Equacoes_Exatas___2013.2

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS DE PRIMEIRA ORDEM: 
 
 Uma equação diferencial de 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
é dita exata, se existe uma função 
 yxu , 
 tal que: 
     dyyxNdxyxMyxdu .,.,,  
. 
 Mas, 
  dy
y
u
dx
x
u
yxdu ..,





 
 (diferencial total) 
 Comparando a definição com a diferencial total, temos: 
 
N
y
u
M
x
u






 e 
. 
 Se M e N são funções contínuas com derivadas parciais primeiras contínuas em uma região do plano xy, então a 
equação é exata se, e somente se: 
 
x
N
y
M
xy
u
x
N
y
u
N
yx
u
y
M
x
u
M






























 
 
 
 
2
2
 
Ex.: Verificar se a equação 
  012 2  dyxdxxy ..
 é exata: 
 Solução: 
    
    exata. é equação a Como
2 1 e 2 2 2
,,,
,,
yxNyxM
xNxyxNxMxyyxM
xy
xy

 
 
 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL EXATA: 
 Se 
      










xgdyNdy
y
u
uN
y
u
ygdxMdx
x
u
uM
x
u
.... e 
. 
Exemplos: 
 1) Resolver a equação: 
  012 2  dyxdxxy ..
. 
 Solução: 
 Primeiro devemos verificar se ela é exata. O que já foi feito anteriormente. Logo: 
 
         
   
 
      Kyygygxygx
ygx
y
u
N
ygygyxu
ygyxyg
x
yygdxxyygdxxydxygdxMu






  
 11 Logo,
 Mas,
 é quem descobrir faltando é solução a Então
2
222
22
2
2
2
2
''
.'
,
......
 
 Então a solução é: 
  KyyKyyxyxu  22 ou ,
. 
UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO 
 
CURSO: MATEMÁTICA DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
PROFESSOR: ANTONIO FÁBIO DATA: ___/___/____ 
ALUNO: _____________________________________________________________ 
 
 2 
 2) Resolver a equação: 
    0312 223  dyxyxdxxyy ..
 
 Solução: 
 Inicialmente vamos verificar se ela é exata; 
 
   
   
exata. é ela , se Logo,
16 31 Se
61 2 Se
222
23
xy
x
y
NM
xyyxNxyxyxN
xyyxMxyyyxM



.,.,
,,
 
 A solução é dada por: 
 
         .... ygxyyxygdxxydxyygdxxyyygdxMf  
2333 22
 
 Então se 
        ).(igualando 313 222223 xyxygxyxyxfygxyyxyxf y  ',,
 
 Portanto; 
    .' Kyygyg  1
 
 Logo, 
  K ouK 2323  yxyyxyxyyxyxf ,
. 
 
EXERCÍCIOS: 
 
 1) Verifique se cada equação abaixo é exata ou não: 
  
0 b)
0 a)


dyexdxey
dyyxdxy
yxyx ....
..
..
 
 
 2) Resolva as equações que forem exatas: 
 
   
    0 c)
0333 .2 b)
02 a)
2
2
2



dyyxdxyx
dyyxdxysenx
dyyxdxxyx
..
.cos..
....