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L.M.C / 2009 1 L.M.C / 2009 2 CÁLCULO 1 LIMITE Queremos determinar o que acontece com f(x) à medida que x se aproxima indefinidamente de xo. Exemplo: 2 RR: xx f → Ι→Ι À medida que x se aproxima de 2, f(x) se aproxima de 4. Exemplo: O que acontece com f(x) quando x se aproxima de 0, da função 11 )( −+ = x x xf ? 0 x -0,01 -0,001 -0,0001 0,0001 0,001 0,01 f(x) 1,994987 1,999500 1,999950 2,000050 2,00500 2,0049 Neste caso dizemos que 2 11 lim 0 = −+→ x x x , que lemos como: o limite de 11 )( −+ = x x xf quando x tende a 0 é 2. Exemplo: Qual o limite da função x x xf =)( quando x tende a zero. = ≠ = 0 se definida está não 0 se 1)( x x xf 1)(lim 0 = → xf x L.M.C / 2009 3 Definição de limite Se os valores de f(x) podem ser definidos tão perto de L quanto possível ao tomarmos x arbitrariamente próximos de xo, dizemos que: Lxf oxx = → )(lim Que lemos: “O limite de f(x) quando x tende a xo é L” Definição rigorosa de limite Seja I um intervalo aberto ao qual pertence um número real a. Seja f uma função definida para }{aIx −∈ . Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a a, é L e escrevemos Lxf ax = → )(lim , se para todo 0>ε , existir δ >0 tal que se δ<−< ax0 então ε<− Lxf )( . εδδε <−⇒<−<>∃>∀⇔= → LxfaxLxf ax )(0 0 ,0)(lim Técnicas de cálculo de limites (1) o xx xx o = → )(lim (2) non xx xx o = → )(lim (3) kk oxx = → )(lim sendo k uma constante (4) o xx kxkx o = → )(lim (5) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf ooo xxxxxx →→→ +=+ limlim)()(lim (6) ( ) ⋅ =⋅ →→→ )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf ooo xxxxxx L.M.C / 2009 4 (7) = → → → )(lim )(lim )( )(lim xg xf xg xf o o o xx xx xx , se 0)(lim ≠ → xg oxx (8) ( ) )(lim)(lim xfkxfk oo xxxx →→ ⋅=⋅ Exemplos: (a) 632)(lim2)2(lim 33 =⋅=⋅= →→ xx xx (b) 111212)1(lim)(lim)3(lim)13(lim 22 2 2 2 2 =+−=+−=+− →→→→ xxxx xxxx (c) 55020)52(lim 22 0 −=−⋅+=−+ → xx x Funções Racionais: )( )( xQ xP , com )(xP e )(xQ polinômios (d) ( )( ) ( ) 21lim 1 11lim 1 1lim 11 2 1 =+= − +− = − − →→→ x x xx x x xxx (e) ( ) ( )( ) ( ) ???1 1lim 1 11lim 1 1lim 1212 2 1 = − + = − −+ = − − →→→ x x x xx x x xxx (f) ( ) ( )( )( ) 011 1lim 1 1lim 2 12 2 1 = +− − = − − →→ xx x x x xx Limites no infinito Comportamento das funções racionais quando ±∞→x Considere o seguinte polinômio 12)( 3 −+= xxxp . Imaginemos um valor para x absurdamente grande como, por exemplo, x = 1050, e calculemos p(1050). 1)10(2)10()10( 5035050 −⋅+=p Perceba que 350 )10( >>> 1)10(2 50 −⋅ , desse modo podemos afirmar que: Sendo x absurdamente grande ⇒ 3)( xxp ≈ L.M.C / 2009 5 Exemplos: (a) 01 2 3lim 2 3lim 2 13lim 27 5 37 5 = ⋅= = + −+ ∞→∞→∞→ xx x xx xx xxx (b) +∞= ⋅= = + + −∞→−∞→−∞→ 6 2 8 2 8 3 2lim 3 2lim 23 72lim x x x x xx xxx (c) 3 5 3 5lim 3 5lim 3 125lim 5 5 25 5 = = = − −+ ∞→∞→∞→ xxx x x xx xx LEMBRETE: xx =2 Limites laterais Exemplo: Calcule ( )2 0 lim x x +→ e ( )2 0 lim x x −→ ( ) 0lim 2 0 = +→ x x ( ) 0lim 2 0 = −→ x x Exemplo: Calcule x x x +→0 lim e x x x −→0 lim x x xf =)( não está definida para x = 0 −= − =< ==> 1)( ,0 se 1)( ,0 se x x xfx x x xfx ( ) 11limlim)(lim 000 == = +++ →→→ xxx x x xf ( ) 11limlim)(lim 000 −=−= − = −−− →→→ xxx x x xf L.M.C / 2009 6 Exemplo: Calcule +→ xx 1lim 0 e −→ xx 1lim 0 +∞= +→ xx 1lim 0 −∞= −→ xx 1lim 0 Exemplo: Calcule +→ 20 1lim xx e −→ 20 1lim xx +∞= +→ 20 1lim xx +∞= −→ 20 1lim xx Exemplo: xxf =)( R),0[: Ι→+∞f 0lim)(lim 00 == +→→ xxf xx No caso acima subtende-se que xx xx +→→ = 00 limlim Teorema: Lxf oxx = → )(lim se, e somente se, Lxfxf xxxx == −+ →→ )(lim)(lim 00 L.M.C / 2009 7 Exemplo: Calcule )(lim 3 xf x→ onde ≥+ <− = 3 se 13 3 se 5)( 2 xx xx xf ( ) ( ) 45lim)(lim 413lim)(lim 2 33 33 =−= =+= −− ++ →→ →→ xxf xxf xx xx Logo, 4)(lim 3 = → xf x Exemplo: Calcule )(lim 1 xf x→ onde ≥ <+ = 1 se - 1 se 23)( 2 xxx xx xf ( ) ( ) 523lim)(lim 0lim)(lim 11 2 11 =+= =−= −− ++ →→ →→ xxf xxxf xx xx Logo, )(lim 1 xf x→ não existe Continuidade de uma função Definição: f(x) é contínua em xo se f(xo) existe e )()(lim)(lim 00 o xxxx xfxfxf == −+ →→ Exemplo: A função = ≠ = 0 se 1 0 se )( 2 x x x x xf é contínua ou descontínua em x = 0? −= − =< ==> x x x xfx x x x xfx 2 2 )( ,0 se )( ,0 se 0)(lim 0)(lim 0 0 = = − + → → xf xf x x Logo, 0)(lim 0 = → xf x . Como 1)0( =f , )0()(lim 0 fxf x ≠ → , logo a função é descontínua em x = 0. L.M.C / 2009 8 Exemplo: Determine k de tal forma que a função ≥+ <+ = 0 se 3 0 se 1)( 2 xxk xx xf seja contínua em seu domínio. Queremos que )0()(lim)(lim 00 fxfxf xx == −+ →→ * kkf =⋅+= 03)0( ( ) ( ) 11lim)(lim 3lim)(lim 2 00 00 =+= =+= −− ++ →→ →→ xxf kxkxf xx xx Impondo (*) � k = 1 Teorema do confronto (Teorema do sanduíche) Sejam f(x), g(x) e h(x) funções tais que “perto” de xo temos que )()()( xhxfxg ≤≤ e Lxhxg ooxxxx == →→ )(lim)(lim . Então Lxf oxx = → )(lim Exemplo: Calcule ⋅ → x x x 1 sinlim 2 0 Aplicando o teorema do sanduíche, temos: 11sin1 ≤ ≤− x Multiplicando as desigualdades por x2, temos: 222 1sin x x xx ≤ ⋅≤− ( ) ( )2 0 2 0 2 0 lim1sinlimlim x x xx xxx →→→ ≤ ⋅≤− Como: ( ) 0lim 2 0 = → x x e ( ) 0lim 2 0 =− → x x Logo: 01sinlim 2 0 = ⋅ → x x x L.M.C / 2009 9 Atenção!! ∞= = →→ 2030 1limlim xx x xx ( ) 11limlim 03 3 0 == →→ xx x x ( ) 0limlim 2 0 3 0 == →→ x x x xx Limite Trigonométrico Fundamental 1)sin(lim 0 = → x x x Demonstração: Da trigonometria, temos: (a) )tan( 11 )sin( 1)tan()sin( 2 0 xxx xxxx >>⇒<<⇒<< pi (I) (b) )tan( 11 )sin( 1)tan()sin(0 2 xxx xxxx <<⇒>>⇒<<− pi (II) Multiplicando as desigualdades (I) e (II) por sin(x), resulta: (a) )cos()sin(1)tan( )sin()sin( )sin( )sin( 2 0 x x x x x x x x x x >>⇒>>⇒<< pi ( sin(x) > 0 ) (b) )cos()sin(1)tan( )sin()sin( )sin( )sin(0 2 x x x x x x x x x x >>⇒>>⇒<<− pi ( sin(x) < 0 ) L.M.C / 2009 10 Temos, portanto: Para 22 pipi <<− x e 0≠x 1)sin()cos( << x x x Considerando )cos()( xxg = , x x xf )sin()( = e 1)( =xh e notando que 1)(lim)(lim 00 == →→ xhxg xx , do teorema do sanduíche, temos: 1)sin(lim 0 = → x x x Outro limite trigonométrico importante 0)cos(1lim 0 = − → x x x Demonstração: ( ) 001)cos(1 )sin()sin(lim ))cos(1( )(sinlim)cos(1 )(cos1lim)cos(1 )cos(1)cos(1lim)cos(1lim 0 2 0 2 000 =⋅= + ⋅= = +⋅ = +⋅ − = + + ⋅ − = − → →→→→ x x x x xx x xx x x x x x x x x xxxx Atenção!! (a) 1)sin(1 <<− x (b) 1)(sin0 2 << x (c) 1)sin(0 << x OBS: )sin(lim x x ∞→ não existe, pois quando x cresce, os valores de )sin(x oscilam entre 1 e 1− um número infinito de vezes (logo, eles não tendem a qualquer número definido). L.M.C / 2009 11 DERIVADA E RETA TANGENTE A velocidade média de uma partícula é definida por: 12 12 tt xx t x v − − = ∆ ∆ = No gráfico de x versus t, a velocidade média é indicada pela inclinação da reta secante à curva nos pontos (t1, x1) e (t2, x2). Considere agora sucessivos intervalos de tempo cada vez menores (figura abaixo) 1t∆ , 2t∆ , 3t∆ , 4t∆ , ... A velocidade média em cada intervalo de tempo é dada pela inclinação da reta secante no dado intervalo. Assim que os intervalos de tempo tornam- se cada vez menores essas inclinações se aproximam da inclinação da reta tangente no ponto t1. A inclinação da reta tangente em t1 é definida como a velocidade instantânea da partícula. L.M.C / 2009 12 A velocidade instantânea é o limite da razão tx ∆∆ / quando t∆ se aproxima de zero: t x v t inst ∆ ∆ = →∆ 0. lim � inclinação da reta tangente Esse limite é denominado de derivada de x em relação a t. Definição de derivada Considere f(x): A inclinação da reta tangente em P é dada por −+ = ∆ ∆ →→∆ h xfhxf x f hx )()(limlim 00 A derivada de uma função f é a função denotada por f’ , tal que seu valor em qualquer número x do domínio de f seja dado por: −+ = → h xfhxf xf h )()(lim)(' 0 ou −+ = → h xfhxf dx df h )()(lim 0 Se esse limite existir. Problema: Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico de 2xy = no ponto: (a) (2, 4) (b) (xo, xo2) (a) )2('f � inclinação da reta tangente em x = 2 −+ = → h fhff h )2()2(lim)2(' 0 −+ = → h hf h 22 0 2)2(lim)2(' 4)4(lim444lim)2(' 0 2 0 = +⋅ = −++ = →→ h hh h hhf hh L.M.C / 2009 13 (b) )(' oxf � inclinação da reta tangente em x = xo −+ = → h xfhxf xf oo ho )()(lim)(' 0 ( ) o o h ooo h oo ho x h hxh h xhhxx h xhx xf 22lim2lim)()(lim)(' 0 222 0 22 0 = +⋅ = −++ = −+ = →→→ Exemplo: Calcule a derivada da função xxxf −= 3)( no ponto: (a) (2, 6) (b) (xo, f (xo)) (a) )2('f � inclinação da reta tangente em x = 2 −+ = → h fhff h )2()2(lim)2(' 0 −+−+ = → h hhf h 6)2()2(lim)2(' 3 0 −−−+++ = → h hhhhf h 626128lim)2(' 32 0 ++ = → h hhhf h 116lim)2(' 23 0 ( )116lim)2(' 2 0 ++= → hhf h 11)2(' =f (b) )(' oxf � inclinação da reta tangente em x = xo ( ) ( ) ( ) −−+−+ = −+ = →→ h xxhxhx h xfhxf xf ooo h oo ho 33 00 lim)()(lim)(' ( ) −++⋅ = +−−−+++ = →→ h xhxhh h xxhxhhxhxx xf oo h oooooo ho 133lim33lim)(' 22 0 33223 0 13)(' 2 −= oo xxf L.M.C / 2009 14 Regras de derivação (1) Se c for uma constante e se cxf =)( para todo x , então 0)(' =xf Prova: 00limlim)()(lim)(' 000 == − = −+ = →→→ hhh h cc h xfhxf xf (2) Se n for um número inteiro positivo e se nxxf =)( , então 1)(' −= nnxxf Prova: ( ) −+ = −+ = →→ h xhx h xfhxf xf nn hh 00 lim)()(lim)(' Aplicando o desenvolvimento do binômio de Newton, temos: ( ) ( ) nnnnnn nnnnnn hxh n n xh n nhxxhx h n n xh n n xh n hx n x n hx + − ++ ++=+ + − ++ + + =+ −−− −−− 1221 1221 1 ... 2 1 ... 210 Logo: h xhxh n n xh n nhxx xf nnnnnn h − + − ++ ++ = −−− → 1221 0 1 ... 2 lim)(' + − ++ += −−−− → 1221 0 1 ... 2 lim)(' nnnn h hxh n n hx n nxxf 1)(' −=∴ nnxxf (3) Se f for uma função, c uma constante e g a função definida por)()( xfcxg ⋅= Então, se )(' xf existir, )(')(' xfcxg ⋅= L.M.C / 2009 15 Prova: [ ] )(')()(lim )()(lim)()(lim)()(lim)(' 0 000 xfc h xfhxf c h xfhxfc h xfchxfc h xghxg xg h hhh ⋅= −+ ⋅= = −+⋅ = ⋅−+⋅ = −+ = → →→→ (4) Se f e g forem funções e se i for a função definida por )()()( xgxfxi += Então, se )(' xf e )(' xg existirem, )(')(')(' xgxfxi += Prova: [ ] [ ] )(')(' )()(lim)()(lim)()()()(lim )()()()(lim)()(lim)(' 000 00 xgxf h xghxg h xfhxf h xghxg h xfhxf h xgxfhxghxf h xihxi xi hhh hh += = −+ + −+ = −+ + −+ = = +−+++ = −+ = →→→ →→ (5) Se f e g forem funções e se i for a função definida por )()()( xgxfxi = Então, se )(' xf e )(' xg existirem, )(')()()(')(' xgxfxgxfxi += Prova: ⋅−+⋅+ = −+ = →→ h xgxfhxghxf h xihxi xi hh )()()()(lim)()(lim)(' 00 Se )()( xghxf ⋅+ for somado e subtraído ao numerador, então = −+ ⋅+ −+ ⋅+= = −+ ⋅+ −+ ⋅+= = ⋅−⋅++⋅+−+⋅+ = →→ → → h xfhxf xg h xghxghxf h xfhxf xg h xghxghxf h xgxfxghxfxghxfhxghxf xi hh h h )()()(lim)()()(lim )()()()()()(lim )()()()()()()()(lim)(' 00 0 0 L.M.C / 2009 16 )(')()()(')(')()(')( )()(lim)(lim)()(lim)(lim 0000 xgxfxgxfxfxgxgxf h xfhxf xg h xghxghxf hhhh +=+= = −+ ⋅+ −+ ⋅+= →→→→ OBS: [ ] )()()()()()()( xixhxgxixhxgxf ⋅⋅=⋅⋅= [ ] [ ] )(')()()(')()()(' xixhxgxixhxgxf ⋅⋅+⋅⋅= )(')()()()(')()()()(')(' xixhxgxixhxgxixhxgxf ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= (6) Se f e g forem funções e se i for a função definida por )( )()( xg xf xi = onde 0)( ≠xg Então, se )(' xf e )(' xg existirem, [ ]2)( )(')()()(')(' xg xgxfxgxf xi −= Prova: +⋅⋅ +⋅−⋅+ = − + + = −+ = →→→ )()( )()()()(lim)( )( )( )( lim)()(lim)(' 000 hxgxgh hxgxfxghxf h xg xf hxg hxf h xihxi xi hhh Se somarmos e subtrairmos )()( xgxf ⋅ ao numerador, então = +⋅ −+ ⋅− −+ ⋅ = = +⋅ −+ ⋅− −+ ⋅ = = +⋅⋅ ⋅++⋅−⋅−⋅+ = →→ →→→→ → → )(lim)(lim )()(lim)(lim)()(lim)(lim )()( )()()()()()( lim )()( )()()()()()()()(lim)(' 00 0000 0 0 hxgxg h xghxg xf h xfhxf xg hxgxg h xghxg xf h xfhxf xg hxgxgh xgxfhxgxfxgxfxghxf xi hh hhhh h h L.M.C / 2009 17 [ ]2)( )(')()()(' )()( )(')()(')( xg xgxfxgxf xgxg xgxfxfxg − = ⋅ − = Exemplos: Derive as seguintes funções Regra da soma (a) 52127 23)( −+−++= xxxxxxf 62 16 5167)(' −− −−++= xxxxxf (b) x xx x xf 1321)( 35 +−+= − 2 342 16 2 195)(' −−−− −++−= xxxxxf Atenção!! ( )' 1'1 5 5 xx ≠ Regra do produto (c) ( ) −+⋅+−= − xxxxxxf 5323 13)( ( ) ( ) −+−⋅+−+ −+⋅−= −− 15 3 21333)(' 43535322 xxxxxxxxxf (d) ( ) ( ) ( )52121)( 473 −+⋅−+⋅+= xxxxxxf ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )24121 5227152123)(' 373 463472 +⋅−+⋅++ +−+⋅+⋅++−+⋅−+⋅= xxxx xxxxxxxxxxf Regra do quociente (e) 13 32)( 2 24 − +− = x xx xf ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2423 13 6321344)(' − ⋅+−−−⋅− = x xxxxxx xf (f) ( ) ( )( )1 13)( 3 52 + −⋅+ = x xxx xf ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )23 2523425 1 313153116)( + ⋅−⋅+−+⋅⋅++−⋅+ =′ x xxxxxxxxxx xf ou ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 13 1 13)( 3 5 2 3 52 + − ⋅+= + −⋅+ = x x xx x xxx xf L.M.C / 2009 18 ( ) ( ) ( ) ( )( ) + ⋅−−+ ⋅++ + − ⋅+=′ 23 2534 2 3 5 1 31153 1 116)( x xxxx xx x x xxf Derivada das funções trigonométricas )cos()(sin' xx = Prova: )cos( 1)cos(0)sin()sin(lim)cos(lim1)cos(lim)sin(lim )sin()cos(1)cos()sin(lim )sin()cos()sin()cos()sin(lim)sin()sin(lim)(sin' 0000 0 00 x xx h h x h h x h h x h h x h xxhhx h xhx x hhhh h hh = ⋅+⋅= ⋅+ − ⋅= = ⋅+ − ⋅= = −+ = −+ = →→→→ → →→ OBS: += 2 sin)cos( pixx )sin()(cos' xx −= Prova: [ ] )sin( 1)sin()cos(0)sin(lim)sin(lim)cos(lim)cos(1lim )sin()sin(lim1)cos()cos(lim )cos()sin()sin()cos()cos(lim)cos()cos(lim)(cos' 0000 00 00 x xx h h xx h h h hx h hx h xhxhx h xhx x hhhh hh hh −= =⋅−⋅= ⋅−⋅ − −= = ⋅ − −⋅ = = −− = −+ = →→→→ →→ →→ L.M.C / 2009 19 )(sec)(tan' 2 xx = Prova: )(sec)(cos 1 )(cos )(sin)(cos )(cos )(cos')sin()cos()(sin'' )cos( )sin()(tan' 222 22 2 xxx xx x xxxx x x x == + = ⋅−⋅ = = )(csc)(cot' 2 xx −= Prova: A fórmula da derivada da função co-tangente é obtida de forma análoga à da função tangente. )tan()sec()(sec' xxx ⋅= Prova: )tan()sec()cos( )sin( )cos( 1 )(cos )sin( )(cos )(cos')1()cos( )'1(' )cos( 1)(sec' 22 xxx x xx x x xx x x ⋅=⋅== ⋅−⋅ = = )cot()csc()(csc' xxx ⋅−= Prova: A fórmula da derivada da função co-secante é obtida de forma análoga à da função secante. Exemplos: Derive as seguintes funções (a) 1 )sin()( 2 += x x xf ( ) ( ) ( ) ( )22 2 1 2sin1)cos()(' + ⋅−+⋅ = x xxxx xf (b) )tan( 2)( 3 x xx xf −= ( ) ( ) )(tan )(sec2)tan(23)(' 2 232 x xxxxx xf ⋅−−⋅−= L.M.C / 2009 20 Regra da Cadeia (Chain Rule) Sejam as seguintes funções BA: →f e CB: →g A função composta fg o é definida por CA: →fg o Teorema (Regra da Cadeia): Se a função f for derivável em x e a função g for derivável em f(x), então a função composta fg o será derivável em x, e ( ) )(')(')'( xfxfgfg ⋅=o Exemplo: Calcule a derivada de = x xp 1sin)( )(xp é uma composição de funções: )sin()( xxg = x xf 1)( = Observe que: ( ))()( xfgxp = = = xx gxp 1sin1)( L.M.C / 2009 21 Calculando )(' xf e )(' xg 2 1)(' x xf −= )cos()(' xxg = Aplicando a regra da cadeia ( ) )(')(')(' xfxfgxp ⋅= ( ) −⋅= 2 1)(cos)(' x xfxp −⋅ = 2 11 cos)(' xx xp Exemplo: Calcule a derivada de ( ))cos(sin)( xxp = )(xp é uma composição de funções: )cos()( xxf = )sin()( xxg = Calculando )(' xf e )(' xg )sin()(' xxf −= )cos()(' xxg = Aplicando a regra da cadeia ( ) )(')(')(' xfxfgxp ⋅= ( ) )sin()cos(cos)(' xxxp ⋅−= Exemplo: Calcule a derivada de ( )42 12)( +−= xxxp É possível calcular a deriva de )(xp utilizando a regra do produto. Entretanto, é viável o uso da regra da cadeia visto que ela apresenta um caminho mais prático para o cálculo da derivada desse tipo de função. L.M.C / 2009 22 )(xp é uma composição de funções: 12)( 2 +−= xxxf 4)( xxg = Calculando )(' xf e )(' xg 22)(' −= xxf 34)(' xxg = Aplicando a regra da cadeia ( ) )(')(')(' xfxfgxp ⋅= ( ) ( )22124)(' 32 −⋅+−⋅= xxxxp Exemplo: Calcule a derivada de ( )2sin)( xxp = Vamos ser mais práticos agora: A derivada da função composta é igual ao produto entre a derivada da função “externa” e a derivada da função “interna”. Nesse exemplo, ( ) sin é a função “externa” e 2x é a função “interna”. Logo pela regra da cadeia, temos: ( ) xxxp 2cos)(' 2 ⋅= Exemplo: Calcule a derivada de ( )12sin)( 3 −+= xxxp ( ) ( )2312cos)(' 23 +⋅−+= xxxxp Exemplo: Calcule a derivada de 1)( 2 += xxp ( ) 2122 11)( +=+= xxxp ( ) ( )xxxp 21 2 1)(' 212 ⋅+⋅= − L.M.C / 2009 23 Exemplo: Calcule a derivada de ( )( )2cossin)( xxf = Nesse exemplo temos a composição de três funções. Aplicando a regra da cadeia temos: ( )( ) ( )( ) ( )xxxxf 2sincoscos)(' 22 ⋅−⋅= OBS: Regra da Cadeia usando a notação de Leibniz Se y for uma função de u, definida por )(ufy = e du dy existir, e se u for uma função de x, definida por )(xgu = e dx du existir, então y será uma função de x e dx dy existirá e será dada por: dx du du dy dx dy ⋅= Exercícios: Calcule as seguintes derivadas (a) ( )xxf 5sin)( = ( ) 55cos)(' ⋅= xxf (b) ( )1cos)( 2 += xxf ( ) ( )xxxf 21sin)(' 2 ⋅+−= (c) ( )151)tan()( += xxf ( ) ( ))(sec1)tan(15)(' 214 xxxf ⋅+⋅= (d) + = 1 sec)( 2x x xf ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 1 211 1 tan 1 sec)(' + ⋅−+⋅ ⋅ + ⋅ + = x xxx x x x x xf L.M.C / 2009 24 Equação da reta tangente Exemplo: Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de x xf 1)( = (a) no ponto (1, 1) (b) no ponto (2, 2 1 ) (c) em um ponto qualquer (a) A equação da reta tangente no ponto (1, 1) é dado por ( )11 −⋅=− xmy Onde m é a inclinação da reta tangente, ou seja, )1('fm = Sendo 2 1)(' x xf −= , 1)1(' −== fm Daí: ( ) ( )111 −⋅−=− xy (b) A equação da reta tangente no ponto (2, 2 1 ) é dado por ( )2 2 1 −⋅=− xmy Onde m é a inclinação da reta tangente, ou seja, 4 1 )2( 1)2(' 2 −=−== fm Daí: ( )2 4 1 2 1 −⋅ −=− xy (c) Para um ponto genérico o o x x 1 , , a equação da reta tangente é: ( )o o xxm x y −⋅=− 1 Onde 2 1)(' o o x xfm −== Daí: ( )o oo xx xx y −⋅−=− 2 11 L.M.C / 2009 25 Equação da reta normal Exemplo: Encontra a equação da reta normal ao gráfico )sin()( xxf = no ponto 2 2 , 4 pi . A reta normal a um gráfico em um dado ponto é a reta perpendicular à reta tangente naquele ponto. A equação das retas que passam no ponto 2 2 , 4 pi é dada por: −⋅=− 42 2 pi xmy Reta tangente: 2 2 4 cos 4 ' = = = pipifm Reta normal: 2 2 2 2 2 11 −=−=−=−= m mn Daí: −⋅−=− 4 2 2 2 pi xy L.M.C / 2009 26 Derivação Implícita As funções encontradas até agora podem ser descritas expressando uma variável explicitamente em termos de outra; por exemplo, 13 += xy ou )sin(xy = ou, em geral, )(xfy = Algumas funções, entretanto, são definidas implicitamente por uma relação entre x e y: 2522 =+ yx xyyx 633 =+ (fólio de Descartes) Felizmente não precisamos resolver uma equação para y em termos de x para encontrar a derivada de y. Em vez disso, podemos usar o método da diferenciação implícita, que consiste em diferenciar ambos os lados da equação em relação a x e então resolver a equação resultante para y’. Exemplo: Derive implicitamente (a) 2522 =+ yx ( ) ( ) 0222522 =′⋅+∴=+ yyx dx dyx dx d (Usamos a regra da cadeia, pois )(xyy = ) L.M.C / 2009 27 (b) 33 32 =−+ xxyyx ( ) 013132 232 =−′⋅⋅⋅+⋅⋅+′+ yyxyyxxy (c) 111 =+ xy 011 22 =−′⋅− x y y Exercício: Ache as inclinações das retas tangentes nos pontos ( )1,2 − e ( )1,2 para 012 =+− xy . ( ) ( )012 dx d xy dx d =+− 012 =−′⋅ yy y y 2 1 =′ No ponto ( )1,2 − � ( ) 2 1 12 1 −= −⋅ =′y No ponto ( )1,2 � ( ) 2 1 12 1 = ⋅ =′y Exercício: Considere o seguinte fólio de Descarte xyyx 333 =+ (a) Ache dx dy (b) Encontre a equação da reta tangente no ponto 2 3 , 2 3 (c) Em quais pontos a reta tangente é horizontal? (d) Em quais pontos a reta tangente é vertical? L.M.C / 2009 28 Resolução (a) ( ) ( )xy dx dyx dx d 333 =+ ( ) ( ) 22 22 22 22 333 xyxyy xyyxyy yxyyyx yxyyyx −=−⋅′ −=′⋅−′⋅ ′⋅+=′⋅+ ′⋅+=′⋅+ xy xyy − − =′ 2 2 (b) A equação tangente no ponto 2 3 , 2 3 é dada por: −⋅=− 2 3 2 3 xmy Onde 1 2 3 4 9 4 9 2 3 2 3 , 2 3 −= − − = ′= ym Daí: −−=− 2 3 2 3 xy (c) A reta tangente à curva é horizontal quando possui inclinação nula, ou seja, 0=′y 22 00 xyxyy =⇒=−⇒=′ Substituindo 2xy = na equação da curva, obtemos ( ) ( )2323 3 xxxx =+ 363 3xxx =+ Resolvendo a equação acima, obtemos 0=x e 3/12=x , entretanto, iremos utilizar apenas a segunda solução 3/12=x para evitar uma indeterminação do tipo 0/0. Como ( )23/12=y para 0=′y , o ponto a ser encontrado é ( )3/23/1 2,2 L.M.C / 2009 29 (d) A reta tangente é vertical quando o denominador na expressão xy xyy − − =′ 2 2 é 0. Um outro método é observar que a equação da curva não varia quando x e y são trocados entre si, logo a curva é simétrica em torno da reta xy = . Isso significa que a tangente horizontal em ( )3/23/1 2,2 corresponde a tangente vertical em ( )3/13/2 2,2 Revisão: Funções Exponenciais e Logarítmicas Função Exponencial Dado um número real a, tal que 10 ≠< a , chamamos função exponencial debase a a função f de IR em IR que associa a cada x real o número xa . xaxf =)( 1º caso: 1>a 0lim lim = +∞= −∞→ +∞→ x x x x a a 2º caso: 10 << a 0lim lim = +∞= +∞→ −∞→ x x x x a a Propriedades: (1) yxyx aaa ⋅=+ (2) y x yx a a a =− (3) ( ) xyyx aa = (4) ( ) xxx baab = L.M.C / 2009 30 Definição de Logaritmo baxb xa =⇔=log Propriedades (1) )(log)(log)(log yxxy aaa += (2) )(log)(loglog yx y x aaa −= (3) )(log)(log xrx ara = (4) )(log )(log)(log a x x b b a = Função Logarítmica Dado um número real a, tal que 10 ≠< a , chamamos função logarítmica de base a a função f de ∗+IR em IR que associa a cada x real o número xalog . )(log)( xxf a= −∞= +∞= → +∞→ x x a x a x loglim loglim 0 OBS: As funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra. OBS: xa x a =)(log xa xa = )(log )ln()(log xxe = L.M.C / 2009 31 Derivada da função logarítmica Faremos uso do seguinte limite para encontrar a derivada da função logarítmica: ( ) ex x x =+ → 1 0 1lim ou e x x x = + ±∞→ 11lim Aplicando a definição da função derivada para )(log)( xxf a= , temos + = + = −+ =′ →→→ h x h h x hx h xhx xf a h a h aa h 1log lim log lim)(log)(loglim)( 000 Definindo x h u = , temos: ( ) ( ) ( ) +⋅= +⋅⋅= + =′ →→→ u a u a u a u u x u uxux u xf 1 000 1loglim11log1lim11loglim)( Como a função logarítmica é contínua, podemos escrever ( ) )(log11limlog1)( 1 0 e x u x xf au u a ⋅= +⋅=′ → Logo [ ] )(log1)(log e x x dx d aa ⋅= ou [ ] )ln( 1)(log ax x dx d a ⋅ = Quando ea = , temos ( ) x x dx d 1ln = Pela regra da cadeia, [ ] ⇒′⋅= )()( 1)(ln xf xfxfdx d [ ] )( )()(ln xf xf xf dx d ′ = Exemplo: Derive as seguintes funções (a) ( )xxf 2ln)( = xx xf 12 2 1)( =⋅=′ L.M.C / 2009 32 (b) ( )2ln)( xxf = x x x xf 221)( 2 =⋅=′ (c) − = 3 2 1ln)( x x xf ( ) ⋅−−⋅ ⋅ − =′ 6 223 2 3 312 1 )( x xxxx x x xf Derivada da função exponencial Dada a função exponencial: xay = Podemos reescrevê-la da seguinte forma: )(log yx a= Derivando implicitamente em relação a x, temos ye y a ′⋅⋅= )(log11 )(log)(log e a e yy a x a ==′ Logo, ( ) )(log e a a dx d a x x = ou ( ) )ln(aaa dx d xx ⋅= Quando ea = , temos ( ) xx ee dx d = Pela regra da cadeia, ( ) )()()( xfee xfxf ′⋅=′ L.M.C / 2009 33 OBS: Assim, a função exponencial xexf =)( tem como propriedade o fato de que sua derivada é ela mesma. O significado geométrico desse fato é que a inclinação da reta tangente à curva xey = é igual a coordenada y do ponto. OBS: e é um número tal que 11lim 0 = − → h eh h Exemplos: (1) ( ) 333 ⋅=′ xx ee (2) ( ) ( )xee xx 222 −⋅=′ −− (3) ( ) ⋅+−⋅ ⋅= ′ ++ 6 22311 3123 2 3 2 x xxxx ee x x x x Diferenciação logarítmica Passos na diferenciação logarítmica 1º passo: Tome o logaritmo natural em ambos os lados de uma equação )(xfy = e use as propriedades do logaritmo para simplificar. 2º passo: Diferencie implicitamente em relação a x. 3º passo: Resolva a equação resultante para y′ . OBS: A diferenciação logarítmica ajuda-nos a diferenciar funções do tipo )()( xgxf L.M.C / 2009 34 Exemplo: Diferencie xxy = Solução 1 )ln()ln( xxy ⋅= ( ) ( ))ln()ln( xx dx dy dx d ⋅= x xx y y 1)ln(1 ⋅+⋅=′ [ ]1)ln( +⋅=′ xyy [ ]1)ln( +⋅=′ xxy x Solução 2 Outro método é escrever ( )xxx ex )ln(= ( ) ( ))ln( xxx e dx d x dx d ⋅ = ( ) ( ))ln()ln( xx dx d ex dx d xxx ⋅⋅= ⋅ ( ) [ ]1)ln()ln( +⋅= ⋅ xex dx d xxx ( ) [ ]1)ln( +⋅= xxx dx d xx Exercício: Calcule as derivadas das seguintes funções: (1) )2ln()( xxf = xx xf 12 2 1)( =⋅=′ (2) )ln()( 3xxf = x x x xf 331)( 23 =⋅=′ L.M.C / 2009 35 (3) + = 21 ln)( x x xf ( ) ( ) + ⋅−+⋅ ⋅ + =′ 22 22 1 2111)( x xxx x x xf (4) xexf 7)( = 7)( 7 ⋅=′ xexf (5) xexxf ⋅= 3)( xx exexxf ⋅+⋅=′ 323)( (6) )sin()( xexf = )cos()( )sin( xexf x ⋅=′ (7) )ln()( x e xf x = [ ] [ ]22 )ln( )ln( )ln( 1)ln( )( xx exex x x exe xf xx xx ⋅ −⋅⋅ = ⋅−⋅ =′ (8) ( ) 2)sin(ln)( xexxf ⋅= ( ) xexe x x xf xx 2)sin(ln)sin( )cos()( 22 ⋅⋅+⋅=′ OBS: Determine )(xf , tal que )tan()( xxf =′ . ( ) ( )( ) ( ) )tan()cos( )sin()cosln)sec(ln x x x x dx d x dx d = −− =−= L.M.C / 2009 36 Noções de Funções Hiperbólicas Definição 2 )sinh( xx ee x − − = 2 )cosh( xx ee x −+ = )cosh( )sinh()tanh( x x x = Identidades hiperbólicas )sinh()sinh( xx −=− )cosh()cosh( xx =− 1)(sinh)(cosh 22 =− xx Observe que: Funções trigonométricas Funções hiperbólicas (funções circulares) 1)cosh( ≥t 1)(sin)(cos 22 =+ xx 1)(sinh)(cosh 22 =− xx Derivadas das funções hiperbólicas ( ) )cosh( 22 )sinh( xeeee dx d x dx d xxxx = + = − = −− )cosh()(hsin xx =′ )sinh()(hcos xx =′ L.M.C / 2009 37 OBS: Pode ser provado que se um cabo flexível pesado (tal como uma linha de telefone ou de eletricidade) estiver suspendido entre dois pontos na mesma altura, então ela assume a forma de uma curva com equação ( )axacy /cosh⋅+= , chamada de catenária. OBS: L++++++= !5!4!3!2!1 1 5432 xxxxx e x ( ) ( ) ( ) ( ) L++++++= !5!4!3!2!1 1 5432 θθθθθθ iiiiie i L+++−−+= !5!4!3!2 1 5432 θθθθθθ iiie i L+++−−+= !5!4!3!2 1 5432 θθθθθθ iiie i 444 3444 21 L 444 3444 21 L θθ θ θθθθθ sin 53 cos 42 !5!3!4!2 1 ++−⋅+ ++−= ie i ⋅−= ⋅+= − θθ θθ θ θ sincos sincos ie ie i i ⇒⋅=+ − θθθ cos2ii ee 2cos θθ θ ii ee −+ = i ee ii 2 sin θθ θ − − = L.M.C / 2009 38 Revisão: Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas Função Injetiva Uma função BAf →: é injetiva quando elementos diferentes de A são transformados por f em elementos de B, ou seja, não há elemento de B que seja imagem de mais de um elemento de A. Assim, f é injetiva quando: BxfxfAxx em )()( em 2121 ≠⇒≠ ou equivalente usando a contra-positiva: AxxBxfxf em em )()( 2121 =⇒= Função sobrejetiva Uma função BAf →: é sobrejetiva quando, para qualquer elemento By ∈ , pode-se encontrar um elemento Ax ∈ tal que yxf =)( . Ou seja, f é sobrejetiva quando todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A, isto é, quando Bf =)Im( . OBS: Uma função é sempre sobrejetiva em sua imagem. Função Bijetiva Uma função BAf →: é bijetiva se ela for, simultaneamente, injetiva e sobrejetiva. Quando isso ocorre dizemos que há bijeção ou uma correspondência biunívoca entre A e B. L.M.C / 2009 39 Revisão: Função inversa Dada uma função BAf →: , bijetiva, denomina-se função inversa de f a função ABg →: tal que, se baf =)( , então abg =)( , com Aa ∈ e Bb ∈ . De modo geral, se f é bijetiva, temos: Em que ABg →: é função inversa de BAf →: , uma vez que se tem: ( ) xxfgyg == )()( e ( ) yygf =)( Para qualquer Ax ∈ e By ∈ . OBS: 1) É comum utilizarmos 1−f para denotarmos a função inversa de f. 2) A função inversa 1−f existe se, e somente se, f é bijetora. 3) Para se obter a lei de formação da função inversa de uma função f, devemos trocar x por y e y por x em ( )xfy = e isolar a variável y. 4) Os gráficos de f e 1−f são simétricos em relação à bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes. L.M.C / 2009 40 Revisão: Funções trigonométricas inversas Uma função trigonométrica somente admite inversa se restringirmos o domínio Função arco-seno Por convenção, adota-se o intervalo − 2 , 2 pipi em que a função )sin(xy = é inversível. Considerando a função )sin(xy = definida em − 2 , 2 pipi , cujo conjunto imagem é [ ]1,1− , podemos determinar sua inversa 1−f . A função 1−f definida de [ ]1,1− em − 2 , 2 pipi é definida por: xyxy =⇔= )sin()arcsin( Outra notação: )(sin)arcsin( 1 xx −= L.M.C / 2009 41 OBS: Construindo no mesmo plano os gráficos das funções )sin(xy = e )arcsin(xy = , vamos obter: Função arco-cosseno Por convenção adota-se o intervalo [ ]pi,0 em que a função )cos(xy = é inversível. Considerando a função )cos(xy = definida em [ ]pi,0 , cujo conjunto imagem é [ ]1,1− , podemos determinar sua inversa 1−f . A função 1−f definida de [ ]1,1− em [ ]pi,0 é definida por: xyxy =⇔= )cos()arccos( L.M.C / 2009 42 OBS: Construindo no mesmo plano os gráficos das funções )cos(xy = e )arccos(xy = , vamos obter: Função arco-tangente A função )tan(xy = é inversível no intervalo − 2 , 2 pipi , adotado por convenção. Nesse intervalo, temos a função IRf → − 2 , 2 : pipi , definida por )tan(xy = . A inversa de tan(x) é a função −→− 2 , 2 :1 pipiIRf , definida por: xyxy =⇔= )tan()arctan( L.M.C / 2009 43 OBS: Construindo no mesmo plano os gráficos das funções )tan(xy = e )arctan(xy = , vamos obter: Função arco-secante Função arco-cossecante L.M.C / 2009 44 Função arco-cotangente Derivada das funções trigonométricas inversas 21 1)(narcsi x x − =′ Demonstração 1 )arcsin(xy = significa xy =)sin( Derivando implicitamente xy =)sin( em relação a x, temos: 1)cos( =′⋅ yy )cos( 1 y y =′ Como 0)cos( ≥y , uma vez que 2/2/ pipi ≤≤− y , logo: 22 1)(sin1)cos( xyy −=−= Lembrando que )(narcsi xy ′=′ , temos então: 21 1)(narcsi x x − =′ Demonstração 2 É possível escrever que ( ) xx =)arcsin(sin Derivando em ambos os lados em relação a x (derivação implícita), temos ( ) 1)(narcsi)arcsin(cos =′⋅ xx L.M.C / 2009 45 ( ))arcsin(cos 1)(narcsi x x =′ Considerando que θ=)arcsin(x temos o seguinte triângulo retângulo, Logo é possível visualizarmos que ( ) 21)cos()arcsin(cos xx −== θ Daí: 21 1)(narcsi x x − =′ 21 1)(sarcco x x − −=′ Demonstração )arccos(xy = significa xy =)cos( Derivando implicitamente xy =)cos( em relação a x, temos: 1)sin( =′⋅− yy )sin( 1 y y −=′ Como 0)sin( ≥y , uma vez que pi≤≤ y0 , logo: 22 1)(cos1)sin( xyy −=−= Lembrando que )(sarcco xy ′=′ , temos então: 21 1)(sarcco x x − −=′ L.M.C / 2009 46 21 1)(narcta x x + =′ Demonstração )arctan(xy = significa xy =)tan( Derivando implicitamente xy =)tan( em relação a x, temos: 1)(sec2 =′⋅ yy )(sec 1 2 y y =′ Recordando a seguinte identidade )(sec1)(tan)(cos 1 )(cos )(cos )(cos )(sin 22 22 2 2 2 yy yy y y y =+⇒=+ Temos, )(tan1 1 2 y y + =′ Lembrando que )(narcta xy ′=′ , temos então: 21 1)(narcta x x + =′ As funções trigonométricas inversas que ocorrem com mais freqüência são aquelas que acabamos de discutir. As derivadas das três funções remanescentes estão listadas abaixo. 1 1)(ccsarc 2 − −=′ xx x 1 1)(csearc 2 − =′ xx x 21 1)(tcoarc x x + −=′ Formas Indeterminadas e a Regra de L’Hôpital Forma indeterminada do tipo 0/0 ou ±∞/±∞ Suponha que 0)(lim = → xf oxx , 0)(lim = → xg oxx e que )(xf ′ e )(xg ′ sejam contínuas em xo. Queremos calcular = → )( )(lim xg xf oxx L.M.C / 2009 47 Idéia: Aproxime )(xf e )(xg perto de xo pelas suas respectivas retas tangentes )()()( ooo xxxfxfy −⋅′+= � reta tangente a f que passa por ( ))(, oo xfx )()()()( ooo xxxfxfxf −⋅′+≈ )()()( ooo xxxgxgy −⋅′+= � reta tangente a g que passa por ( ))(, oo xgx )()()()( ooo xxxgxgxg −⋅′+≈ Daí, −⋅′+ −⋅′+ = →→ )()()( )()()(lim)( )(lim ooo ooo xxxx xxxgxg xxxfxf xg xf oo Como, 0)( =oxf e 0)( =oxg , temos ′ ′ = −⋅′ −⋅′ = →→→ )( )(lim)()( )()(lim)( )(lim o o xx oo oo xxxx xg xf xxxg xxxf xg xf ooo Assim, ′ ′ = →→ )( )(lim)( )(lim o o xxxx xg xf xg xf oo � Regra de L’Hôpital (0/0) Agora, suponha que ∞= → )(lim xf oxx , ∞= → )(lim xg oxx e que )(xf ′ e )(xg ′ sejam contínuas em xo. Prova-se também que, ′ ′ = →→ )( )(lim)( )(lim o o xxxx xg xf xg xf oo � Regra de L’Hôpital (±∞/±∞) L.M.C / 2009 48 Exemplos: Utilizando a regra de L’Hôpital, temos 1) ⇒= → 0 0)sin(lim0 x x x forma indeterminada ( ) 11 )cos(lim)(nsilim)sin(lim 000 = = ′ ′ = →→→ x x x x x xxx 2) 0 1 )sin(lim)cos(1lim 00 = = − →→ x x x xx 3) 4 1 2lim 2 4lim 2 2 2 = = − − →→ x x x xx 4) 2 1 2)2cos(lim)2sin(lim 00 = ⋅ = →→ x x x xx 5) 5 7 5)5cos( 7)7cos(lim)5sin( )7sin(lim 00 = ⋅ ⋅ = →→ x x x x xx 6) = − →→ x x x x xx 2 )sin(lim)cos(1lim 020 Aplicando novamente a regra de L’Hôpital, 2 1 2 )cos(lim 2 )sin(lim 00 = = →→ x x x xx 7) 01limlim = = ∞→∞→ xxxx ee x OBS: Há uma luta violenta entre o numerador e o denominador. Se o numerador ganhar, o limite será ∞; se o denominador ganhar, a resposta será 0 (zero). Ou, em algum equilíbrio, a resposta pode ser algum número finito. Ver o item Atenção! pág. 9 8) Sendo 1, >∈ + nZn 0!lim)2()1(lim )1(limlimlim 3 21 = == ⋅−⋅−⋅ = = ⋅−⋅ = ⋅ = ∞→ − ∞→ − ∞→ − ∞→∞→ xxx n x x n xx n xx n x e n e xnnn e xnn e xn e x L L.M.C / 2009 49 9) Utilizando a regra de L’Hôpital 0)tan()sin(lim)cos( )sin()sin(lim )sin( )cos( )sin( 1 1 lim)cot()csc( /1lim)csc( )ln(lim 00 000 = ⋅−= ⋅−= = ⋅− = ⋅− = ++ +++ →→ →→→ x x x x x x x x x x x xx x x x xx xxx 10) 01lim 1 /1lim)ln(lim = = = ∞→∞→∞→ x x x x xxx Forma indeterminada do tipo ∞⋅0 Se 0)(lim = → xf oxx e ∞= → )(lim xg oxx (ou ∞− ), então não é claro qual será o valor de )()(lim xgxf oxx ⋅ → , se houver algum. Há uma luta entre f e g. Se f ganhar a resposta será 0; se g ganhar, a resposta será ∞ (ou ∞− ). Ou pode haver um equilíbrio, e então a resposta será um número finito diferente de zero. Escrevendo o produto fg como um quociente: g ffg /1 = ou f gfg /1 = Isso converte o limite dado na forma indeterminada do tipo 0/0 ou ±∞/±∞ de tal forma que podemos usar a regra de L’Hôpital. Exemplos: 1) ( )[ ])2sec()tan(1lim 4 xx x ⋅− → pi ( )[ ] [ ] [ ] ⇒∞⋅=⋅−=⋅− →→→ 0)2sec(lim)tan(1lim)2sec()tan(1lim 444 xxxx xxx pipipi forma indeterminada Reescrevendo o produto como um quociente e aplicando a regra de L’Hôpital, temos: ( ) 1 2 2/2 1 2)2sin( )(seclim)2sec(/1 )tan(1lim 22 44 = − − = ⋅− − = − →→ x x x x xx pipi 2) ( ) ( ) 0lim /1 /1lim /1 )ln(lim)ln(lim 02000 =−= − = =⋅ ++++ →→→→ x x x x x xx xxxx L.M.C / 2009 50 Forma indeterminada do tipo ∞−∞ Se ∞= → )(lim xf oxx e ∞= → )(lim xg oxx , então não é claro qual será o valor de [ ])()(lim xgxf oxx − → , se houver algum. Há uma luta entre f e g. Se f ganhar a resposta será ∞ ; se g ganhar, a resposta será ∞− . Ou pode haver um equilíbrio, e então a resposta é um número finito. Nesse caso, tentaremos converter a diferença, por exemplo, em um quociente, usando um denominador comum ou racionalização, ou pondo em evidência um fator comum de maneira a termos uma forma indeterminada do tipo 0/0 ou ±∞/±∞ (podendo, assim, utilizar a regra de L’Hôpital). Exemplo: 1) ⇒∞−∞= − +→ )sin( 11lim 0 xxx forma indeterminada Usando um denominador comum, temos ⋅ − = − ++ →→ )sin( )sin(lim)sin( 11lim 00 xx xx xx xx Aplicando a regra de L’Hôpital, temos ⋅+ − = ⋅ − ++ →→ )cos()sin( 1)cos(lim)sin( )sin(lim 00 xxx x xx xx xx Aplicando a regra de L’Hôpital novamente, temos: 0)sin()cos()cos( )sin(lim 0 = ⋅−+ − +→ xxxx x x Forma indeterminada do tipo ∞∞ 1,,0 00 As indeterminações ∞∞ 1,,0 00 surgem quando se estuda )()(lim xg xx xf o→ . A idéia para tratar disso é usar a definição xe x =)ln( , ou melhor, )ln(abb ea = , e presumirmos que a composta das funções f e g está definida. Desse modo, teremos a forma indeterminada do tipo 0/0 ou ±∞/±∞ e poderemos utilizar a regra de L’Hôpital. OBS: Outra idéia é tomarmos o logaritmo natural. Exemplo: Calcule x x x /1 0 )1(lim + → L.M.C / 2009 51 Solução 1 ++⋅ →→ → = =+ )1ln(1lim)1ln(1 0 /1 0 0lim)1(lim x x x x x x x x eex Diante de uma indeterminação do tipo 0/0, aplicamos a regra de L’Hôpital, eeee x x x x x === + + → → 1 1 1 1 lim )1ln(1lim 0 0 Solução 2 Assumindo que xxy /1)1( += , queremos, então, descobrir o valor de )(lim 0 y x→ . Aplicando logaritmo natural em ambos os lados da equação, temos )1ln(1)ln( x x y += Daí, [ ] +⋅= →→ )1ln(1lim)ln(lim 00 x x y xx Diante de uma indeterminação do tipo 0/0, aplicamos a regra de L’Hôpital, 1 1 1 1 lim)1ln(1lim 00 = + = +⋅ →→ xx x xx Descobrimos que [ ] 1)ln(lim 0 = → y x , porém queremos o valor de )(lim 0 y x→ . Para achá-lo usamos o fato de que )ln( yey = : ( ) [ ] eeeey yy xx x ==== → →→ 1)ln(lim)ln( 00 0lim)(lim L.M.C / 2009 52 Taxas Relacionadas (aplicação de derivação implícita) Exemplo: Suponha que uma escada de 3 metros de comprimento esta apoiada em uma parede. Se a base desliza com uma velocidade constante e igual a 1 m/s, determine a velocidade com que o topo da escada desliza quando a base da escada estiver 2 metros afastada da parede. Solução Relacionar x e y através do teorema de Pitágoras 922 =+ yx Derivando em relação ao tempo t obtemos 022 =+ dt dyy dt dx x Observe que aplicamos a regra da cadeia, uma vez que ( )txx = e ( )tyy = . Queremos saber quanto vale dt dy quando 2=x . É dado no problema que 1= dt dx . Quando x = 2, temos que 529 2 =−=y . Daí, dt dx y x dt dy ⋅−= m/s 5 2 −= dt dy L.M.C / 2009 53 Exemplo: Óleo derramado por um tanque se espalha circularmente. O raio cresce a uma taxa de 2 pés por segundo. Com que velocidade a área do derramamento cresce quando o raio forde 60 pés? Como o problema trata-se de um espalhamento circular, a área do derramamento é dada por, 2 rA ⋅= pi Derivando em relação ao tempo t, obtemos dt dr r dt dA ⋅= pi2 Observe que aplicamos a regra da cadeia, uma vez que ( )tAA = e ( )trr = . Queremos saber quanto vale dt dA quando 60=r . É dado no problema que 2= dt dr . Logo, 2602 ⋅⋅= pi dt dA /spés 240 2pi= dt dA Exemplo: Um líquido deve ser purificado por decantação através de um filtro cônico de 16 cm de altura e 4 cm de raio (no topo). Assuma que o líquido flui do cone a uma taxa constante de 2 cm³/min. (a) A profundidade do líquido irá decrescer a uma taxa constante? (b) Expresse a taxa de variação da profundidade do líquido em termos da profundidade do líquido. (c) Qual a taxa de variação da profundidade do líquido quando o nível está a 8 cm de profundidade? Solução L.M.C / 2009 54 (a) O volume do cone é expresso por hrV 2 3 1 pi= É muito proveitoso expressar V como uma função de h. Em ordem para eliminar r usamos o fato que os triângulos VCD e VAB são semelhantes. 4 416 h r rh =⇒= Daí, hhV 2 43 1 = pi 48 3hV pi= Derivando em relação ao tempo t, obtemos dt dhh dt dV ⋅⋅= 2 16 pi Observe que aplicamos a regra da cadeia, uma vez que ( )tVV = e ( )thh = . Queremos saber quanto vale dt dh . É dado no problema que 2−= dt dV . Portanto, dt dhh ⋅⋅=− 2 16 2 pi 2 32 hdt dh pi − = Assim, concluímos que a profundidade do líquido não decresce a uma taxa constante. (b) respondido no item (a) (c) Quando 8=y , pipi 2 1 8 32 2 −=−=dt dh cm/min 2 1 pi −= dt dh L.M.C / 2009 55 Exemplo: Seja V o volume de um cilindro tendo altura h e raio r. Suponha que h e r variam com o tempo. (a) Como estão relacionados dt dV , dt dh e dt dr ? (b) Em certo instante, h = 6 cm e cresce a 1 cm/s, enquanto r = 10 cm e está decrescendo a 1 cm/s. Com que rapidez está variando o volume naquele instante? (a) O volume do cilindro é expresso por hrV 2pi= Derivando em relação ao tempo t, obtemos +⋅= dt dh rh dt dr r dt dV 22pi Observe que aplicamos a regra da cadeia, uma vez que ( )tVV = , ( )trr = e ( )thh = . Queremos saber quanto vale dt dV quando h = 6 e r = 10 . É dado no problema que 1−= dt dr e 1= dt dh . Portanto, [ ] pipi 2011006)1(102 −=⋅+⋅−⋅⋅⋅= dt dV cm³/s 20pi−= dt dV O sinal negativo indica que o volume está diminuindo. L.M.C / 2009 56 Teorema do valor médio Seja )(xf uma função diferenciável no intervalo ( )ba, . Assuma que )(xf é contínua em [ ]ba, . Então existe ( )bax ,∈∗ tal que ab afbf xf − − =′ ∗ )()()( ou ( )abxfafbf −⋅′+= ∗ )()()( Interpretação Geométrica A inclinação da reta secante que passa pelos pontos A e B é ab afbf mAB − − = )()( Que é a mesma expressão usada para calcular )( ∗′ xf . Portanto, há no mínimo um ponto ( ))(, ∗∗ xfxP sobre o gráfico onde a inclinação da reta tangente é igual a inclinação da reta secante AB. Em outras palavras, há um ponto P onde a reta tangente é paralela à reta secante AB. Exemplo: Se um objeto move-se em uma linha reta com )(tfs = , então, existe um instante onde a velocidade instantânea se iguala à velocidade média de um dado intervalo de tempo. Exemplo: Suponha que 3)0( −=f e 5)( ≤′ xf para todos os valores de x. Quão grande )2(f pode ser? Aplicando o Teorema do Valor médio para o intervalo [0, 2], ( )02)()0()2( −⋅′+= ∗xfff )(23)2( ∗′⋅+−= xff L.M.C / 2009 57 Nos foi dado que 5)( ≤′ xf para todo x; assim multiplicando ambos os lados por 2, 10)(2 ≤′ xf Daí, 7103)(23)2( =+−≤′⋅+−= ∗xff O maior valor possível para )2(f é 7. Revisão: funções crescente e decrescente f é uma função (a) crescente se )()( 2121 xfxfxx <⇒< (b) decrescente se )()( 2121 xfxfxx >⇒< L.M.C / 2009 58 Derivada – crescimento – decréscimo Teorema: (a) Se 0)( >′ xf para todo x em [ ]ba, , então f é crescente em [ ]ba, . (b) Se 0)( <′ xf para todo x em [ ]ba, , então f é decrescente em [ ]ba, . Demonstração do item (a) Assuma que 0)( >′ xf [ ]bax ,∈∀ Seja 1x e 2x ( )ba,∈ com 21 xx < Pelo teorema do valor médio existe ( )21 , xxx ∈∗ tal que ( )1212 )()()( xxxfxfxf −⋅′+= ∗ ( )1212 )()()( xxxfxfxf −⋅′=− ∗ ( ) 43421321 0 12 0 12 )()()( >> ∗ −⋅′=− xxxfxfxf 0)()( 12 >− xfxf )()( 12 xfxf > (c.q.d.) Demonstração do item (b) Análoga a demonstração do item (a). Interpretação geométrica (b) (b) L.M.C / 2009 59 Exemplos: Ache os intervalos nos quais as seguintes funções são crescente ou decrescente. (a) 34)( 2 +−= xxxf f crescente ⇔ 0)( >′ xf f decrescente ⇔ 0)( <′ xf 42)( −=′ xxf Crescente: ⇒>−⇒>′ 0420)( xxf 2>x Decrescente: ⇒<−⇒<′ 0420)( xxf 2<x (b) 3)( xxf = 03)( 2 >=′ xxf Daí, ==′ ≠>′ 0 se 0)( 0 se 0)( xxf xxf L.M.C / 2009 60 (c) 34 4)( xxxf −= 23 124)( xxxf −=′ )3(4)( 2 −=′ xxxf Fazendo o estudo dos sinais de )(xf ′ , temos Intervalo de crescimento de f � ( )∞+,3 Intervalos de decrescimento de f � ( )3,∞− L.M.C / 2009 61 Concavidade Teorema: (a) f é côncava para cima se 0>′′f (b) f é côncava para baixo se 0<′′f Interpretação geométrica (a) Se 0)( >′′ oxf , então f ′ é crescente nas vizinhanças de ox ; portanto, as tangentes ao gráfico têm inclinação crescente e isto só é possível quando a concavidade é positiva. (b) Se 0)( <′′ oxf , então f ′ é decrescente nas vizinhanças de ox ; portanto, as tangentes ao gráfico têm inclinação decrescente e isto só é possível quando a concavidade é negativa. OBS: Se o gráfico de f estiver acima de todas as suas tangentes nas vizinhanças de ox então ele é chamado de côncavo pra cima. Se o gráfico de f estiver abaixo de todas as suas tangentes nas vizinhanças de ox , é chamado de côncavo para baixo. L.M.C / 2009 62 Exemplo: Determine os intervalos onde f tem a concavidade para cima e para baixo. (a) 34)( 2 +−= xxxf 42)( −=′ xxf 02)( >=′′ xf , ou seja, f é côncava para cima em todos os pontos. (b) 3)( xxf = 23)( xxf =′ xxf 6)( =′′ →<⇒<⇒<′′ →>⇒>⇒>′′ baixo para côncava 0060)( cima para côncava 0060)( xxxf xxxf L.M.C / 2009 63 (c) 23 3)( xxxf −= xxxf 63)( 2 −=′ )1(666)( −=−=′′ xxxf Fazendo o estudo do sinal de f ′′ Construindo o gráfico de f, obtemos Pontos de inflexão xo é ponto de inflexão quando xo é o ponto em que a concavidade “troca de sinal”. L.M.C / 2009 64 Exemplo: Ache os pontos de inflexão das funções dadas. (a) xexxf −⋅=)( ( )xeexexf xxx −=−⋅⋅+=′ −−− 1)1()()2()1()1()( xeexexf xxx −−=−+−−=′′ −−− Queremos pontos xo tais que f ′′ mude de sinal em torno de xo. Condição necessária (mas não SUFICIENTE!!) � 0)( =′′ xf 2020)2( =⇒=−⇒=−− − xxxe x Fazendo o estudo do sinal da função )2()( xexf x −−=′′ − , temos: Como f ′′ muda de sinal em torno de x = 2, o ponto x = 2 é ponto de inflexão. OBS: Note que para 2>x , temos que 0)( >′′ xf , portanto, f possui concavidade para cima. E para 2<x , temos que 0)( <′′ xf e f possui concavidade para baixo. (b) )sin()( xxf = )cos()( xxf =′ )sin()( xxf −=′′ Queremos pontos xo tais que f ′′ mude de sinal em torno de xo. Condição necessária (mas não SUFICIENTE!!) � 0)( =′′ xf pipi ⋅+=⇒=− kxx 0)sin( Fazendo o estudo do sinal da função )sin()( xxf −=′′ , temos: L.M.C / 2009 65 Como f ′′ muda de sinal em torno de pipi ⋅+= kx , os pontos pipi ⋅+= kx são pontos de inflexão. OBS: Note que para pi<< x0 , temos que 0)( <′′ xf , portanto, f possui concavidade para baixo. E para pipi 2<< x , temos que 0)( >′′ xf , portanto, f possui concavidade para cima. (c) 4)( xxf = 34)( xxf =′ 012)( 2 ≥=′′ xxf Queremos pontos xo tais que f ′′ mude de sinal em torno de xo. Condição necessária (mas não SUFICIENTE!!) � 0)( =′′ xf 0012 2 =⇒= xx Fazendo o estudo do sinal da função 212)( xxf =′′ , temos: Como f ′′ NÃO muda de sinal em torno de 0=x , o ponto 0=x NÃO é ponto de inflexão. Observe o gráfico de f. OBS: Se 0)( =′′ oxf e 0)( ≠′′′ oxf , então ox é um ponto de inflexão. Porém, se 0)()( =′′′=′′ oo xfxf nada podemos afirmar. L.M.C / 2009 66 Máximos e mínimos Seja IRIf →: uma função. Ixo ∈ é ponto de máximo (mínimo) relativo ou local, se existe intervalo IU ⊂ e contendo ox tal que )()( oxfxf ≤ ( ))()( oxfxf ≥ para todo Ux ∈ . Definição de ponto crítico: Um ponto crítico de uma função é um ponto ox onde 0)( =′ oxf ou )( oxf ′ não existe. 0)( =′ oxf 0)( =′ oxf )( oxf ′ não existe Teorema: Se ox é ponto de extremo relativo, isto é, máximo ou mínimo local, então ox é ponto crítico. OBS: (a) (b) Os pontos ox em (a) e (b) são pontos de máximo e mínimo local onde a há perda de diferenciabilidade. L.M.C / 2009 67 (c) (d) Os pontos ox em (c) de (d) são pontos de máximo e mínimo local onde 0)( =′ oxf . (e) !! existe não )0( 3 1)()( 3/231 fxxfxxf ′⇒=′⇒= O ponto ox em (e) é ponto onde há perda de diferenciabilidade e não é ponto de máximo ou mínimo. (f) O ponto ox em (f) é ponto onde 0)( =′ oxf e não é ponto de máximo ou mínimo. L.M.C / 2009 68 Teste da derivada primeira Sejam f uma função contínua e ox um ponto crítico de f. (a) Se 0)( >′ xf à esquerda de ox e 0)( <′ xf à direita de ox � ox é ponto de máximo. (b) Se 0)( <′ xf à esquerda de ox e 0)( >′ xf à direita de ox � ox é ponto de mínimo. (c) Se )(xf ′ não muda de sinal em torno de ox � ox não é ponto de máximo nem de mínimo. Exemplo: Encontre os pontos de máximo e de mínimo de 35325)( xxxf −= . ( )xxxxxf −=−=′ −− 2 3 5 3 5 3 10)( 313231 ( ) 31 2 3 5)( x x xf −=′ Achar os pontos críticos (ou seja, achar os candidatos a serem pontos de máximo ou de mínimo): 321 0)( 1 1 2 =′ = xf x 321 definida está não )( 2 2 0 xf x ′ = Estudando a variação do sinal de f ′ , obtemos L.M.C / 2009 69 Daí, usando o teste da primeira derivada, concluímos que: 21 =x é ponto de máximo 02 =x é ponto de mínimo Observe o esboço do gráfico de f Teste da derivada segunda Seja ox tal que 0)( =′ oxf e )( oxf ′′ exista. (a) Se 0)( >′′ oxf , ox é ponto de mínimo local. (b) Se 0)( <′′ oxf , ox é ponto de máximo local. (c) Se 0)( =′′ oxf , nada podemos afirmar. Exemplo: Encontre os pontos de máximo e de mínimo de 24 6)( xxxf −= )3(4124)( 23 −=−=′ xxxxxf Para = = −= =−⇒=′ 3 0 3 0)3(40)( 3 2 1 2 x x x xxxf 1212)( 2 −=′′ xxf 11 02412312)(3 xxfx ⇒>=−⋅=′′⇒−= é ponto de mínimo. L.M.C / 2009 70 22 01212012)(0 xxfx ⇒<−=−⋅=′′⇒= é ponto de máximo. 33 02412312)(3 xxfx ⇒>=−⋅=′′⇒= é ponto de mínimo. Observe o esboço do gráfico de f Critério geral para pesquisar extremantes Seja f uma função derivável com derivadas sucessivas também deriváveis em ] [baI ,= . Seja Ixo ∈ tal que ( ) ( ) 0)( e 0)()()( 1 ≠===′′=′ − ononoo xfxfxfxf K Nestas condições, temos: Se n é par e ( ) 0)( <on xf , então ox é ponto de máximo local de f. Se n é par e ( ) 0)( >on xf , então ox é ponto de mínimo local de f. Se n é ímpar, então ox não é ponto de máximo local nem de mínimo local de f. L.M.C / 2009 71 Análise de funções Propriedades dos gráficos: 1) Domínio da função. 2) Interceptos em x e y. 3) Intervalos de crescimento e decrescimento. 4) Concavidade e pontos de inflexão. 5) Extremos relativos 6) Assíntotas horizontais e verticais. 7) Esboço do gráfico. Exemplo: Esboce o gráfico 1 2 2 2 − = x xy . 1) A função não está definida pra 1±=x . 2) Interceptos em x e y. Em x ⇒= − ⇒=⇒ 0 1 20 2 2 x xy 0=x Em y ⇒= − ⋅ =⇒=⇒ 0 10 02)0(0 2 2 yx 0=y 3) Intervalos de crescimento e decrescimento. Queremos estudar o sinal de y′ 2222 22 )1( 4 )1( )2(2)1(4 − − = − ⋅−−⋅ =′ x x x xxxxy O denominador é sempre positivo. Daí, para determinar a variação do sinal de y′ estudaremos o sinal do numerador x4− . Intervalo de crescimento de y � ( )0,∞− Intervalos de decrescimento de y � ( )∞+,0 L.M.C / 2009 72 4) Concavidade e pontos de inflexão Queremos estudar o sinal de y ′′ ( ) ( ) ( ) ( )32 2 42 222 1 412 1 21414 − + = − −⋅+−⋅− =′′ x x x xxxxy O numerador é sempre positivo. Daí, para determinar a variação do sinal de y ′′ estudaremos o sinal do denominador ( )32 1−x , ou melhor, 12 −x . Concavidade para cima (positiva) � ( )∞+−−∞ ,1)1,( U Concavidade para baixo (negativa) � ( )1,1− OBS: Não há ponto de inflexão, uma vez que y não está definida para 1±=x . 5) Extremos relativos Pontos críticos: 0=′y e pontos onde há perda de diferenciabilidade. 0=′y � 0)1( 4 22 = − − x x � 0=x Pelo teste da segunda derivada ( ) 010 4012)0( 32 2 < − +⋅ =′′y Daí, 0=x é máximo relativo. Perda de diferenciabilidade � pontos que anulam o denominador de 22 )1( 4 − − =′ x xy . São eles 1±=x . Entretanto, y não está definida para 1±=x , portanto, não há extremo relativo com perda de diferenciabilidade. L.M.C / 2009 73 6) Assíntotas Horizontais � Limites no infinito 2 1 2lim 2 2 = − ∞→ x x x 2 1 2lim 2 2 = − −∞→ x x x Verticais � Por exemplo, limites quando x tende a pontos onde a função não está definida. ∞= − +→ 1 2lim 2 2 1 x x x −∞= − −→ 1 2lim 2 2 1 x x x −∞= − + −→ 1 2lim 2 2 1 x x x ∞= − − −→ 1 2lim 2 2 1 x x x 7) Esboço do gráfico OBS: Outro ponto importante da análise de funções é verificar a paridade dela. Lembrando que o gráfico de uma função par é simétrica em relação ao eixo y e o de uma função ímpar é simétrica à origem e pode ser obtida rotacionando a curva em 180º em torno da origem. A curva esboçada acima representa uma função par. Função par � )()( xfxf =− Função ímpar � )()( xfxf −=− L.M.C / 2009 74 Exemplo: Esboce o gráfico xxey = . 1) A função esta definida para todo x real. 2) Interceptos em x e y. Em x ⇒=⇒=⇒ 00 xxey 0=x Em y ⇒=⋅=⇒=⇒ 00)0(0 0eyx 0=y 3) Intervalos de crescimento e decrescimento. Queremos estudar o sinal de y′ )1( xexeey xxx +=+=′ Uma vez que xe é sempre positiva, a variação do sinal de y′ será determinada pelo estudo do sinal de ( )x+1 . Intervalo de crescimento de y � ( )∞+− ,1 Intervalos de decrescimento de y � ( )1, −∞− 4) Concavidade e pontos de inflexão Queremos estudar o sinal de y ′′ )2()1( xeexey xxx +=++=′′ Uma vez que xe é sempre positiva, a variação do sinal de y ′′ será determinada pelo estudo do sinal de ( )x+2 . L.M.C / 2009 75 Concavidade para cima (positiva) � ),2( ∞+− Concavidade para baixo (negativa) � ( )2, −∞− Observe que 2−=x é ponto de inflexão, uma vez que 0)2( =−′′y e há troca de sinal de y ′′ em torno de 2−=x . 5) Extremos relativos Pontos críticos: 0=′y e pontos onde há perda de diferenciabilidade. 0=′y � 0)1( =+ xe x � 1−=x Pelo teste da derivada segunda 0)1( >−′′y Daí, 1−=x é um ponto de mínimo. Não há perda de diferenciabilidade em xxey = . 6) Assíntotas Horizontais � limites no infinito ( ) ∞= ∞→ x x xelim ( ) ( ) 0limlimlim =−= = −∞→−−∞→−∞→ x xxx x x e e x xe (Regra de L’Hôpital) Verticais � não existem 7) Esboço do gráfico L.M.C / 2009 76 Exemplo: Esboce o gráfico 3431 2xxy += . 1) A função esta definida para todo x real. 2) Interceptos em x e y. Em x ⇒=⇒ 0y 02 3431 =+ xx ( ) 02131 =+ xx 0=x 2 1 −=x Em y ⇒=⇒=⇒ 0)0(0 yx 0=y 3) Intervalos de crescimento e decrescimento. Queremos estudar o sinal de y′ ( ) ( ) 32 323132 18 3 1 3 81 3 8 3 x xxxxxy +=+=+=′ −− Uma vez que o denominador é sempre positivo, o sinal de y′ será determinado pelo estudo do sinal do numerador 18 +x . Intervalo de crescimento de y � ∞+− , 8 1 Intervalos de decrescimento de y � −∞− 8 1 , 4) Concavidade e pontos de inflexão Queremos estudar o sinal de y ′′ ( ) ( ) 35 353235 14 9 2 9 412 9 8 9 2 x xxxxxy −=+−=+−=′′ −−− L.M.C / 2009 77 Concavidade para cima (positiva) � ( ) ( )∞+∪∞− ,4/10, Concavidade para baixo (negativa) � ( )4/1,0 − Observe que 4/1=x é ponto de inflexão, uma vez que 0)4/1( =′′y e há troca de sinal de y ′′ em torno de 4/1=x . Note também que 0=x é ponto de inflexão, mesmo que y ′′ seja descontínua em 0=x , y ′′ muda de sinal em torno de 0 e y é contínua em x = 0. 5) Extremos relativos Pontos críticos: 0=′y e pontos onde há perda de diferenciabilidade. 0=′y � ( ) 018 3 1 32 = + x x � 8/1−=x Pelo teste da derivada segunda 0)8/1( >−′′y Daí, 8/1−=x é um ponto de mínimo. Perda de diferenciabilidade � pontos que anulam o denominador de ( )32 183 1 x xy +=′ . Entretanto, em torno de 0=x não há mudança de sinal de y′ , logo 0=x não é ponto nem de máximo nem de mínimo. 6) Assíntotas Horizontais � limites no infinito ( ) ∞=+ ∞→ 3431 2lim xx x ( ) ∞=+ −∞→ 3431 2lim xx x Logo, não existem assíntotas horizontais. Verticais � não existem L.M.C / 2009 78 7) Esboço do gráfico Exemplo: Esboce o gráfico ( )24ln xy −= . 1) Domínio: 04 2 >− x (condição de existência de ln) Logo, o domínio da função é dado pelo intervalo ( )2,2− . 2) Interceptos em x e y. Em x ( ) 1404ln0 22 =−⇒=−⇒=⇒ xxy 3±=x Em y ⇒=⇒=⇒ )4ln()0(0 yx )4ln(=y 3) Intervalos de crescimento e decrescimento. Queremos estudar o sinal de y′ 4 2 4 2 22 − = − − =′ x x x xy L.M.C / 2009 79 Intervalo de crescimento de y � ( )0,2− Intervalos de decrescimento de y � ( )2,0 4) Concavidade e pontos de inflexão Queremos estudar o sinal de y ′′ 22 2 22 2 )4( )82( )4( )2(2)4(2 − +− = − −− =′′ x x x xxxy Note que o sinal de y ′′ é sempre negativo, logo y possui apenas concavidade para baixo. E como não há troca do sinal de y ′′ , não há ponto de inflexão. 5) Extremos relativos Pontos críticos: 0=′y e pontos onde há perda de diferenciabilidade. 0=′y � 0 4 2 2 = −x x � 0=x Pelo teste da derivada segunda 0)0( <′′y Daí, 0=x é um ponto de máximo. Não há perda de diferenciabilidade no domínio de y. 6) Assíntotas Horizontais � limites no infinito Não existem assíntotas horizontais. L.M.C / 2009 80 Verticais � Por exemplo, limites quando x tende a pontos onde a função não está definida. ( )[ ] −∞=− −→ 2 2 4lnlim x x ( )[ ] −∞=− + −→ 2 2 4lnlim x x 7) Esboço do gráfico Exemplo: Esboce o gráfico )2sin()cos(2 xxy += para [ ]pi2,0∈x . 1) Domínio � [ ]pi2,0∈x 2) Interceptos em x e y. Em x 0)2sin()cos(20 =+⇒=⇒ xxy [ ] [ ] 0)sin(1)cos( 0)sin(1)cos(2 0)cos()sin(2)cos(2 =+ =+ =+ xx xx xxx 0)cos( =x 0)sin(1 =+ x 2 pi =x ou 2 3pi =x 2 3pi =x Logo, os interceptos em x são em 2 pi =x e 2 3pi =x Em y ⇒⋅+=⇒=⇒ )02sin()0cos(20 yx 2=y L.M.C / 2009 81 3) Intervalos de crescimento e decrescimento. Queremos estudar o sinal de y′ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2/1)sin(1)sin(4 2/1)sin(1)sin()2(2 1)sin()(sin22 )(sin212)sin(2 )2cos(2)sin(2 2 2 −⋅−−⋅=′ −⋅+⋅−⋅=′ +−−=′ −+−=′ +−=′ xxy xxy xxy xxy xxy Os valores de x que anulam y′ são as raízes das equações: 01)sin( =−− x 0 2 1)sin( =−x 1)sin( −=x 2 1)sin( =x 2 3pi =x 6 pi =x ; 6 5pi =x Intervalo de crescimento de y � ∪ pi pipi 2, 6 5 6 ,0 Intervalos de decrescimento de y � 6 5 , 6 pipi 4) Concavidade e pontos de inflexão
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