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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Escola de Engenharia de Lorena – EEL ALCV Bases MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * ROTEIRO Bases Dimensão e Base Coordenadas e Mudança de Base Bases Ortogonais Ortogonalização de Bases (Gram Schmidt ) Ref: Pole, David; Álgebra linear , 1ª Edição, Thompson. * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * ROTEIRO Bases Dimensão e Base Coordenadas e Mudança de Base Bases Ortogonais Ortogonalização de Bases (Gram Schmidt ) Ref: Pole, David; Álgebra linear , 1ª Edição, Thompson. * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Dimensão e Bases - Conceito Uma BASE do espaço vetorial W é um conjunto de vetores LI que “gera” este espaço vetorial, em outras palavras, “QUALQUER VETOR no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos desta base”; A DIMENSÃO do espaço é o NÚMERO DE ELEMENTOS desta base. * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Dimensão e Bases - Conceito Tendo em vista o conceito apresentado anteriormente, temos que responder duas questões para se definir uma base: 1- O que são vetores LI ? Esta pergunta já foi respondida nos capítulos anteriores de nosso curso. “Quando um vetor puder ser escrito com sendo a combinação linear de um conjunto de outros vetores, este conjunto de vetores é chamado de LINEARMENTE DEPENDENTE (LD). Caso contrário, os vetores são denominados de LINEARMENTE INDEPENDENTES (LI)” * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Dimensão e Bases - Conceito A segunda questão pode ser enunciada conforme segue: 2- Como saber se um conjunto de vetores LI “gera” um espaço U ? Um conjunto de vetores LI gera um espaço W quando TODOS os vetores deste espaço puderem ser escritos como sendo uma COMBINAÇÃO LINEAR dos vetores LI que constituem a referida base; Ou seja, o espaço vetorial W é constituído por TODAS as combinações lineares dos vetores que compõe uma dada base S: * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 1.1 Demonstre que os vetores geram , sendo: De acordo com o conceito apresentado anteriormente, devemos determinar se um vetor arbitrário pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores . * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 1.2 Ou seja, devemos verificar se: O problema se reduz em provar que o sistema é POSSÍVEL e DETERMINADO. * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 1.3 Desde que: O sistema é POSSÍVEL e DETERMINADO e tem solução única para todo valor de U. Portanto, os vetores geram * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 2 Determine se o conjunto de vetores é LI, sendo: O conjunto contém apenas dois vetores. Estes serão LD quando um vetor for múltiplo do outro. Caso contrário, eles serão LI. Claramente, o conjunto é LI. * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * ROTEIRO Bases Espaços Vetoriais Dimensão e Base Coordenadas e Mudança de Base Bases Ortogonais Ortogonalização de Bases (Gram Schmidt ) Ref: Pole, David; Álgebra linear , 1ª Edição, Thompson. * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Coordenadas Seja B uma BASE do espaço vetorial V e X um vetor pertencente a V. Logo, vale afirmar: sendo Os escalares são chamados de COORDENADAS de X relativas a base B. * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 3 Encontre as coordenadas do vetor em relativos à base B, sendo: Aplicando a definição: É fácil perceber que: , ou seja, as coordenadas de X , na base B, são dadas por: * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 4.1 Encontre as coordenadas do vetor em relativos à base B. Aplicando a definição: Chegaremos no sistema: * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 4.2 Cuja solução será as COORDENADAS de X relativas à base B * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplos 5 e 6 5) Seja a base . Determine as coordenadas do vetor v na base B sabendo-se que: 6) Sejam e duas bases de R2. Determine as coodenadas de B’ em relação a B e as coordenadas de B em relação à B’. * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Subespaços Gerados por Bases Desde que, por definição, “Uma BASE do espaço vetorial W é um conjunto de vetores LI que “GERA” este espaço vetorial, em outras palavras, “QUALQUER VETOR no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos desta base”, Surge a questão: Determinar o SUBESPAÇO gerado por um CONJUNTO DE VETORES !!! * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Subespaços Gerados por Bases Considere o subespaço de R3 gerado pelo conjunto de vetores: A descrição de S como espaço gerado NÃO DEIXA CLARO se S é TRIVIAL ou uma RETA que passa pela origem ou um PLANO que passa pela origem ! Qual é o procedimento para estabelecer esta descrição (trivial, reta ou plano) do subespaço gerado? * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Subespaços Gerados por Bases Por definição: * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Mudança de Base Os exemplos anteriores ilustram a metodologia de obtenção das coordenadas de um dado vetor referenciado à uma base B; Observa-se também que um espaço vetorial pode conter mais de uma base. Obviamente, para cada base, o vetor em análise apresentará diferentes coordenadas. Este fato leva à questão: Existe uma correspondência entre as BASES que geram um dado espaço vetorial??? Em outras palavras, qual a relação matemática que exprime esta correspondência ? * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Matriz de Mudança de Base: TL Considere duas bases associadas ao espaço vetorial V, denominadas de B e B’. Vamos supor que EXISTE UMA RELAÇÃO entre os vetores das respectivas bases, ou seja: O que significa dizer: * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Matriz de Mudança de Base: TL Considere o VETOR pertencente à base B’: Então, substituindo as relações anteriores, tem-se: * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Matriz de Mudança de Base: TL Esta expressão pode ser escrita na forma matricial conforme segue: ou seja: Coordenadas do vetor v na base B’. * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Matriz de Mudança de Base: TL A expressão deduzida anteriormente estabelece uma relação matemática entre as bases B e B’; É interessante observar a MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO é gerada a partir do conhecimento entre os respectivos vetores constituintes das bases; Esta matriz de transformação é dada por: sendo Matriz de Mudança de Base Base B’ para a base B * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 5.1 Considere as bases B e B’ no . Determine: Matriz de mudança de base de B’ para B; Matriz de mudança de base de B para B’; As coordenadas do vetor na base B. * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 5.2 Matriz de mudança de base de B’ para B: A partir da definição, tem-se: Portanto: Na forma matricial: e * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 5.3 Resolvendo o sistema, tem-se: * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 5.4 Matriz de mudança de base de B para B’: Desde que , tem-se que: * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 5.5 As coordenadas do vetor na base B A partir da definição: Ou seja: Apenas reforçando, as componentes de V na base B são * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * ROTEIRO Bases Espaços Vetoriais Dimensão e Base Coordenadas e Mudança de Base Bases Ortogonais Ortogonalização de Bases (Gram Schmidt ) Ref: Pole, David; Álgebra linear , 1ª Edição, Thompson. * 2012 Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * TRABALHOS 1-Resolução de Equação 3º grau 2-Demonstração do Método de Kramer 3-Aplicação de Matriz de Mudança de coordenadas: Cilíndrica <> Cartesiana 4-Aplicação de Matriz de Coordenadas: Esférica <> Cartesiana 5-Aplicação de Matriz de Coordenadas: Esférica <> Cilíndrica 6-Números de Fibonacci e o conceito de Autovalores/Autovetores 7-Aplicação de Tranformações Lineares : Elipse Hipérbole Parábola * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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