Lista 8 - Métodos e Aplicações de Integrais (c/ gabarito)

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Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
MAT 01353 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica IA
Lista 8 – Me´todos de integrac¸a˜o e aplicac¸o˜es
1. Calcule as integrais abaixo escolhendo um me´todo adequado:
a)
∫
x3√
4 + x2
dx
b)
∫
tan5(x) sec3(x) dx
c)
∫ −3x2 + x+ 2
x3 + 2x2 + x
dx
d)
∫
dx
(4 + x2)
3
2
e)
∫
x3 ln(2x) dx
f)
∫
2
√
2
0
x3√
16− x2 dx
g)
∫
3x+ 2
x3 + x2
dx
h)
∫
dx
x2
√
16− x2
i)
∫
x2 cos(3x) dx
j)
∫ √
4− x2 dx
2. Em cada caso decida se a integral impro´pria converge ou diverge, e caso convirja encontre seu
valor.
a)
∫
+∞
1
ln(x)
x2
dx
b)
∫
+∞
1
8x3
(x4 + 2)3
dx
c)
∫
+∞
e
6
x (ln x)3
dx
d)
∫
+∞
2
xe−2x dx
e)
∫
+∞
1/2
x−3 ln (2x) dx
f)
∫
0
−∞
ex
8 + ex
dx
3. Siga o roteiro:
a) Determine
∫
1
x2(x− 2) dx, usando uma te´cnica de integrac¸a˜o.
b) Justifique que
∫
2
1
1
x2(x− 2) dx e´ uma integral impro´pria.
c) Determine
∫
2
1
1
x2(x− 2) dx.
4. Na figura ao lado, esta˜o representadas as curvas
y = x2 e y = (x− 4)2 .
a) Calcule a a´rea da regia˜o sombreada.
b) Escreva e calcule uma integral (ou soma de in-
tegrais) que fornece o volume do so´lido obtido
quando giramos a regia˜o sombreada em torno do
eixo y.
1
2
3
4
1 2 3 4 5−1
x
y
5. Na figura ao lado, esta˜o representadas as curvas
y = 4− (x− 2)2 e y = x.
a) Calcule a a´rea da regia˜o hachurada A.
b) Escreva e calcule uma integral (ou soma de
integrais) que fornece o volume do so´lido ob-
tido quando giramos a regia˜o hachurada B
em torno do eixo x.
A
B
1
2
3
4
1 2 3 4 5−1
x
y
6. No sistema de coordenadas abaixo, esta˜o desenhadas as curvas de equac¸o˜es
xy = 4, x = 3 e y = 4 e tambe´m esta´ hachurada a regia˜o R.
a) Calcule a a´rea da regia˜o R.
-1 0 1 2 3 4 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
R
x
y
b) Calcule o volume do so´lido S obtido quando a regia˜o R gira em torno do eixo y (eixo vertical).
Respostas
1.
a) A mudanc¸a e´ x = 2 tan θ e a integral e´
(x2 + 4)3/2
3
− 4(x2 + 4)1/2 + C.
b) A mudanc¸a e´ u = sec x e a integral e´
sec7(x)
7
− 2sec
5(x)
5
+
sec3(x)
3
+ C.
c) A decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais e´
2
x
− 5
x+ 1
+
2
(x+ 1)2
e a integral e´ 2 ln |x| − 5 ln |x+
1| − 2
x+ 1
+ C.
d) A mudanc¸a e´ x = 2 tan θ e a integral e´
1
4
x√
4 + x2
+ C.
e) A integrac¸a˜o e´ por partes e a integral e´
x4
4
ln 2x− x
4
16
+ C.
f) A mudanc¸a e´ x = 4 sen θ e a integral e´ 43
∫ pi/4
0
sen θ(1− cos2 θ) dθ = 16
3
(8− 5
√
2).
g) A decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais e´
1
x
+
2
x2
− 1
x+ 1
e a integral e´ ln |x|− 2
x
− ln |x+1|+C.
h) A mudanc¸a e´ x = 4 sen (θ) e a integral e´ −
√
16− x2
16x
+ C.
i) A integrac¸a˜o e´ por partes e a integral e´
x3sen (3x)
3
+
2
9
x cos(3x) + C.
j) A mudanc¸a e´ x = 2 sen (θ) e a integral e´ 2 arcsen
(x
2
)
+
x
√
4− x2
2
+ C.
2. a) 1 b) 1/9 c) 3 d) 5
4e4
e) 1 f) ln(9/8).
3.
a)A decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais e´ − 1
4x
− 1
2x2
+
1
4(x− 1) e a integral e´ −
1
4
ln |x|+ 1
2x
+
1
4
ln |x− 2|+ C.
b)A func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua em x = 2 possuindo ass´ıntota logo e´ impro´pria.
c)A integral diverge.
4.
a)16/3
b)pi
∫
4
0
(4−√y)2 − y dy = 64pi/3
5.
a)37/6
b)pi
∫
3
0
(4− (x− 2)2)2 − x2 dx = 108pi/5
6.
a)8− 4 ln 3
b)16pi