AD1 GA2 2015.1 Gabarito

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AD1 - Geometria Anal´ıtica II - 2015.1
Questa˜o 1:(2,0 pt) Seja Π o plano que conte´m a reta parametrizada por
x = 2 + t
y = 1− t
z = 3 + 2t
e que passa pelo centro da esfera x2 + y2 + z2 − 6x + 2y − 4z + 13 = 0.
Determine uma parametrizac¸a˜o para Π.
SOLUC¸A˜O:
As equac¸o˜es parame´tricas da reta podem ser reescritas na forma vetorial
como (x, y, z) = (2, 1, 3) + t(1,−1, 2). Portanto a reta passa pelo ponto
P = (2, 1, 3) e tem direc¸a˜o −→u = (1,−1, 2). Como Π conte´m a reta, −→u e´
paralelo ao plano.
Completando os quadrados na equac¸a˜o da esfera temos
x2 − 6x + y2 + 2y + z2 − 4z = −13
x2 − 6x + 9 + y2 + 2y + 1 + z2 − 4z + 4 = −13 + 9 + 1 + 4
(x− 3)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 1
Portanto trata-se de uma esfera de centro C = (3,−1, 2) e raio 1.
Seja −→v = −−→CP = (−1, 2, 1). Como C e P pertencem ao plano Π, pode-
mos afirmar que o vetor −→v e´ paralelo ao plano. Sendo assim ja´ temos um
ponto do plano, e dois vetores paralelos. Logo podemos escrever as equac¸o˜es
parame´tricas, (x, y, z) = C + t−→u + s−→v = (3,−1, 2) + t(1,−1, 2) + s(−1, 2, 1),
ou
Π :

x = 3 + t− s
y = −1− t + 2s
z = 2 + 2t + s
1
Questa˜o 2:(2,0 pt) Considere os vetores −→x ,−→y ,−→z ∈ R3 que sa˜o soluc¸a˜o do
seguinte sistema 
−→x +−→y +−→z = (2,−1,−2)−→x + 2−→y + 3−→z = (5,−2,−8)−→x + 4−→y + 9−→z = (15,−6,−24)
Calcule ‖−→x ‖2 + ‖−→y ‖2 + ‖−→z ‖2.
SOLUC¸A˜O:
Como −→x +−→y +−→z = (2,−1,−2) e −→x +2−→y +3−→z = (5,−2,−8) (primeira
e segunda equac¸o˜es, respectivamente), temos
−→x +−→y +−→z − (−→x + 2−→y + 3−→z ) = (2,−1,−2)− (5,−2,−8),
logo
−−→y − 2−→z = (−3, 1, 6).
Podemos ainda escrever
−→y + 2−→z = (3,−1,−6). (1)
Como−→x +−→y +−→z = (2,−1,−2) e−→x +4−→y +9−→z = (15,−6,−24) (primeira
e terceira equac¸o˜es, respectivamente), temos
−→x +−→y +−→z − (−→x + 4−→y + 9−→z ) = (2,−1,−2)− (15,−6,−24),
logo
−3−→y − 8−→z = (−13, 5, 22). (2)
Multiplicando a equac¸a˜o (1) por 3 e somando com a (2), temos
3(−→y + 2−→z ) + (−3−→y − 8−→z ) = 3(3,−1,−6) + (−13, 5, 22),
logo
3−→y + 6−→z − 3−→y − 8−→z = (9,−3,−18) + (−13, 5, 22),
e enta˜o
−2−→z = (−4, 2, 4).
Com isso,
−→z = −1
2
(−4, 2, 4) = (2,−1,−2).
2
Voltando a` equac¸a˜o (1), temos
−→y + 2(2,−1,−2) = (3,−1,−6),
logo −→y = (3,−1,−6)− (4,−2,−4).
Com isso, −→y = (−1, 1,−2).
Voltando a` primeira equac¸a˜o, temos
−→x + (−1, 1,−2) + (2,−1,−2) = (2,−1,−2),
logo
−→x = (2,−1,−2)−(−1, 1,−2)−(2,−1,−2) = (2+1−2,−1−1+1,−2+2+2) = (1,−1, 2).
Como
−→x = (1,−1, 2),−→y = (−1, 1,−2) e −→z = (2,−1,−2),
‖−→x ‖2 + ‖−→y ‖2 + ‖−→z ‖2 = ‖(1,−1, 2)‖2 + ‖(−1, 1,−2)‖2 + ‖(2,−1,−2)‖2
= [12 + (−1)2 + 22] + [(−1)2 + 12 + (−2)2] + [22 + (−1)2 + (−2)2]
= 6 + 6 + 9
= 21.
Questa˜o 3:(2,0 pt) Considere a base {−→x ,−→y ,−→z } de R3. Para que valores
de k ∈ R sa˜o linearmente independentes os vetores
{−→x + k−→y ,−→y + k−→x ,−→z }?
SOLUC¸A˜O:
E´ mais simples procurarmos os valores de k ∈ R para os quais −→x +
k−→y ,−→y + k−→x ,−→z na˜o sa˜o LI, ou seja, sa˜o LD. Se estes vetores sa˜o LD, enta˜o
existem a, b e c reais tais que
a(−→x + k−→y ) + b(−→y + k−→x ) + c−→z = 0,
que implica
a−→x + ak−→y + b−→y + bk−→x + c−→z = 0,
3
ou ainda
(a + bk)−→x + (ak + b)−→y + c−→z = 0.
Mas como −→x , −→y e −→z sa˜o uma base, −→x , −→y e −→z sa˜o LI, e enta˜o
a + bk = 0, ak + b = 0.
Estas equac¸o˜es implicam, respectivamente, k = −a/b e k = −b/a, o que so´
sera´ poss´ıvel se
−a
b
= − b
a
,
logo
a2 = b2.
Com isso, a = ±b, implicando que k = −1 ou k = 1.
Logo, para qualquer k 6= ±1 os vetores sa˜o linearmente independentes.
Questa˜o 4:(4,0 pt) Sejam dados os pontos A = (1,−1, 0) e B = (2, 1,−2).
(a) [1,0 pt] Determine uma parametrizac¸a˜o para a reta r a` qual per-
tencem os pontos A e B.
(b) [1,0 pt] Determine o quadrado da distaˆncia entre um ponto da
reta r e o ponto (0, 0, 5), em func¸a˜o do paraˆmetro da parame-
trizac¸a˜o de r obtida no item anterior.
(c) [1,0 pt] Determine o ponto da reta r mais pro´ximo a (0, 0, 5).
(d) [1,0 pt] Determine a equac¸a˜o da esfera de centro (0, 0, 5) e tan-
gente a` reta r.
SOLUC¸A˜O:
(a) A reta pode ser parametrizada por A+ t · −−→AB = (1,−1, 0) + t(1, 2,−2),
o que nos leva a`s equac¸o˜es
r :

x = 1 + t
y = −1 + 2t
z = −2t
(b) Um ponto da reta r e´ da forma (1 + t,−1 + 2t,−2t) para algum t ∈ R.
Portanto o quadrado da distaˆncia dele ao ponto (0, 0, 5) sera´ uma func¸a˜o
de t:
d(t) = (1 + t)2 + (−1 + 2t)2 + (−2t− 5)2
d(t) = 9t2 + 18t + 27
4
(c) O ponto mais pro´ximo sera´ aquele que corresponder ao paraˆmetro que da´
o valor mı´nimo para d(t). A func¸a˜o quadra´tica, obtida no item anterior,
atinge seu valor mı´nimo quando t = − b
2a
= −18
18
= −1. Portanto o
ponto e´
P :

x = 1 + (−1)
y = −1 + 2(−1)
z = −2(−1)
Isto e´, P = (0,−3, 2)
(d) Seja
R = d(P, (0, 0, 5))
=
√
(0− 0)2 + (−3− 0)2 + (2− 5)2
=
√
18 = 3
√
2.
Como, pelo item anterior, essa e´ a menor distaˆncia, qualquer outro ponto
de r esta´ a uma distaˆncia maior que R do ponto (0, 0, 5). Sendo assim, a
circunfereˆncia de centro (0, 0, 5) e raio R toca a reta em um u´nico ponto,
a saber P , sendo necessariamente tangente a` reta. A equac¸a˜o da esfera
e´
x2 + y2 + (z − 5)2 = 18
5