Aula 12

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CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Aula no 12: Extremos relativos e absolutos. Método do Intervalo Fechado
Objetivos da Aula
• Definir e determinar Extremos Absolutos e Relativos de uma função;
• Enunciar o Método do Intervalo Fechado para determinar extremos absolutos.
1 Extremos Relativos e Absolutos
Definição 1 (Extremos Absolutos). Seja c um número no domínio de uma função f . Então f(c) é o
(i) valor máximo absoluto de f em D se f(c) ≥ f(x) para todo x em D.
(ii) valor mínimo absoluto de f em D se f(c) ≤ f(x) para todo x em D.
Nestas definições, o número c é chamado ponto de máximo ou ponto de mínimo e f(c), o valor máximo
ou valor mínimo de f . Os máximos e mínimos absolutos de uma função são chamados de extremos absolutos
da função.
Observe o gráfico abaixo:
Figura 1: Gráfico da função f
Note que o gráfico da função exibida possui máximo absoluto em d e mínimo absoluto em a. Os pontos
(a, f(a)) e (d, f(d)) são, respectivamente, o ponto mais baixo e o ponto mais alto no gráfico.
Definição 2 (Extremos Relativos). O número f(c) é um
(i) valor máximo local de f se f(c) ≥ f(x) quando x está próximo de c.
(ii) valor mínimo local de f se f(c) ≤ f(x) quando x está próximo de c.
Note ainda, no gráfico da Figura 1, que se considerarmos apenas os valores próximos de b, por exemplo,
no intervalo (a, c), então f(b) é o menor destes valores de f(x) e é chamado de valor mínimo local, enquanto
que, considerando valores de f(x) no intervalo (0, b), teremos que f(a) é o maior destes valores, logo será
chamado de valor máximo local.
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Exemplo 1. O gráfico da função quadrática f(x) = x2 − 4x+ 3 é mostrado na figura abaixo:
Note que, para x = 1 e x = 3, temos que f(x) = 0. Neste caso, dizemos que 1 e 3 são raízes da
função. Além disso, observe que em x = 2, temos f(x) = −1, que é o valor mínimo absoluto da função
que é também o valor mínimo local.
�
Exemplo 2. Observe o gráfico da função f(x) = x3 − 3.
Note que essa função não tem nenhum valor máximo absoluto e nem um valor mínimo absoluto. De
fato, ela não possui nenhum valor extremo local.
�
Observação 1. Nem toda função possui extremos absolutos, existe porém um teorema do cálculo que
garante que toda função contínua definida em um intervalo fechado [a, b] tem extremos absolutos neste
intervalo.
Teorema 1 (do Valor Extremo). Se f for contínua em um intervalo fechado [a, b], então f assume um
valor máximo absoluto f(c) e um valor mínimo absoluto f(d) em certos números c e d em [a, b].
O Teorema do Valor Extremo garante a existência de valores máximos ou mínimo absolutos no intervalo
[a, b] mas não diz como encontrá-los. Graficamente nos pontos máximos e mínimos passa reta tangente
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e é paralela ao eixo dos x, isto é, f ′(c) = 0 e f ′(d) = 0. O teorema a seguir garante isso para funções
diferenciáveis.
Teorema 2 (de Fermat). Se f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f ′(c) existir, então f ′(c) = 0
em [a, b].
Exemplo 3. A função f(x) = x3 tem derivada f ′(x) = 3x2 e f ′(0) = 0, mas c = 0 não é máximo e nem
mínimo. Observe graficamente:
�
Exemplo 4. A função f(x) = |x| tem seu valor mínimo (local e absoluto) em 0, mas o valor não pode ser
encontrado por considerar f ′(x) = 0 porque, f ′(0) não existe. Observe o gráfico:
�
Observação 2. O exemplo 3 demonstra que, mesmo quando f ′(c) = 0, não é necessário existir um mínimo
ou máximo em c, ou seja, a recíproca do Teorema de Fermat não é verdadeira. Já o exemplo 4 sugere que
pode existir um valor extremo mesmo quando f ′(c) não existir.
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O Teorema de Fermat sugere que devemos pelo menos começar procurando valores extremos de f no
números c onde f ′(c) = 0 ou onde f ′(c) não existe. Esses números são chamados de números críticos.
Definição 3 (Número Crítico). Um número crítico ou ponto crítico de uma função f é um número c no
domínio de f tal que ou f ′(c) = 0 ou f ′(c) não existe.
Exemplo 5. Encontre os pontos críticos de f(x) = x2 − 4x+ 3.
Solução: Temos que o domínio de f é o conjunto R. Derivando f(x) e igualando a zero, temos:
2x− 4 = 0 ⇒ x = 2.
Então c = 2 é um número crítico. Como f(2) = −1, então o ponto P = (2,−1) é um ponto crítico de
f .
�
Exemplo 6. Encontre os pontos críticos de f(x) = x+
1
x
.
Solução: Como f ′(x) = 1 − 1
x2
. Fazendo f ′(x) = 0, temos que x = ±1. Substituindo esses valores na
função, obtemos P =
(
1,
1
2
)
e Q =
(−1, 12), pontos críticos de f .
�
Em termos de números críticos, o Teorema de Fermat pode ser reescrito da seguinte forma:
Teorema 3 (de Fermat). Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, então c é um número crítico de f .
Para encontrar um máximo ou um mínimo absoluto de uma função contínua em um intervalo fechado
[a, b] observamos que ele é local (nesse caso ocorre em um número crítico), ou acontece em uma extremidade
do intervalo. O procedimento de três etapas sempre funciona:
O Método do Intervalo Fechado
Para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua f em um intervalo
fechado [a, b]:
1. encontre os valores de nos números críticos de f em um intervalo aberto [a, b].
2. encontre os valores de f nas extremidades do intervalo [a, b].
3. o maior valor entre as etapas 1a e 2a é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores
é o valor mínimo absoluto.
Exemplo 7. Encontre os valores máximo e mínimos absoluto da função f(x) = x3 − 3x2 + 1 no intervalo[
−1
2
, 4
]
.
Solução: Note que f é uma função polinomial, logo é contínua no intervalo dado. Dessa forma, podemos
utilizar o método do intervalo fechado. Temos que:
f(x) = x3 − 3x2 + 1 ⇒ f ′(x) = 3x(x− 2).
Uma vez que f ′(x) existe para todo x, os únicos pontos críticos ocorrem quando f ′(x) = 0, isto é,
x = 0 ou x = 2. Note que cada um desses números críticos está no intervalo
(
−1
2
, 4
)
. Os valores de f
nestes números críticos são:
f(0) = 1 e f(2) = −3.
Os valores de f nas extremidades do intervalo são:
f
(
−1
2
)
=
1
8
e f(4) = 17.
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Comparando esses quatro números, vemos que o valor máximo absoluto é f(4) = 17 e o valor mínimo
absoluto é f(2) = −3. Observe graficamente:
�
Exemplo 8. Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x) = x − 2 cos(x) no intervalo
[−pi, pi].
Solução: Note que f é contínua, pois é a soma de duas funções contínuas. Utilizando o método do
intervalo fechado, temos:
f(x) = x− 2 cos(x) ⇒ f ′(x) = 1 + 2sen(x).
Uma vez que f ′(x) existe para todo x, os únicos pontos críticos ocorrem quando f ′(x) = 0, isto é,
x = −pi
6
. Como esta raiz está no intervalo dado, temos que o valor de f neste número crítico é:
f
(
−pi
6
)
= −pi
6
−
√
3 ≈ −2, 25.
Os valores de f nas extremidades do intervalo são:
f(−pi) = 2− pi ≈ −1, 41 e f(pi) = pi + 2 ≈ 5, 14.
Comparando esses quatro números, vemos que o valor máximo absoluto é f(pi) = 5, 14 e o valor mínimo
absoluto é f
(
−pi
6
)
= −2, 25. Observe graficamente:
�
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Resumo
O que são extremos relativos de uma função? E extremos absolutos? Como determiná-los?
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 4.1 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios da seção 4.1 do livro texto.
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