas milhas separam o farol do ponto B?
05. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região 
metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual 
Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua 
proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos 
impactos ambientais causados pela atividade humana.
Disponível em: <maps.google.com.br> (adaptado).
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo  mede 45° 
e o ângulo C^ mede 75°. Uma maneira de estimar quanto do Delta 
do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância 
do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é:
(A) 8 6
3
.
(B) 4 2 .
(C) 8 2 + 3.
(D) 8 ( 2 + 3).
(E) 2 6
3
.
06. Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha até o 
topo, representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos 
de 40° do acampamento B e de 60° do acampamento A. 
Dado: sen 20° = 0,342 
Matemática II – Módulo 11
428 Vol. 3
30° 40°
60°A
CB
D
160 m
Considerando que o percurso de 160 m entre A e B é realizado 
segundo um ângulo de 30° em relação à base da montanha, então, 
a distância entre B e D, em m, é de, aproximadamente:
(A) 190. (C) 260.
(B) 234. (D) 320.
07. Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às 
margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro 
de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar 
a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a 
direitado ponto em que se encontrava e marca o ponto C. 
Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos B^AC e A^CD valem 
30°, e o ângulo A^CB vale 105°, como mostra a figura:
30°
30°
50 m
A
C
h
B
D
105°
Determine a altura h do mastro.
08. A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que corta 
essa cidade, uma ponte que deve ser reta e ligar dois pontos, A e B, 
localizados nas margens opostas do rio. Para medir a distância entre 
esses pontos, um topógrafo localizou um terceiro ponto, C, distante 
200 m do ponto A e na mesma margem do rio onde se encontra 
o ponto A. Usando um teodolito (instrumento de precisão para 
medir ângulos horizontais e ângulos verticais, muito empregado em 
trabalhos topográficos), o topógrafo observou que os ângulos BC^A 
e CÂB mediam, respectivamente, 30° e 105°, conforme ilustrado 
na figura a seguir.
20
0 
m
105°
30°
A
B
C
rio
Com base nessas informações, determine a distância, em metros, 
do ponto A ao ponto B.
09. Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta 
a seguir: 
A
B
C
60°
Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no 
interior da praça, sendo que AB = 80 m. De acordo com a planta 
e as informações dadas, determine R. 
Exercícios de Aprofundamento
01. Sejam d e L respectivamente os comprimentos da diagonal BD 
e do lado BC do paralelogramo ABCD abaixo. Conhecendo-se os 
ângulos α, b (ver figura), o comprimento x do lado AB é dado por:
A
B
L
L
D
dx
xb
α
C
(A) x
d
=
+( )
cos
cos
.
α
α β
(B) x
d
=
+( )
sen
sen
.
α
α β
(C) x
L
=
+( )
sen
cos
.
α
α β
(D) x
L
=
+( )
cos
sen
.
α
α β
02. Seja ABCD um quadrilátero com ^ A = C^ = 90°. Se B^AC =30° e 
BD = 4, determine o valor de BC.
Matemática II
Módulo
 12
4291a Série
Lei dos cossenos
Em um triângulo ABC com lados BC = a, CA = b, AB = c e 
ângulos α, b, g , como na figura, vale que
a b c bc
b c a ca
c a b ab
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
= + − ⋅
= + − ⋅
= + − ⋅





cos
cos
cos
α
β
γ
a
bc
B C
A
b
α
g
A demonstração deste teorema é dividida em três par tes: 
triângulos acutângulo, retângulo e obtusângulo. Neste material, 
faremos a demonstração para o triângulo acutângulo (para o 
triângulo retângulo, a Lei dos Cossenos é, na verdade, o teorema 
de Pitágoras e para o triângulo obtusângulo, a demonstração 
segue de forma análoga).
Além disso, demonstraremos apenas a segunda igualdade, 
ou seja, demonstraremos que b c a ca2 2 2 2= + − ⋅cosβ (as outras 
duas igualdades são análogas).
Para isso, considere a figura a seguir, em que D é o pé da altura 
relativa ao lado BC. Sejam BD = x, DC = a – x e AD = h.
a – x
bc
B C
A
b
h
Dx
Usando Pitágoras nos triângulos ABD e ACD, chegamos a 
x h c2 2 2+ = e a x h b−( ) + =2 2 2 →
x h c2 2 2+ = e a2 – 2ax + x2 +h2 = b2.
Subtraindo as duas equações, segue que 2 2 2 2ax a c b− = − (*).
F i n a l m e n t e , n o t r i â n g u l o A B D , t e m o s q u e 
cos cosβ β= ⇔ = ⋅
x
c
x c .
Subs t i tu indo es ta ú l t ima em (*) , ob temos que
2 2 2 2ac a c b⋅ − = −cosβ .
Reorganizando, obtemos a igualdade desejada:
b2 = a2 + c2 – 2ac cosb
Como você mediria, sem GPS, os lados de um triângulo gigante, como o Triângulo das Bermudas?
Esse famoso triângulo representa uma 
área geográfica, situada no oceano Atlântico, 
que liga as Ilhas de Bermudas, Porto Rico e a 
cidade de Miami. Já imaginou ter a tarefa de 
medir os lados desse triângulo? Como você 
faria isso sabendo que cada lado mede entre 
1600 e 1800 km?
Na verdade há modos diferentes de 
encontrar o comprimento desses lados sem 
precisar realmente medir TODOS os 3. Um dos 
modos de fazer isso nós já vimos no módulo 
de lei dos senos, se tivermos 2 ângulos e 1 
lado é possível encontrar os outros 2 lados. 
Neste módulo, vamos aprender sobre a lei dos 
cossenos, pois, caso você tenha os valores de 
2 lados e 1 ângulo apenas, você terá que usá-la 
para encontrar o outro lado.
Golfo do
México
Oceano
Atlântico
Mar do Caribe
Bermuda
Miami
San Juan
Porto Rico
Triângulo
das Bermudas
1. Teorema (Lei dos Cossenos)
Matemática II – Módulo 12
430 Vol. 3
2. Situações em que o uso da 
Lei dos Cossenos é bastante útil
I. Quando conhecemos dois lados de um triângulo, o ângulo 
compreendido entre eles e quisermos descobrir o terceiro lado.
II. Quando conhecemos todos os lados de um triângulo e 
queremos descobrir seus ângulos.
3. Cossenos de ângulos obtusos
Para lidar com cossenos de ângulos obtusos, como 120° 
e 135°, temos a relação cos cos180° −( ) = −x x . Com isso, 
podemos montar a seguinte tabela:
Ângulo Cosseno
120° −
1
2
135° −
2
2
150° −
3
2
4. Síntese de Clairaut
A síntese de Clairaut classifica um triângulo quanto aos ângulos, 
conhecendo-se seus lados.
Em um triângulo ABC, suponha que a b c≥ ≥ . Temos três casos:
I. a b c2 2 2< + : o triângulo é acutângulo em A.
II. a b c2 2 2= + : o triângulo é retângulo em A.
III. a b c2 2 2> + : o triângulo é obtusângulo em A.
Nesse box, veremos como calcular o valor da mediana 
de um triângulo, conhecidos seus lados. Para isso, faremos 
um exemplo numérico (a mesma ideia pode ser aplicada para 
triângulos genéricos). Calcularemos aqui a mediana relativa ao 
lado de comprimento 10 de um triângulo com lados 10, 12, 16.
M CB
A
55
12 16
x
q 180° – q
Seja M o ponto médio do lado BC como na figura. Para calcular 
a medida do segmento AM = x, usaremos lei dos cossenos 
nos triângulos ABM e ACM. Sendo AMB = θ e AMC = °−180 θ, 
temos que:
I. 144 25 102= + −x x cosθ (para o triângulo ABM)
II. 256 25 10 1802= + − °−( )x x cos θ (para o triângulo ACM)
Somando I e II e usando que cos cosθ θ+ ° −( ) =180 0, segue 
que
400 50 2 175 5 72 2= + ⇒ = ⇒ =x x x
Exercícios Resolvidos
01. Seja ABC um triângulo com AB = 3, BC = 4 e ABC = °120 . 
Determine a medida do lado AC.
Solução:
x
43
B
CA
120o
Sendo AC = x, usando a lei dos cossenos no triângulo ABC, 
segue que
x x2 2 2 23 4 2 3 4 120 9 16 2 3 4
1
2
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ −




cos .
Assim,
x x2 9 16 12 37 37= + + = ⇒ =
02. Seja ABC um triângulo com AB = 5, AC = 7 e BC = 8. 
Determine a medida do ângulo ABC .
Solução:
A
B
C
5
8
7
b Sendo ABC = β, usando a lei 
dos cossenos no triângulo ABC, 
segue que
7 5 8 2 5 8 49 25 64 802 2 2= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + −cos cosβ β
7 5 8 2 5 8 49 25 64 802 2 2= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + −cos cosβ β.
Daí, temos que
cosβ =
1
2
 e então 
ABC = = °β 60 .
Lei dos cossenos
4311a Série
Exercícios de Fixação
01. No triângulo abaixo, calcule a medida de x.
1
x3
60o
02. Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 8 cm 
e 12 cm e formam um ângulo de 60°. Calcule o comprimento das 
diagonais.
03. Classifique quanto aos ângulos o triângulo de lados 6, 8 e 9.
04. Em um triângulo de lados 2 4 3, e 2 7, calcule o ângulo 
oposto ao lado de medida 2 7.
05. Calcule as medidas dos ângulos internos de um triângulo que 
tem lados com medidas 2 6, e 3 1+ .
Exercícios Contextualizados
01. Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro 
viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45° em relação 
ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 
km/h em um curso de 105° em relação ao norte, também no sentido 
horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão 
separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo 
curso e velocidade desde que deixaram o porto?
(A) 10 km.
(B) 14 km.
(C) 15 km.
(D) 17 km.
(E) 22 km.
02. Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da Tevrra. A figuraa seguir representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro 
da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o 
sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões a seguir, 
considerando que o raio da Terra também mede 6.400 km.
Satélite
Terra
64
00
 km
640
0 km
A
C
B
d
q
a. Qual o comprimento do arco AB indicado na figura?
b. Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos( ) / .θ = 3 4 
Determine a distância d entre o ponto C e o satélite.
03. A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada 
com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas 
e na melhora da qualidade de vida.
Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, 
passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto 
indicado na figura.
A
C
B
0,8 km
1 km
150o
3 17= ,Dado:
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o 
trajeto?
(A) 2,29.
(B) 2,33.
(C) 3,16.
(D) 3,50.
(E) 4,80.
04. Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do 
estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas 
em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São 
Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades 
de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80 km e 
160 km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em 
linha reta entre os pontos que representam as cidades de São 
Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. 
Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os 
pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá 
Matemática II – Módulo 12
432 Vol. 3
e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra 
o mapa.
SP
Campinas
Sorocaba São Paulo
160 km80 km
Guaratinguetá
Com essas informações, os alunos determinaram que a distância 
em linha reta entre os pontos que representam as cidades de 
Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de:
(A) 80 2 5 3⋅ + ⋅ (D) 80 5 3 2⋅ + ⋅
(B) 80 5 2 3⋅ + ⋅ (E) 80 7 3⋅ ⋅
(C) 80 6⋅
05. No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por um 
terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o 
epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de 
tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi 
atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.
O Estado de S.Paulo, 13 mar. 2011 (adaptado).
Mar do Japão
JAPÃO
Sendai
320 km
360 km
Tóquio
Epicentro
Oceano
Pacífico
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos ,α ≅ 0 934, 
e que α é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 
2 3 93 4 2158 2⋅ ⋅ ≅, 100, a velocidade média, em km/h, com que 
a primeira onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de:
(A) 10. (D) 250.
(B) 50. (E) 600.
(C) 100.
06. Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados 
à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo 
determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os 
ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de 
um teodolito.
Riacho
10 m
15
 m
A
B
C
D 
Visada Ângulo
ACB ≠6
BCD ≠3
ABC ≠6
a. Calcule a distância entre A e B.
b. Calcule a distância entre B e D.
07. Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por 
suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir 
um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico 
de um morro, conforme a figura a seguir.
PA
B
N
C
20
0 
m
50o
20o
300
3 m
Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:
• o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes 
coletivos (ponto A), com uma parada intermediária (ponto B), 
e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C);
• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada 
localizado no ponto C, sem parada intermediária.
Lei dos cossenos
4331a Série
Supondo que AB BC= =300 3 200 m m, , BÂP = 20º e 
CBN = °50 , é correto afirmar que a distância entre os pontos A e C é de:
(A) 700 m.
(B) 702 m.
(C) 704 m.
(D) 706 m.
(E) 708 m.
08. Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no plano.
A B
C
A
B
C
0
1
2
3
4
5
y 
(p
ol
eg
ad
as
)
O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira em 
torno do centro A.
Considere que:
• o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 
4 polegadas;
• à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente para 
cima ou para baixo, variando a distância AC e o ângulo BÂC.
Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a distância 
entre A e C, em polegadas, pode ser obtida pela seguinte equação:
(A) y = 4 + sen(x)
(B) y = 4 + cos(x)
(C) y x x= + − sen ( ) cos ( )16 2
(D) y x sen x= + − cos( ) ( )16 2
09. Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança 
em um condomínio fechado, representado pelo polígono da figura 
a seguir.
T
A
S R
QP
A empresa pretende colocar uma torre de comunicação localizada 
no ponto A, indicado na figura, que seja equidistante dos vértices 
do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os 
equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono 
mede 3.000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais à 
distância do ponto A aos vértices do polígono. Calcule a distância 
do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono.
10. O mostrador do relógio de uma torre é dividido em 12 partes 
iguais (horas), cada uma das quais é subdividida em outras 5 partes 
iguais (minutos). Se o ponteiro das horas (OB) mede 70 cm e o 
ponteiro dos minutos (OA) mede 1 m, qual será a distância AB, 
em função do ângulo entre os ponteiros, quando o relógio marcar 
1 hora e 12 minutos?
O
B
A
Exercícios de Aprofundamento
01. Os lados de um triângulo são dados pelas expressões:
a x x b x c x= + + = + = −2 21 2 1 1, e
Demonstre que um dos ângulos do triângulo mede 120°.
02. Seja ABC um triângulo com lados AB = 6, BC = 7, CA = 10. 
Seja D um ponto no lado CA de modo que CD = 8. Determine o 
comprimento do segmento BD.
Matemática II
Módulo
 13
434 Vol. 3
Ciclo trigonométrico: arcos, ângulos, 
unidades de medida e comprimento
Nos módulos anteriores você aprendeu a calcular senos, 
cossenos e tangentes de ângulos agudos (entre 0° e 90°). Neste 
módulo, aprenderemos a lidar com ângulos maiores que 90° e até 
mesmo com ângulos negativos. Para isso, precisamos introduzir 
o ciclo trigonométrico.
1. Ciclo trigonométrico
Considere um sistema or togonal de eixos e tome uma 
circunferência centrada na origem e de raio unitário como na 
figura. A cada ângulo x, associamos um ponto da circunferência 
da seguinte forma:
A(1,0)
x
x
I. Se x é positivo, percorreremos a partir do ponto A(1,0) uma 
distância x no sentido anti-horário sobre a circunferência.
II. Se x é negativo, percorreremos a partir do ponto A(1,0) uma 
distância x no sentido horário sobre a circunferência.
III. Se x = 0, permanecemos no ponto A(1,0).
1.1 Ângulos medidos em radianos
Como há uma correlação entre os ângulos e os pontos da 
circunferência, criou-se uma outra unidade de medida – denominada 
radianos - para ângulos. Essa unidade é baseada no comprimento 
percorrido pelo ponto x indicado no ciclo trigonométrico. 
O comprimento total do ciclo, que é uma circunferência de raio 
1, é dado por 2 2rp = p, logo pode-se dizer que uma volta completa 
(360°) corresponde a 2p radianos. Para fazermos a conversão 
entre as duas unidades, basta efetuar uma regra de 3 partindo da 
equivalência correspondente à volta completa.
Definição: dois ângulos que correspondem ao mesmo ponto no 
ciclo trigonométrico são ditos côngruos. Dois ângulos x e y são 
côngruos quando x – y =2kp, para algum k inteiro. Isso significa 
que há um número (x) inteiro de voltas (2p) entre eles.
2. Funções trigonométricas
2.1 Seno (sen)
A cada ângulo x, temos um ponto P associado no ciclo 
trigonométrico. Definimos o seno de x, representado por sen x, 
como sendo a ordenada do ponto P.
sen
x
x
sen x {
Seria possível medir a sombra de um avião somente 
com a sua foto?
Vamos supor que lhe dessem a foto de um avião 
decolando e fosse pedido o tamanho de sua sombra feita 
pelo sol de meio-dia.
Talvez você não saiba, mas para medir esta sombra você 
precisaria somente da foto e do tamanho do avião. Não se 
esqueça de que ângulos não são distorcidos ao mudarmos 
o tamanho de uma foto. Usando o cosseno você encontraria 
o tamanho da sombra.
Mas o importante não é apenas calcular a sombra, 
e sim observar que este ângulo mais a medida do avião 
serão necessários para calcular várias outras medidas 
que queiramos, e todas essas medidas têm relação. Se 
mudarmos esse ângulo de decolagem, as outras medidas 
também serão alteradas. E é exatamente essa a ideia do ciclo 
trigonométrico, assunto deste módulo: mostrar que essas 
medidas estão intrinsecamente ligadas.
α
©
iS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
/rb
ou
w
m
an
Ciclo trigonométrico: arcos, ângulos, 
unidades de medida e comprimento
4351a Série
2.2 Cosseno (cos)
A cada ângulo x, temos um ponto P associado no ciclo 
trigonométrico. Definimos o cosseno de x, representado por cos 
x, como sendo a abscissa do ponto P. 
x
x
cos x cos
2.3 Tangente (tan)
A cada ângulo x com cosseno não nulo, definimos tan
sen
cos
x
x
x
= .
3. Quadrantes
Os eixos coordenados dividem a circunferência em quatro 
partes, denominados quadrantes, que são numerados no sentido 
anti-horário, conforme mostra a figura.
sen
cos
2o Q
3o Q 4o Q
1o Q
1o Q 2o Q 3o Q 4o Q
sen + + – –
cos + – – +
tan + – + –
Quad
Função
Sinal das funções trigonométricas de acordo com os quadrantes.
4. Reduções ao 1o quadrante
4.1 2o para 1o quadrante
sen sen
cos cos
tan tan
pi
pi
pi
−( ) =
−( ) = −
−( ) = −
x x
x x
x x
sen
cos
p – x x
4.2 3o para 1o quadrante
sen
cos
p + x
x
sen sen
cos cos
tan tan
x x
x x
x x
+( ) = −
+( ) = −
+( ) =
pi
pi
pi
4.3 4o para 1o quadrante
sen
cos
2p – x
x
sen sen
cos cos
tan tan
2
2
2
pi
pi
pi
−( ) = −
−( ) =
−( ) = −
x x
x x
x x
Para checar essas relações, basta desenhar o ponto no ciclo 
trigonométrico, observar a orientação dos eixos e compará-lo 
com o ponto no 1o quadrante, usando congruência de triângulos, 
quando necessário.
5. Ângulos complementares
sen
cos
x
p
2
sen cos
cos sen
pi
pi
2
2
−




 =
−




 =
x x
x x
6. Paridade
sen
cos
– x
x
sen( ) sen
cos( ) cos
− = −
− =
x x
x x
 (seno é ímpar e cosseno é par)
Matemática II – Módulo 13
436 Vol. 3
Como poderíamos calcular a soma de vários cossenos 
como
cos cos cos
cos
60 0 180 60 1 180 60 2 180
60 2
° + ⋅ °( ) + ° + ⋅ °( ) + ° + ⋅ °( ) +
+ ° + 0014 180⋅ °( )
Vamos usar aqui que cos(180° + a) = (–cosa) e que 
cos(360° + a) = cosa. Assim, juntando a soma em pares 
como cos(60° + 0 · 180°) + cos(60° + 1 · 180°) = 0, 
cos(60° + 2 · 180°) + cos(60° + 3 · 180°) = 0, temos 
que a soma pedida é: cos(60° + 2014 · 180°) = cos60° = 
cos60
1
2
° = .
Exercícios Resolvidos
01. Simplifique a expressão sen (270° + a) + sen (450° + a).
Solução:
Escrevendo 270° = 3 · 90° e 450 = 5 · 90°, podemos desenhar 
os pontos no ciclo trigonométrico e concluir que: 
sen (270 + a) = – sen (90 – a) = – cos a e sen (450 – a) = 
sen (90 – a) = cos a. 
Logo, a expressão vale zero.
02. Determine sen x e tan x, sabendo que cos x = −
3
5
 e x é um 
arco do terceiro quadrante.
Solução:
Usando a relação fundamental sen cos2 2 1x x+ = , segue que 
sen2
16
25
x = .
Como x está no terceiro quadrante, temos que sen x < 0 e, portanto, 
sen x = −
4
5
. Finalmente, tan
sen
cos
x
x
x
= =
4
3
.
Exercícios de Fixação
01. Simplificar:
a. sen
pi
2
+




x c. sen
3
2
pi
−




x
b. cos
pi
2
+




x d. cos
3
2
pi
−




x
02. Simplificar
sen cos
tan cos
−( ) + +





−( ) + −( )
x x
x x
pi
pi pi
2
2
03. Simplificar as expressões:
a. cos (90° + a) cos (180° – a) + sen (180° + a)sen(90° + a);
b. sen (360° + a) + cos a cos (90° – a) + sen (90° – a) sen 
(360° – a); 
04. A figura abaixo representa uma circunferência trigonométrica 
em que MN é diâmetro e o ângulo α mede 5p
6
 radianos.
y
α
N
xA
B
CM
A razão entre as medidas dos segmentos AB e AC é:
(A) 26 3. (C) 
3
2
.
(B) 3. (D) 
3
3
.
05. Se cos x = −
12
13
 e x está no terceiro quadrante, determine tan x.
06. Determine o valor de 
1
2 1320
2
53
3
2220
2
cos
cos tan
°
− 




 + °( )
pi
07. O professor de Matemática de Artur e Bia pediu aos alunos que 
colocassem suas calculadoras científicas no modo “radianos” e 
calculassem o valor de sen p
2
. Tomando um valor aproximado, Artur 
digitou em sua calculadora o número 1,6 e, em seguida, calculou 
o seu seno, encontrando o valor A. Já Bia calculou o seno de 
1,5 obtendo o valor B. Considerando que p
2
 vale aproximadamente 
1,5708, assinale a alternativa que traz a correta ordenação dos 
valores A, B e sen p
2
.
(A) sen
pi
2
< <A B. 
(B) A B< <sen
pi
2
. 
(C) A B< < sen
pi
2
.
(D) B A< <sen
pi
2
.
(E) B A< < sen
pi
2
.
Ciclo trigonométrico: arcos, ângulos, 
unidades de medida e comprimento
4371a Série
08. Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS está inscrito na 
circunferência trigonométrica, os arcos AP e AQ têm medidas iguais
a α e b respectivamente, com 0 < α < b < p.
Q
P
A
R
S
b
α
Sabendo que cos α = 0,8, pode-se concluir que o valor de cos b é:
(A)	−0,8.	
(B) 0,8. 
(C)	−0,6.	
(D) 0,6. 
(E)	 −0,2.	
09. Na figura abaixo, a circunferência de centro O é trigonométrica, 
o arco AM tem medida α, 0 < α < 
2
pi
, e OMP é um triângulo 
retângulo em M. 
Esse triângulo tem por perímetro:
M
y
xA P
α
O
(A) 1+ +sen cos
cos
α α
α
 (C) 1 2+ +sen cos
cos
α α
α
(B) 1+ +sen cos
sen
α α
α
 (D) 1 2+ +sen cos
sen
α α
α
10. Observe a tabela a seguir, que mostra a relação entre três 
redes sociais da internet e a quantidade de usuários, em milhões 
de pessoas, que acessam essas redes na Argentina, Brasil e Chile, 
segundo dados de junho de 2011.
Número de usuários de redes sociais em milhões de pessoas:
Argentina Brasil Chile
Facebook 11,75 24,5 6,7
Twitter 2,4 12 1,2
Windows Live 
profile
3,06 14,6 1,44
Disponível em: <www.slideshare.net>.
Reescrevendo os dados da tabela em forma de matriz, temos:
A =










1175 24 5 6 7
2 4 12 12
3 06 14 6 144
, , ,
, ,
, , ,
Considerando que aij o elemento da linha i e coluna j ),	com	1	≤	i	≤	3,	 
1	≤	j	≤	3,	são	os	elementos	da	matriz	A, então cos
a a
a
22 21
33
−




pi rad 
vale:
(A) −
1
2
.
(B) – 1.
(C) 0.
(D) 1.
(E) 1
2
.
Matemática II
Módulo
 14
438 Vol. 3
Ciclo trigonométrico: 
razões trigonométricas na circunferência
Em outro módulo, estudamos interpretações geométricas 
para o seno e o cosseno de um ângulo qualquer. Neste módulo, 
veremos tal interpretação geométrica para a tangente de um ângulo 
e, além disso, introduziremos novas razões trigonométricas, como 
a cotangente, secante ecossecante.
1. Eixos trigonométricos
1.1. Eixo dos senos
Como vimos no módulo anterior, o seno de um ângulo 
associado a um ponto da circunferência é a projeção desse ponto 
no diâmetro vertical da circunferência. Por exemplo, para medir o 
seno de 55 graus, basta desenharmos – com transferidor – o ângulo 
de 55, identificar o ponto correspondente no ciclo trigonométrico e, 
em seguida, fazer a projeção desse ponto no eixo vertical.
Eixo dos senos
Sen x
x
x
1
1
– 1
– 1
Como o eixo dos senos é vertical, concluímos que o seno 
de um ângulo será positivo se ele estiver no 1º ou 2º quadrante 
(projeção cai na parte superior do eixo) e negativo caso contrário.
eixo dos senos
parte negativa
parte positiva
1.2. Eixo dos cossenos
parte negativa
eixo dos cossenos
parte postiva
O
1.3. Eixo das tangentes
eixo das tangentes
parte positiva
A
parte negativa
Você sabia que é possível, com transferidor 
e régua, descobrir seno/cosseno/tangente de 
qualquer ângulo?
Os ângulos que aparecem em problemas reais de 
engenharia ou arquitetura raramente são os ângulos 
cujas linhas trigonométricas já conhecemos, como 30, 
45 e 60. Por exemplo, ao tentar medir a altura do pão 
de açúcar, poderíamos obter um ângulo de 55 graus, 
cujo seno não conhecemos. 
As fórmulas de adição aprendidas anteriormente nos 
permitem calcular algebricamente linhas trigonométricas 
para outros ângulos, mas o processo pode se tornar 
muito trabalhoso. Quando queremos apenas uma 
aproximação do valor, a melhor alternativa é fazer uma 
medida no ciclo trigonométrico, conforme aprenderemos 
neste módulo.
©
IS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
/C
es
ar
Ok
ad
a
Ciclo trigonométrico: razões trigonométricas na circunferência
4391a Série
1.4. Eixo das cotangentes
parte negativa parte positiva
eixo das cotangentes
2. Razões trigonométricas
2.1. Tangente
Dado um número real x
k
k≠
+( )
∈
2 1
2
pi
,  , seja P seu ponto 
associado no ciclo trigonométrico. Seja T o ponto de interseção da 
reta OP com o eixo das tangentes. Definimos tan x como sendo a 
medida do segmento AT, caso o ponto T esteja na parte positiva 
do eixo das tangentes. Por outro lado, se T está na parte negativa 
do eixo das tangentes, tan x será o oposto da medida do segmento 
AT e, portanto, será negativa.
x
tan x
P
O
A
Obs.: Muitos livros também adotam tg x.
2.2 Cotangente
Dado um número real x k k≠ ∈pi,  , seja P seu ponto 
associado no ciclo trigonométrico. Seja C o ponto de interseção 
da reta OP com o eixo das cotangentes. Definimos cot x como 
sendo a medida do segmento BC, caso o ponto C esteja na parte 
positiva do eixo das cotangentes. Por outro lado, se C está na parte 
negativa do eixo das tangentes, cot x será o oposto da medida do 
segmento BC e, portanto, será negativa.
x
O
P
cot xB C
Atente para o fato de que cot
cos
sen tan
x
x
x x
= =
1
.
Obs.: Muitos livros também adotam cotg x ou ctg x.
2.3 Secante
Dado um número real x
k
k≠
+( )
∈
2 1
2
pi
,  seja P seu ponto 
associado no ciclo trigonométrico. Seja S o ponto de interseção da 
tangente ao ciclo trigonométrico em P com o eixo dos cossenos. 
Definimos sec x como sendo a abscissa do ponto S.
x
sec x S
P
O
Atente para o fato de que sec
cos
x
x
=
1
.
2.4 Cossecante
Dado um número real x k k≠ ∈pi, , seja P seu ponto associado 
no ciclo trigonométrico. Seja D o ponto de interseção da tangente 
ao ciclo trigonométrico em P com o eixo dos senos. Definimos csc 
x como sendo a ordenada do ponto D. 
x
P
D
O
csc x
Atentem para o fato de que
csc
sen
x
x
=
1
3. Relações Fundamentais
Em módulos anteriores, vimos uma relação envolvendo o seno 
e o cosseno de um mesmo arco: sen2x + cos2x = 1 (*). Agora 
que aprendemos outras razões trigonométricas, podemos, a partir 
desta relação, deduzir outras, como veremos a seguir.
Dividindo a relação (*) por cos2x e por sen2x , respectivamente, 
temos que:
1 + tan2 x = sec2x
1 + cot2 x = csc2x
Matemática II – Módulo 14
440 Vol. 3
Você sabia que, para ângulos x, medidos em radianos, 
muito pequenos, temos que sen x é praticamente igual a x? 
Veja os seguintes exemplos verificados com uma calculadora:
sen 0,17 = 0,1691823490...
sen 0,01 = 0,0099998333...
Quanto menor o ângulo, mais ele se aproxima de seu seno.
Tal fato tem uma intuição geométrica bem clara, pois x é 
o comprimento da medida do arco na figura e sen x é a altura 
indicada na figura. Pode-se então verificar que conforme o 
ângulo x diminui, a medida do arco e a altura tendem a coincidir.
x
cos
sen
sen
Tal aproximação é bastante utilizada em alguns problemas 
de Física, como o problema da determinação do período de um 
pêndulo simples a partir do seu comprimento e da gravidade 
local T
l
g
=





2pi .
Exercícios Resolvidos
01. Calcule tanx, sabendo que sen2x + 5senxcosx + cos2x = 3.
Solução:
Dividindo a equação dada por cos2x (perceba a naturalidade deste 
passo, dado que estamos interessados em calcular tanx), obtemos que 
tan2x + 5tanx + 1 = 3sec2x. Usando agora que sec2x = 1 + tan2x, segue 
q u e tan tan tan tan tan2 2 25 1 3 3 2 5 2 0x x x x x+ + = + ⇔ − + = . 
Resolvendo a equação do segundo grau, temos que tanx = 2 ou 
tan x =
1
2
.
02. Se sen cosx x+ =
3 2
4
, calcule o valor de senx cosx.
Solução:
Elevando ao quadrado a relação dada e usando o produto notável 
“Quadrado da Soma”, temos que
 sen cos sen cos sen cos2 2 2
9
8
2
1
8
x x x x x x+ + ⋅ = ⇔ ⋅ = (usamos 
que sen2x + cos2x = 1).
Logo, sen cosx x =
1
16
.
Exercícios de Fixação
01. Calcule cos x, sabendo que 5sec x – 3tan2x = 1.
02. Se x é um arco do terceiro quadrante tal que sec x = − 5, 
calcule tan x + cot x.
03. Se cos x + sec (– x) = t, então, cos2x + sec2x é igual a: 
(A) 1. (D) t2 – 2.
(B) t2 + 2. (E) t2 + 1.
(C) t2.
04. O valor de m para que exista um ângulo x com 
cos x
m
e x m=
−
( ) = −2
1
2 tg é dado por: 
(A) um número par.
(B) um número ímpar.
(C) um número negativo. 
(D) um número natural maior que 10.
(E) um número irracional.
05. Certas combinações entre as funções ex e e–x (onde “e” é 
o número de Euler, x ∈ IR) surgem em diversas áreas, como 
Matemática, Engenharia e Física. O seno hiperbólico e o cosseno 
hiperbólico são definidos por
senh(x) = 
e ex x−( )−
2
 e cosh(x) = 
e ex x−( )−
2
Então, cosh2(x) – senh2(x) é igual a: 
(A) 0. (D) 1.
(B) 1/4. (E) – 1.
(C) – 1/4.
06. Calcule 
1 1
2 2
2
+( ) + −( )cot cot
csc
x x
x
.
07. Sabendo-se que sen a – cos a = m e sen a + cos a = n, o 
valor de y = sen4a – cos4a, é:
(A) mn. (C) m + n. 
(B) m – n. (D) m2 – n2.
08. O valor de y = sen210° + sen220° + sen230° + sen240° + 
sen250° + sen260° + sen270° + sen280° + sen290° é: 
(A) –1. (D) 4. 
(B) 1. (E) 5. 
(C) 2.
09. Sabendo que senx + cosx = S, calcule, sen4x + cos4x.
10. Se senx + sen2x = 1, calcule E = cos2x + cos4x.
Matemática II
Módulo
 15
4411a Série
Transformações trigonométricas
Você provavelmente já percebeu que 75° = 45° + 30° ou que 
15° = 45° – 30°. Como já vimos em módulos passados, 
conhecemos as razões trigonométricas de 30° e 45°. Será que é 
possível a partir desses valores conhecer as razões trigonométricas 
de 75° e 15°? Veremos nesse módulo fórmulas para expressões 
como sen(a + b) e também veremos como fatorar expressões 
como senp + senq (lembre-se de que fatorar significa colocar a 
expressão na forma de produto!).
1. Adição e subtração de arcos
As fórmulas abaixo serão muito úteis para um desenvolvimento 
mais avançado da trigonometria:
I. sen(a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a
II. sen(a – b) = sen a · cos b – senb · cos a
III. cos(a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b
IV. cos(a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b
V. tan
tan tan
tan tan
a b
a b
a b
+( ) = +
− ⋅1
VI. tan
tan tan
tan tan
a b
a b
a b
−( ) = −
+ ⋅1
2. Arco duplo
Na fórmula I, fazendo a = b, temos:
VII. sen 2a = 2sena · cosa
Na fórmula III, fazendo a = b, temos cos2a = cos2a – sen2a. 
Podemos ainda trocar sen2a = 1 – cos2a ou cos2a = 1 – sen2a e obtermos 
cos2a = 2cos2a – 1 ou ainda cos2a = 1 – 2sen2 a.
VIII. cos 2a = cos2a – sen2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sen2a.
Na fórmula V, fazendo a = b, temos:
IX. tan
tan
tan
2
2
1 2
a
a
a
=
−
3. Arco metade
Trocando 2a por a na fórmula VIII, obtemos:
X. cos
cosa a
2
1
2
= ±
+
XI. sen
cosa a
2
1
2
= ±
−
Dividindo X por XI, chegamos a:
XII. tan
cos
cos
a a
a2
1
1
= ±
+
−
4. Fatorações trigonométricas
Em álgebra, é muito útil fatorar expressões (por exemplo, 
resolver uma equação algébrica pode se tornar uma tarefa bem mais 
simples!). Da mesma forma, na trigonometria, fatorações podem se 
tornar ferramentas muito úteis na resolução de problemas. Vejamos 
tais fatorações trigonométricas.
Para isso, observe as seguintes identidades:
sen sen sen ·cos
sen sen sen ·cos
co
a b a b a b
a b a b b a
+( ) + −( ) =
+( ) − −( ) =
2
2
ss cos cos ·cos
cos cos sen ·sen
a b a b a b
a b a b a b
+( ) + −( ) =
+( ) − −( ) = −
2
2
De que adianta conhecermos seno de 30°, 45° e 
60° se os ângulos de verdade podem ter valores muito 
diferentes disso?
Quando observamos formas geométricas na vida 
real, como na figura em destaque, obtemos ângulos que 
não necessariamente são iguais aos que estudamos 
nos módulos anteriores.
Para estender o uso da trigonometria a essas 
situações, é importante saber calcular funções 
trigonométricas de outros ângulos. Neste módulo, 
aprenderemos como obter novas linhas trigonométricas 
a partir de linhas dadas.
©
iS
to
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in
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or
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Matemática II – Módulo 15
442 Vol. 3
Fazendo agora a + b = p e a – b = q, temos que a
p q
=
+
2
 e 
b
p q
=
−
2
. Dessa forma, chegamos a:
XIII. sen sen sen cosp q
p q p q
+ =
+




 ⋅
−




2 2 2
XIV. sen sen sen cosp q
p q p q
− =
−




 ⋅
+




2 2 2
XV. cos cos cos cosp q
p q p q
+ =
+




 ⋅
−




2 2 2
XVI. cos cos sen senp q
p q p q
− = −
+




 ⋅
−




2 2 2
Veremos aqui as demonstrações das fórmulas I, III e V:
Inicialmente, sobreponha um triângulo retângulo de ângulo 
a a um de ângulo b e hipotenusa 1, como na sequência de 
figuras abaixo. Em seguida, pense no seno como a projeção da 
hipotenusa no cateto separado e no cosseno como a projeção 
no cateto colado para obter as seguintes relações:
APO
1
B
C
α
α
α
b 90 – α
90 – α
 ACO
1
B
C
α
b
senb
cos
b
A
P
Q
O
1
B
C
α
α
senb ⋅ cosα
senb ⋅ senα
cosb ⋅ senα
cosb ⋅ cosα
cos
b
No triângulo OBC, temos: OB=cosb e BC=senb.
No triângulo OAB, temos: OA = cosa	 ∙	 hipotenusa	=	 
cosa	∙	cosb e AB = sena	∙	cosb.
No triângulo QBC, temos: BQ =	hipotenusa	∙	sena = senb 
∙	sena e QC = senb	∙	cosa.
Logo, olhando para o triângulo OPC, temos:
sen sen cos sen cosa b
PC
AB QC a b b a+( ) = = + = ⋅ + ⋅
1
cos a b
OP
OA BQ a b a b+( ) = = − = ⋅ − ⋅
1
cos cos sen sen
O P
1
C
α +
 b
Dividindo uma pela outra e, em seguida, dividindo numerador 
e denominador por cosa ∙	cosb:
tan( )
( )
( )
cos
cos cos
cos
cos
a b
a b
a b
a b
a b
b a
a
+ =
+
+
=
⋅
⋅
+
⋅
sen
cos
sen sen
⋅⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
=
+
−
cos
cos cos
cos cos cos cos
tan tan
ta
b
a b
a b
a b
a b
a b
sen sen
1 nn tana b⋅
Exercícios Resolvidos
01. Calcule sen75°, cos75°.
Solução
Podemos escrever:
sen sen sen cos sen cos75 45 30 45 30 30 45
2
2
3
2
1
2
2
2
° = ° + °( ) = ° ° + ° ° =
⋅ + ⋅ =
66 2
4
+
.
Da mesma forma, temos que:
cos cos cos cos sen75 45 30 45 30 45
2
2
3
2
2
2
1
2
° = ° + °( ) = ° ° − ° ° =
⋅ − ⋅ =
sen30
66 2
4
−
.
02. Determine o valor de (tan10° + cot10°)sen20°.
Solução:
Temos que:
tan cot
sen
cos
cos
sen
sen cos
sen
10 10
10
10
10
10
10 102 2
° + ° =
°
°
+
°
°
=
° + °
110 10
1
20
2
2
20
° °
=
=
°
=
°
cos
sen sen
.
Logo, o produto pedido é: 
2
20
20 2
sen
sen
°
⋅ ° = .
Transformações trigonométricas
4431a Série
Exercícios de Fixação
01. Sabendo que sen x =
9
25
, tan y =
12
5
e x, y são ângulos do 2o e 3o 
quadrante, respectivamente, calcule sen(x + y) e cos(x + y).
02. Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15°. 
A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto 
determinado do caminhão, depois de percorridos 100 m da ladeira, 
será de, aproximadamente:
Dados: 3 173
2
1
2
2≅ 




 =
−
, ;
cos
.sen
θ θ
(A) 7 m. (D) 52 m.
(B) 26 m. (E) 67 m.
(C) 40 m.
03. Suponha que o planeta Terra seja uma esfera de centro C e 
raio R. Na figura, está representado o planeta Terra e uma nave 
espacial N. A fração visível da superfície da Terra por um astronauta 
na nave N é dada em função do ângulo q, mostrado na figura, pela 
expressão: f θ
θ( ) = −1
2
sen
.
q
d
N
B
A
R
C
a. Determine o ângulo q, em graus, para o qual é visível da nave a 
quarta parte da superfície da Terra e a distância da nave à superfície 
da Terra neste caso. (Use a aproximação R = 6.400 km.)
b. Se um astronauta em uma nave, a uma distância d da Terra, 
avista a superfície da Terra com ângulo q = 15°, determine a 
fração visível da superfície da Terra pelo astronauta. (Use as 
aproximações 2 14 6 2 4= =, , e .) 
04. Determine o valor de tan 22,5°.
05. Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo 
comprimento a, mas com inclinações diferentes. As figuras abaixo 
representam as trajetórias retilíneas AB = CD = EF, contidas nas 
retas de maior declive de cada rampa.
A
B D F
a
a a
C
E
h1
h2
h3
15° 45° 75°
Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E 
são, respectivamente, h1, h2 e h3 conclui-se que h1 + h2 é igual a: 
(A) h3 3. (C) 2h3.
(B) h3 2. (D) h3.
06. 
“Construída a toque de caixa pelo regime militar, Tucuruí 
inundou uma área de 2.000 km2, sem que dela se retirasse a 
floresta. A decomposição orgânica elevou os níveis de emissão de 
gases, a ponto de fazer da represa, nos anos 90, a maior emissora 
de poluentes do Brasil. Ganhar a vida cortando árvores submersas 
exige que um mergulhador desça a mais de 20 metros, com 
praticamente zero de visibilidade e baixas temperaturas. Amarrado 
ao tronco da árvore, maneja a motosserra.”
Veja, ano 37. n.23. ed. 1857. São Paulo: Abril. p.141 (adaptado).
15 m20 m
q
superfície 
da águaUma vez serrada, a árvore é puxada e 
amarrada a pedaços de madeira seca.
No instante em que o tronco de madeira 
de 20 m de comprimento forma um 
ângulo q com a vertical de 15 m, o 
valor de cos2q é igual a:
(A) 3
2
.
(B) 9
8
.
(C) 9
16
.
(D) 7
16
.
(E) 1
8
.
07. Calcule o valor da expressão E =
°
− °
1
2 10
2 70
sen
sen .
08. O valor de y no sistema de equações
sen
sen
sen
sen
10 10
1
50
50 50
1
10
° − ° ⋅ = −
°
° + ° ⋅ =
°






x y
x y
cos
cos
 é:
(A) 4 3
3
. (D) 3
3
.
(B) 3. (E) 3
4
.
(C) 3 3.
09. Se α β
pi
+ =
4
, determine o valor de P = (1 + tan α)(1 + tan b).
MatemáticaII – Módulo 15
444 Vol. 3
10. Na figura a seguir o triângulo ABD é reto em B, e AC é a bissetriz 
de BÂD. Se AB = 2 · BC, fazendo BC = b e CD = d, então:
A B
C
D
(A) d = b. (D) = 6
5





 b.
(B) d = 5
2





 b. (E) d = 
5
4





 b.
(C) d = 5
3





 b.
Exercícios de Aprofundamento
01. Demonstre que sen(a + b) · sen(a – b) = sen2a – sen2b.
02. Calcule tan 81° – tan 63° – tan 27° + tan 9°.
Rascunho
Matemática II
Módulo
 16
4451a Série
Revisão
Exercícios de Fixação
01. Calcule o seno do maior ângulo de um triângulo cujos lados 
medem 4, 6 e 8.
02. A figura abaixo é constituída de um quadrado de lado L e quatro 
triângulos equiláteros.
E F
H G
C
D B
A
Determine, em função de L, a medida do segmento AB.
03. Considere dois ângulos agudos cujas medidas a e b, em graus, 
são tais que a + b = 90° e 4sena – 10senb = 0.
Nessas condições é correto concluir que:
(A) tga = 1 e tg b = 1.
(B) tga = 4 e tgb =
1
4
.
(C) tga =
1
4
 e tgb = 4.
(D) tga =
2
5
 e tgb =
5
2
.
(E) tga =
5
2
 e tgb =
2
5
.
04. Sabendo que cos ,θ θ− =sen
6
3
então o valor de sen(2q) é: 
(A) –1. (D) 1
3
.
(B) −
5
9
. (E) 5
6
.
(C) 1
6
.
05. Calcule o valor da expressão
E = tan 20° + tan 40° + 3tan 20° ⋅ tan 40°.
Exercícios Contextualizados
01. Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. 
As figuras abaixo ilustram a rampa que terá que ser vencida e a 
bicicleta de Laura.
h
α
26°
24°
77°
30°
a
b
a. Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de 
inclinação α tal que cos α = 0 99, . Suponha, também, que 
cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15m. Calcule a altura 
h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida 
por Laura após dar 100 pedaladas.
b. O quadro da bicicleta de Laura está destacada na figura. Com 
base nos dados da figura, e sabendo que a mede 22 cm, calcule o 
comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais.
02. Quadros interativos são dispositivos de interface humana que 
permitem ao usuário interagir com as imagens projetadas sobre uma 
tela grande, geradas por um computador. O uso desses quadros 
é cada vez mais comum em instituições de ensino, substituindo 
o quadro para giz ou o quadro branco. Uma das tecnologias que 
possibilita essa interação funciona a partir de um sensor instalado 
em um dos cantos da tela onde a imagem é projetada, e de uma 
caneta eletrônica especial que, ao ser acionada, emite dois sinais 
simultâneos: um pulso sonoro (ultrassom) e um pulso luminoso 
(infravermelho). O pulso de ultrassom é usado para calcular a 
distância da ponta da caneta até o sensor, enquanto o pulso de 
infravermelho indica ao sistema o ângulo entre a base da tela e o 
segmento de reta que une o sensor à ponta da caneta. Considere 
um quadro interativo de 3 metros de largura por 2 metros de altura, 
representado no primeiro quadrante de um plano cartesiano, com 
o sensor instalado na origem. Um usuário aciona a caneta em três 
pontos distintos da tela, gerando as leituras de distância e de ângulo 
apresentadas na tabela:
Matemática II – Módulo 16
446 Vol. 3
ponto distância ângulo
A 2 m 60°
B 2 m 30°
C 1 m 30°
O triângulo com vértices nos pontos A, B e C é:
(A) escaleno.
(B) equilátero.
(C) isósceles de base BC.
(D) isósceles de base AB.
(E) retângulo em A.
03. Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a 
Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, entre 
275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul 
do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não 
apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, 
nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. 
O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício 
de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o 
ângulo q entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. 
O valor do raio da Terra, obtido a partir de q e da distância entre 
Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 7.500 km.
Raios de sol
Alexandria
Assuã
q
O mês em que foram realizadas as observações e o valor 
aproximado de q são:
(Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e 
Alexandria ≅ 900 km; p = 3.)
(A) junho; 7°.
(B) dezembro; 7°.
(C) junho; 23°.
(D) dezembro; 23°.
(E) junho; 0,3°. 
04. A soma cos20° + cos22° + cos24° + cos26° + ... + cos2358° + 
+ cos2360° é igual a 
(A) 316. (D) 180.
(B) 270. (E) 91.
(C) 181.
05. Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em 
um plano horizontal, contém água até a altura 
3
4
a. Inclina-se 
lentamente o cubo, girando-o em um ângulo q em torno de uma 
das arestas da base, como está representado na figura abaixo.
q
a. Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água 
começar a derramar, determine a tangente do ângulo q.
b. Considerando, agora, a inclinação tal que tan(q) = 1/4, 
com 0 < q < p/2, calcule o valor numérico da expressão 
cos(2q) – sen(2q).
06. 
P1
P2
Q0
Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois 
braços ar ticulados que se movem em um plano ver tical, 
perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P1 e P2 
representam, respectivamente, a articulação de um dos braços 
com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre 
do guindaste. O braço OP1 tem comprimento 6 e o braço P P1 2 
tem comprimento 2. Em um dado momento, a altura de P2 é 2, 
P2 está a uma altura menor do que P1 e a distância de O a P2 é 2 10. 
Sendo Q o pé da perpendicular de P2 ao plano do chão, determine:
a. o seno e o cosseno do ângulo P2ÔQ entre a reta OP2
� ���
 e o plano 
do chão;
b. a medida do ângulo O
^
P1P2 entre os braços do guindaste;
c. o seno do ângulo P1ÔQ entre o braço OP1 e o plano do chão. 
07. Qualquer ponto no espaço tridimensional pode ser associado 
de maneira única com as suas chamadas coordenadas esféricas: 
x = rsenϕcosq, y = rsenϕsenq e z = rcosϕ, onde 0 ≤ ϕ ≤ p e 0 ≤ q ≤ 2p. 
Dessa forma, ao calcular o valor de x2 + y2 + z2, encontramos:
(A) 1. (C) r².
(B) r. (D) r2sen ϕ.
Revisão
4471a Série
08. Considere o quadrilátero convexo ABCD mostrado na figura, 
em que AB AD= =4 3cm, cm e  = 90°
A B
C
D
α
α
Se a diagonal BD está contida na bissetriz do ângulo A^BC e BD BC= , 
então a medida do lado CD, em centímetros, vale:
(A) 2 2.
(B) 10.
(C) 11.
(D) 2 3.
(E) 15.
09. Um observador, situado no ponto P de um prédio, vê três 
pontos, Q, R e S, numa mesma vertical, em um prédio vizinho, 
conforme esquematizado na figura abaixo. P e Q estão num mesmo 
plano horizontal, R está 6 metros acima de Q, e S está 24 metros 
acima de Q. Verifica-se que o ângulo P do triângulo QPR é igual ao 
ângulo P do triângulo RPS.
O valor, em metros, que mais se aproxima da distância entre P e Q é:
(A) 8,5.
(B) 8,8.
(C) 9,4. 
(D) 10,2.
10. Uma família viaja para Belém (PA) em seu automóvel. Em 
um dado instante, o GPS do veículo indica que ele se localiza nas 
seguintes coordenadas: latitude 21°20’ Sul e longitude 48°30’ Oeste. 
O motorista solicita a um dos passageiros que acesse a Internet em 
seu celular e obtenha o raio médio da Terra, que é de 6.730 km, e 
as coordenadas geográficas de Belém, que são latitude 1°20’ Sul 
e longitude 48°30’ Oeste. A partir desses dados, supondo que a 
superfície da Terra é esférica, o motorista calcula a distância D, do 
veículo a Belém, sobre o meridiano 48°30’ Oeste.
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor da 
distância D, em km. 
(A) D =
pi
9
6.730. (D) D =
pi
36
6.730.
(B) D = ( )pi
18
6.73
2
0 . (E) D = 





pi3
6.73
2
0.
(C) D =
pi
9
6.730.
Exercícios de Aprofundamento
01. Dado o triângulo abaixo, em que AC = DC = BD = x e AB = 1, 
calcule o cos 36.
A
C
BD
36°
36°
36°
72°
72°
02. O triângulo ABC, inscrito numa circunferência tem um lado 
medindo 20
p
, cujo ângulo oposto é de 15º. O comprimento da 
circunferência, em cm, é:
(A) ( )20 2 1 3+
(B) ( )400 2 3+
(C) ( )80 1 3+
(D) ( )10 2 3 5+
(E) ( )20 1 3+
Matemática II – Módulo 16
448 Vol. 3
Rascunho