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Distaˆncias - parte 1 Prof. Theotonio Pauliquevis maio de 2010 – Typeset by FoilTEX – TIPOS DE DISTAˆNCIAS 1. Entre ponto e ponto 2. Entre ponto e reta 3. Entre duas retas 4. Entre ponto e um plano 5. Entre dois planos 6. Entre uma reta e um plano – Typeset by FoilTEX – 1 DISTAˆNCIA ENTRE PONTOS Temos muito pouco a falar neste caso... d(P1, P2) = ∣∣∣ ~P1P2∣∣∣ d(P1, P2) = √ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 – Typeset by FoilTEX – 2 – Typeset by FoilTEX – 3 – Typeset by FoilTEX – 4 Os vetores ~v e −−−→ P1P0 formam um paralelogramo cuja a´rea e´: A = |~v|d = |~v × ~P1P0| Isolando d, temos d = d(P0, r) = |~v × ~P1P0| |~v| – Typeset by FoilTEX – 5 Exerc´ıcio: calcular a distaˆncia do ponto P0(1, 2, 3) a` reta r : x = 1− 2t y = 2t z = 2− t – Typeset by FoilTEX – 6 Distaˆncia entre duas retas: Primeiro caso: retas sa˜o concorrentes. Neste caso, na˜o ha´ distaˆncia, ja´ que elas se cruzam... Segundo caso: As retas sa˜o paralelas. Primeira questa˜o: podemos usar o que aprendemos no ı´tem anterior (distaˆncia de ponto a reta) e aplicar neste caso? SIM. De fato, basta escolher um ponto qualquer de uma das retas, e calcular a distaˆncia deste ponto ate´ a outra reta Terceiro caso: As retas sa˜o reversas. Neste caso, temos que bolar um jeito novo. – Typeset by FoilTEX – 7 Observe o esquema: Note que ~u, e´ diretor de r, e ~v e´ diretor de s apesar deste estar desenhado deslocado no ve´rtice inferior. Note tambe´m que d, altura do paralelogramo, e´ a distaˆncia entre as retas. – Typeset by FoilTEX – 8 Sabemos que... o volume de um paralelep´ıpedo e´ dado por V = |~u× ~v|d = |(~u,~v,−−−→P1P2)| Isolando d, temos que d = d(r, s) = |(~u,~v,−−−→P1P2)| |~u× ~v| – Typeset by FoilTEX – 9 Exerc´ıcio: calcule a distaˆncia entre as retas r : y = 1x+ 2 = z − 4−2 e s : x = 3 y = 2t− 1 z = −t+ 3 – Typeset by FoilTEX – 10 Resoluc¸a˜o: a reta r passa pelo ponto P1(-2,1,4) e tem a direc¸a˜o do vetor ~u = (1, 0,−2), e a reta s pelo ponto P2(3,−1, 3) e tem a direc¸a˜o do vetor ~v = (0, 2,−1). Enta˜o,−−−→ P1P2 = (5,−2,−1). Assim, (~u,~v, −−−→ P1P2) = ∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 −2 0 2 −1 5 −2 −1 ∣∣∣∣∣∣∣ = 16 e ~u× ~v = ∣∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 1 0 2 0 2 −1 ∣∣∣∣∣∣∣ = (4, 1, 2) – Typeset by FoilTEX – 11 De acordo com a definic¸a˜o de distaˆncia, teremos d(r, s) = |16| |(4, 1, 2)| = 16√ 21 Exerc´ıcios propostos para hoje: 3 e 5 do livro. – Typeset by FoilTEX – 12
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