P Grupos

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas
PET - Matema´tica
Aluna: Alice Duarte Scarpa
Orientadora: Ana Cristina Vieira
Tutora: Elaine Pimentel
P-grupos
Belo Horizonte - MG
2011
Introduc¸a˜o
Um Grupo e´ um conjunto munido de uma operac¸a˜o com algumas propriedades. Essa definic¸a˜o
permite que estruturas muito diferentes entre si sejam chamadas de Grupo. Neste texto olharemos apenas
para os grupos finitos.
Podemos extrair informac¸o˜es sobre um grupo a partir do nu´mero de elementos deste, chamado
de ordem do grupo, sem nos preocuparmos com a natureza dos elementos deste.
Neste texto estudaremos os grupos cuja a ordem e´ uma poteˆncia de um primo, os chamados P-
grupos, que possuem certas caracter´ısticas que os destacam dos demais. O objetivo desse texto e´ estudar
algumas dessas caracter´ısticas.
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Cap´ıtulo 1
Conceitos Iniciais
Antes de entrarmos no estudo de P-grupos, que e´ o objetivo deste texto, precisamos das definic¸o˜es e dos
teoremas iniciais da A´lgebra de Grupos.
1.1 Descrevendo Grupos
A estrutura alge´brica que iremos estudar sa˜o os grupos. Essa sec¸a˜o define os conceitos mais fundamentais
a respeito dessa estrutura.
Definic¸a˜o 1.1 Dizemos que um conjunto G munido da operac¸a˜o * e´ um grupo se valem as seguintes
propriedades:
i) Fechamento: ∀ a,b ∈ G, a*b ∈ G
ii) Associatividade: ∀ a,b,c ∈ G, (a * b) * c = a * (b * c)
iii) Elemento neutro: ∃ e ∈ G tal que e * a = a * e = a, ∀ a ∈ G.
iv) Elemento inverso: ∀ a ∈ G, ∃ a’ ∈ G, tal que, a * a’ = a’ * a = e, onde e e´ o elemento neutro.
Se a operac¸a˜o * e´ comutativa dizemos que G e´ um grupo abeliano.
Definic¸a˜o 1.2 |G|: ordem de G, e´ igual ao nu´mero de elementos de G.
Definic¸a˜o 1.3 Seja (G,*) um grupo. Dizemos que H e´ um subgrupo de G e denotamos H ≤ G quando o
conjunto H e´ um subconjunto na˜o vazio de G que e´ tambe´m um grupo com *, ou seja, quando as condic¸o˜es
abaixo sa˜o satisfeitas:
i) ∀h, g ∈ H,h ∗ g ∈ H
ii) ∃e ∈ H tal que e * a = a * e = a, ∀ a ∈ G.
iii) ∀ a ∈ H, ∃ a’ ∈ H, tal que, a * a’ = a’ * a = e, onde e e´ o elemento neutro.
Muitos dos teoremas da A´lgebra de Grupos sa˜o a respeito do quociente de um grupo por um
subgrupo normal do mesmo. Nas linhas abaixo definiremos objetos matema´ticos que mais tarde sera˜o
usados para definir o quociente.
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Definic¸a˜o 1.4 Dado um grupo G e um subgrupo S, seja ∼ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia definida da
seguinte maneira: y∼x ⇔ ∃ s ∈ S tal que y=xs.
O conjunto {y ∈ G | y ∼ x} = {xs | s ∈ S } sera´ denotado por xS e chamado de classe lateral a` esquerda
de S em G.
Analogamente definimos a classe lateral a` direita como Sx = {sx | s ∈ S}.
Um exemplo de relac¸a˜o de equivaleˆncia e´ a conjugac¸a˜o:
Definic¸a˜o 1.5 Seja G um grupo, S um subgrupo de G e a∈G. A conjugac¸a˜o de S por a e´ definida como:
Sa :=
�
y ∈ G : ∃x ∈ S : y = a ◦ x ◦ a−1� = a ◦ S ◦ a−1
As classes de equivaleˆncia definidas pela relac¸a˜o de conjugac¸a˜o sa˜o chamadas de classes de con-
jugac¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.6 Um subgrupo H e´ dito normal em G se as classes laterais a` direita e a` esquerda sa˜o
iguais. Denotamos H�G.
A seguinte proposic¸a˜o nos fornece um jeito simples de testar a normalidade de um subgrupo:
Proposic¸a˜o 1.1 H e´ normal em G ⇔ gHg−1=H, ∀g ∈ G.
De fato, gH = Hg ⇔ gHg−1 = H �
Um exemplo de subgrupo normal que ira´ aparecer muitas vezes ao longo desse texto e´ o centro
de um grupo.
Definic¸a˜o 1.7 O centro de um grupo, representado por Z(G), e´ o conjunto dos elementos que comutam
com todos os outros elementos, ou seja Z(G) = {z ∈ G|∀g ∈ G, zg = gz}
Existem muitos teoremas espec´ıficos sobre o centro de um grupo. Abaixo esta´ um que depois
sera´ usado para a Equac¸a˜o de Classes de Conjugac¸a˜o.
Teorema 1.2 Seja G um grupo. Os elementos de Z(G) formam classes de conjugac¸a˜o unita´rias e os
elementos de G - Z(G) formam classes de conjugac¸a˜o de mais de um elemento.
Demonstrac¸a˜o: Seja Ca a classe de conjugac¸a˜o de a ∈ G. a ∈ Z(G)⇔ ∀x ∈ G : ax = xa
⇔ ∀x ∈ G : x−1ax = a⇔ Ca = {a} �
Definic¸a˜o 1.8 Seja N�G. Definimos o conjunto G/N como o conjunto de todas as classes laterais a`
esquerda de N , ou seja, G/N = {aN |a ∈ G}. O produto de classes e´ definido: aN ∗ bN = (ab)N , com o
fechamento garantido pela normalidade de N.
Grupos C´ıclicos, definidos abaixo, possuem uma estrutura alge´brica razoavelmente simples e
aparecem muitas vezes no estudo de P-grupos, principalmente na classificac¸a˜o de P-grupos abelianos.
Definic¸a˜o 1.9 Dizemos que G e´ um grupo c´ıclico gerado pelo elemento a se G = {am | m ∈ Z} e
escrevemos G = �a�.
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O grupo c´ıclico �a� e´ finito de ordem n quando n e´ o menor natural tal que an = e. Como neste
trabalho estamos interessados apenas em grupos finitos, so´ veremos casos em que esse n existe, mas, se
na˜o existe tal n, o grupo e´ dito c´ıclico infinito.
Proposic¸a˜o 1.3 Todo grupo c´ıclico e´ abeliano.
De fato, sejam g, h ∈ G, sendo G um grupo c´ıclico gerado por a. Enta˜o g = am e h = an, para algum
valor de m e n. Assim g ∗ h = a · a · a · · · a� �� �
m
∗ a · a · a · · · a� �� �
n
= a · a · a · · · a� �� �
n
∗ a · a · a · · · a� �� �
m
= h ∗ g. �
Proposic¸a˜o 1.4 Se o quociente de um grupo pelo seu centro e´ c´ıclico, enta˜o G/Z(G) e´ trivial.
Demonstrac¸a˜o: Suponha que G/Z(G) e´ c´ıclico. Enta˜o,
∃τ ∈ G/Z (G) : G/Z (G) = �τ�.
Assim:
∃t ∈ G : G/Z (G) = �tZ (G)�.
Enta˜o, cada classe lateral de Z(G) em G e´ iqual a (tZ (G))i = tiZ (G) para algum i ∈ Z.
Tome x, y ∈ G, sem perda de generalidade, suponha que x ∈ tmZ (G) , y ∈ tnZ (G).
Enta˜o, x = tmz1, y = tnz2, para algum z1, z2 ∈ Z (G). Assim:
xy = tmz1tnz2 = tmtnz1z2 = tm+nz1z2.
Analogamente, yx = tm+nz1z2 = xy. Como x, y sa˜o gene´ricos, o resultado vale para todo elemento de G,
de modo que G e´ abeliano e assim Z(G) = G, enta˜o quociente G/Z(G) e´ trivial. �
1.2 Isomorfismo
Ao classificarmos grupos um procedimento comum e´ listar todas as formas distintas de grupos que pos-
suam a propriedade em que estamos interessados, de maneira que qualquer outro grupo que possua essa
propriedade seja de uma das formas listadas, isto e´, seja isomorfo a um dos grupos ja´ listados.
Definic¸a˜o 1.10 Sejam G e H dois grupos. Um homomorfismo f : G → H e´ uma func¸a˜o tal que
f(a · b) = f(a) · f(b) para todos a, b ∈ G.
Definic¸a˜o 1.11 Um isomorfismo f : G→ H e´ um homomorfismo bijetor.
Um resultado que sera´ usado nesse texto e que serve como exemplo de isomorfismo e´:
Proposic¸a˜o 1.5 Seja G um grupo c´ıclico gerado por a de ordem n. Enta˜o G e´ isomorfo a Zn.
Demonstrac¸a˜o: Basta tomar a func¸a˜o f : G→ Zn tal que ak �→ k. �
Muitas das provas a respeito de P-grupos usam como ferramenta as Ac¸o˜es. As pro´ximas definic¸o˜es
definem esse conceito.
Definic¸a˜o 1.12 Seja G um grupo, um automorfismo de G e´ um isomorfismo f : G→ G.
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Proposic¸a˜o 1.6 O conjunto dos automorfismos de um grupo G, denotado por Aut(G) forma um grupo
com a operac¸a˜o composic¸a˜o de func¸o˜es.
Demonstrac¸a˜o:E´ direta da verificac¸a˜o das propriedades. �
Definic¸a˜o 1.13 Seja X um conjunto e G um grupo, com identidade e. Dizemos que G age em X via φ
se existe uma bijec¸a˜o φ : G×X → X tal que:
∀ (g, x) ∈ G×X : φ ((g, x)) ∈ X = g ∗ x ∈ X, de modo que:
• ∀g, h ∈ G, x ∈ X : g ∗ (h ∗ x) = (gh) ∗ x
• ∀x ∈ X : e ∗ x = x
1.3 Resultados envolvendo a Ordem
Quase todos os resultados sobre P-grupos apresentados nesse texto usam em algum momento o teorema
de Lagrange. Isso porque esse teorema nos da´ informac¸o˜es sobre um grupo a partir da sua ordem. Para
demonstra´-lo, precisamos antes de provar um lema sobre classes laterais.
Lema 1.1 Se [a] e [b] sa˜o classes laterais em um conjunto S, ou [a] = [b] ou [a] ∩ [b] = ∅. Logo, como
S =
�
[a] o conjunto S e´ uma unia˜o de classes de equivaleˆnciadisjuntas.
Demonstrac¸a˜o: Seja a, b ∈ S suponhamos que [a] ∩ [b] �= ∅ e provemos que [a] = [b]
Seja c ∈ [a] ∩ [b], enta˜o:
c ∈ [a]⇒ c ∼ a
c ∈ [b]⇒ c ∼ b Assim, a ∼ c ∼ b, o que implica, pela transitividade de uma relac¸a˜o de equivaleˆncia, que
a ∼ b, logo
a ∈ [b] e b ∈ [a]
Assim, seja x ∈ [a]. x ∼ a ∼ b⇒ x ∼ b⇒ x ∈ [b]. Analogamente concluimos que todo elemento
de [b] e´ tambe´m elemento de [a], logo [a] = [b] �
Teorema 1.7 (Teorema de Lagrange) Seja G um grupo e H ≤ G. Enta˜o |H| divide |G|.
Demonstrac¸a˜o: Seja ∼ a relac¸a˜o de equivaleˆncia definida por a ∼ b se ab−1 ∈ H.
Temos que [a] = Ha = {h ∗ a|h ∈ H}.
Seja k o nu´mero de classes de distintas de G - chamemo-as de Ha1, ..., Hak .
Pelo Lema 1.1, G =
�
Hai e Hai ∩Haj = ∅ , se i �= j.
Provemos que qualquer Hai possui |H| elementos.
Seja f : H → Hai uma func¸a˜o tal que f(h) = h ∗ ai.
Note que f e´ injetora pois h ∗ ai = h� ∗ ai implica h = h�. E e´ sobrejetora pela definic¸a˜o de Hai. Assim,
f e´ bijetora e, assim, |Hai| = |H| .
Como os Hai sa˜o disjuntos com |H| elementos, teremos que |G| = k|H|. Portanto, |H| divide |G| . �
Definic¸a˜o 1.14 Seja G um grupo finito e H um subgrupo de G. Enta˜o, o ı´ndice de H em G, denotado
[G:H] e´ o quociente |G|/|H|.
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Definic¸a˜o 1.15 Seja G um grupo e a ∈ G. O centralizador de a em G, denotado por CG(a) e´:
CG (a) = {x ∈ G : x ◦ a = a ◦ x}
Teorema 1.8 Seja G um grupo e CG(a) o centralizador de a ∈ G. Enta˜o, |Ca| = [G : CG(a)], de modo
que |C(a)| divide G.
Demonstrac¸a˜o:Sejam x, y ∈ Ca. Enta˜o, pela definic¸a˜o de Ca, xax−1 = yay−1. Assim, x e y pertencem a`
mesma classe lateral de CG(a), o que implica que |Ca| = [G : CG (a)]. �
Definic¸a˜o 1.16 Seja G um grupo e S um subgrupo de G. Enta˜o o normalizador de S em G, denotado
por NG (S) e´ definido como:
NG (S) = {a ∈ G : Sa = S}.
Definic¸a˜o 1.17 Seja G um grupo, X um conjunto e * uma ac¸a˜o de G em X. A o´rbita de um elemento
x ∈ X e´:
Orb (x)
def
== {y ∈ X : ∃g ∈ G : y = g ∗ x}
Teorema 1.9 (Equac¸a˜o das Classes de Conjugac¸a˜o) Seja G um grupo e x ∈ G. Seja m o nu´mero
de classes de conjugac¸a˜o com mais de um elemento de G. Enta˜o:
|G| = |Z (G)|+�mj=1 [G : NG (xj)]
Demonstrac¸a˜o: De 1.2 sabemos que os elementos do centro geram classes de conjugac¸a˜o unita´rias e os
elementos de G − Z(G) esta˜o em classes de conjugac¸a˜o de mais de um elemento. Portanto, para G
abeliano, a equac¸a˜o se reduz a |G| = |Z(G)|, que e´ verdade pois no caso G = Z(G).
Vamos supor enta˜o, que G e´ na˜o-abeliano. Enta˜o, G−Z (G) �= ∅. Por hipo´tese, |G−Z(G)| = m.
Tomemos um representante de cada classe, que chamaremos de x1, x2, . . . , xm. Enta˜o podemos escrever
as classes de conjugac¸a˜o como Cx1, Cx2, . . . , Cxm.
Assim, |G− Z (G)| = �mj=1 ��Cxj ��, ou seja |G| = |Z (G)|+�mj=1 [G : NG (xj)]. �
Cap´ıtulo 2
Resultados gerais sobre P-grupos
Quando a ordem de um grupo e´ uma poteˆncia de um nu´mero primo, esse grupo e´ chamado de P-grupos.
Teorema 2.1 O centro de um p-grupo nunca e´ trivial.
Demonstrac¸a˜o: Se G e´ abeliano enta˜o Z(G) = G e o resultado esta´ demonstrado. Vamos supor enta˜o
que G e´ na˜o abeliano.
Temos, da equac¸a˜o 1.9 : |Z (G)| = |G|−�mj=1 |Cxj | e sabemos que |Cxj | divide |G|. Enta˜o:
∀j : 1 ≤ j ≤ m : [G : NG (xj)] > 1 =⇒ p\ [G : NG (xj)]
Assim, como p divide G, p deve dividir Z(G). �
2.1 Classificac¸a˜o de P-grupos de ordens menores
Boa parte dos P-Grupos de ordens menores e´ abeliana. Portando, O Teorema Fundamental dos Grupos
Abelianos Finitos sera´ muito u´til. Infelizmente a demonstrac¸a˜o do mesmo foge do objetivo desse texto e
por isso ele sera´ usado sem demonstrac¸a˜o.
Teorema 2.2 Todo grupo abeliano finito pode ser escrito como produto direto de grupos c´ıclicos cuja
ordem e´ uma poteˆncia de um primo.
2.1.1 Ordens p e p2
Os grupos de ordem igual a p ou p2 sa˜o o tipo mais simples poss´ıvel de P-Grupos, e, como mostraremos
a seguir, sa˜o sempre abelianos e portanto sa˜o classificados pelo teorema anterior.
Teorema 2.3 Seja G um grupo com |G| = p, enta˜o G e´ ı´somorfo a Zp
Demonstrac¸a˜o: A ordem de qualquer elemento de um grupo divide a ordem do grupo. Enta˜o, se x ∈ G,
|x| = 1 ou |x| = p. O u´nico elemento de ordem 1 e´ a indentidade e todos os outros elementos tem ordem
p e, portanto, gera G. Assim, G e´ um grupo c´ıclico de ordem p, ou seja, G � Zp. �
Teorema 2.4 Se G e´ um grupo de ordem p2 enta˜o G e´ abeliano.
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Demonstrac¸a˜o: Pelo Teorema de Langrange sabemos que |Z(G)| = 1 ou pou p2. Por 1.4, sabemos que
|Z(G)| �= p, pois se fosse |Z(G)/G| = p, o que e´ absurdo pois todo grupo de ordem p e´ c´ıclico. Mas por
2.1 sabemos que |Z(G)| �= 1. Portanto |Z(G)| = p2 ⇒ G e´ abeliano. �
2.1.2 Grupos de ordem p3
Como os grupos abelianos ja´ esta˜o classificados, nessa parte do texto iremos sempre considerar que os
grupos sa˜o na˜o-abelianos.
p=2
Existem 2 grupos na˜o-abelianos de ordem 8:
• Quarte´rnios: Q = �−1, i, j, k|(−1)2 = 1, i2 = j2 = k2 = ijk = −1�
• Diedral: D4 = �x, y|x2 = y2 = (xy)n = 1�
A verificac¸a˜o de que todos os grupos na˜o abelianos de ordem 8 sa˜o isomoformos a um dos dois
grupos citados acima consiste em suposic¸o˜es sucessivas a respeito das poss´ıveis ordem dos elementos que,
pelo Teorema de Lagrange, podem assumir apenas os valores 2 e 4.
p ı´mpar
Como todo grupo de ordem p3 pode ser escrito como o produto semi-direto de grupos c´ıclicos de ordem
igual a poteˆncia de um primo, definimos abaixo produto semi-direto:
Definic¸a˜o 2.1 Seja H e K dois grupos e φ : H → Aut(K) uma ac¸a˜o. Definimos o produto semi direto
H �K como:
(h1; k1)(h2; k2) = (h1h2; k1φ(h1)(k2));h1, h2 ∈ H e k1, k2 ∈ K.
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Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] GARCIA, Arnaldo e LEQUAIN, Yves. Elementos de A´lgebra, IMPA, 2006.
[2] SUZUKI,Michio.Group Theory I (Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften,Springer 1981.