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CEDERJ ME´TODOS DETERMINI´STICOS 1 Questa˜o 1. Encontre o conjunto soluc¸a˜o para a inequac¸a˜o apresentada em cada item abaixo: a) (1 ponto) −5x− 4 ≥ −2x+ 23 b) (2 pontos) |2x+ 3| − 2 > 3 Soluc¸a˜o: a) −5x− 4 ≥ −2x+ 23 −3x ≥ 27 x ≤ −9 Logo o conjunto soluc¸a˜o e´ S = (−∞,−9] b) |2x+ 3| − 2 > 3⇔ |2x+ 3| > 5 o que significa que 2x+ 3 < −5 ou 2x+ 3 > 5. No primeiro caso temos 2x < −8 ⇔ x < −4 e no segundo caso temos 2x > 2 ⇔ x > 1. Logo o conjunto soluc¸a˜o e´ S = (−∞,−4) ∪ (1,+∞). Questa˜o 2 (2 pontos). Resolva o sistema: −2y + 3x2 − 10x = 3 2x+ y = 3 1 Soluc¸a˜o: Da segunda equac¸a˜o temos que y = 3 − 2x. Substituindo na primeira, obtemos: −6 + 4x+ 3x2 − 10x = 3⇔ 3x2 − 6x− 9 = 0 Resolvendo esta equac¸a˜o do segundo grau (por Bhaskara ou pela fo´rmula da soma e do produto das ra´ızes), obtemos como ra´ızes x1 = −1 e x2 = 3. Para resolver o sistema ainda temos que encontrar os valores de y e montar os pares ordenados da resposta. Para x1 = −1 temos y1 = 3 + 2 = 5. Para x2 = 3 temos y2 = 3 − 6 = −3. Logo as soluc¸o˜es do sistema sa˜o (x1, y1) = (−1, 5) e (x2, y2) = (3,−3). Questa˜o 3 (5 pontos). Considere que as func¸o˜es de demanda e oferta de certo produto sa˜o dadas, respectivamente, por D(P ) = −P 2 4 + 2 e Q(P ) = 2 3 P − 1 3 onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q nos da˜o a demanda e a oferta em milho˜es de unidades. a) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for de R$ 0,90? b) Qual e´ o prec¸o mı´nimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta do mesmo? c) Qual e´, aproximadamente, o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo? d) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? e) Esboce em um mesmo gra´fico as curvas de demanda e oferta deste produto. Soluc¸a˜o: a) D(0, 90) = −0, 92/4+2 = 2−0, 81/4 que e´ aproximadamente 1,8. Logo, a demanda sera´ de aproximadamente um milha˜o e oitocentas mil unidades quando o prec¸o for 90 centavos. 2 b) Para encontrar o prec¸o mı´nimo, devemos descobrir para qual valor de P temos Q(P ) = 0. Q(P ) = 0⇔ 2 3 P − 1 3 = 0⇔ 2 3 P = 1 3 ⇔ P = 0, 5 Logo, o prec¸o mı´nimo e´ de R$ 0,50. c) Para encontrar o prec¸o ma´ximo, devemos descobrir para qual valor de P temos D(P ) = 0. D(P ) = 0⇔ −P 2 4 + 2 = 0⇔ P 2 4 = 2⇔ P 2 = 8⇔ P = √ 8 Logo, o prec¸o ma´ximo corresponde a aproximadamente 2,83 reais (e´ suficiente concluir que P = √ 8). d) Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, devemos descobrir para qual valor de P temos D(P ) = Q(P ). D(P ) = Q(P )⇔ −P 2 4 +2 = 2 3 P − 1 3 ⇔ −P 2 4 − 2 3 P +2+ 1 3 = 0⇔ −P 2 4 − 2 3 P + 7 3 = 0 ⇔ 3P 2 + 8P − 28 = 0 Resolvendo por Bhaskara, obtemos ∆ = 400 e duas ra´ızes, sendo uma negativa (que na˜o nos interessa) e outra dada por P = 2. Logo, conclu´ımos que o prec¸o de equil´ıbrio para este produto e´ de 2 reais. e) 3 4
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