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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Me´todos Determin´ısticos II 1o Semestre de 2017 Gabarito do EP6 Questa˜o 1: Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es: a) h(x) = 5x+4 x2+3x+2 c) m(x) = ln(x2 − 9) b) g(t) = √ t−1 3√t d) g(t) = 1 1−et . Soluc¸a˜o: a) Para que h(x) = 5x+4 x2+3x+2 esteja bem definida basta que o denominador seja diferente de zero, logo x2 + 3x+ 2 6= 0⇔ (x+ 1)(x+ 2) = x2 + 3x+ 2 6= 0⇔ x 6= −1 e x 6= −2. b) Para a func¸a˜o g(t) esteja bem-definida temos que ter t− 1 ≥ 0 e 3√t 6= 0⇔ t ≥ 1 e t 6= 0, enta˜o basta exigirmos t ≥ 1. c) Para que m(x) esteja bem definida temos que x2 − 9 > 0⇔ (x− 3)(x+ 3) > 0. E por Fazer a ana´lise de sinal obtemos x < −3 ou x > 3. Lembrando que para fazer a ana´lise do sinal precisamos desenhar treˆs linhas paralelas na primeira marcamos os pontos menores que −3 com sinal negativo e maiores que −3 com sinal positivo; na segunda linha marcamos os pontos menores de 3 com o sinal negativo e maiores que 3 com o sinal positivo; e na terceira linha marcamos os pontos −3 e 3 e fazemos a ana´lise de sinal ++ = + = −− e +− = − = −+ e obtemos que os intervalos que o sinal e´ positivo sa˜o quando x < −3 ou x > 3. c) Para que g(t) seja definida temos 1− et 6= 0⇔ et 6= 1⇔ t 6= 0. Enta˜o esta func¸a˜o esta bem definida desde que t 6= 0. 1 Questa˜o 2: Esboce o gra´fico das func¸o˜es a seguir usando translac¸o˜es e/ou reflexo˜es: a) y = 1x−4 c) y = 4− |x| b) y = √ x− 3 d) y = |x2 − 3x+ 2| Soluc¸a˜o: a) Em primeiro lugar gostaria de pedir desculpas, pois este exerc´ıcio foi enunciado incorretamente. Queria perguntar y = 1x−4 sem o log3 x. Vou resolver ele desta forma mais simples. Figure 1: Gra´fico de y = 1x Figure 2: Gra´fico de y = 1x−4 b) Figure 3: Gra´fico de y = √ x Figure 4: Gra´fico de y = √ x− 3 c) Figure 5: Gra´fico de y = |x| Figure 6: Multiplicando por −1 tem-se y = 1x−4 Figure 7: Transladando 4 unidades pra cima y = 4− |x| 2 d) Para a func¸a˜o y = |x2 − 3x+ 2|, como x2 − 3x+ 2 = (x− 2)(x− 1), segue e´ que e´ uma equac¸a˜o do segundo grau com o coeficiente que acompanha x2 positivo e ra´ızes x = 1 e x = 2. Figure 8: Gra´fico de y = x2 − 3x+ 2 Figure 9: Gra´fico de y = y = |x2 − 3x+ 2| Questa˜o 3: Para cada par de func¸o˜es verifique que im(f) ⊂ D(g) e determine a composta h(x) = g(f(x)) a) Se g(x) = x+1x−2 e f(x) = x 2 + 3 c) Se g(x) = x+1x−2 e f(x) = 2x+1 x−1 b) Se g(x) = x+1x−1 e f(x) = x x+1 d) Se g(x) = 2 x−2 e f(x) = x+ 1, x 6= 1. Soluc¸a˜o: a) Observe que im(f) = {x ∈ R : x ≥ 3} ⊂ D(g) = {x ∈ R : x 6= 2}. h(x) = g(f(x)) = f(x) + 1 f(x)− 2 = x2 + 4 x2 + 1 . b) Como im(f) = {x ∈ R : x 6= 1} ⊂ D(g) = {x ∈ R : x 6= 1}. h(x) = g(f(x)) = f(x) + 1 f(x)− 1 = x x+1 + 1 x x+1 − 1 = −2x− 1. c) Por u´ltimo como im(f) = {x ∈ R : x 6= 2} ⊂ D(g) = {x ∈ R : x 6= 2}. h(x) = g(f(x)) = f(x) + 1 f(x)− 2 = 2x+1 x−1 + 1 2x+1 x−1 − 2 = x. d) Como im(f) = {x ∈ R : x 6= 2} ⊂ D(g) = {x ∈ R : x 6= 2}. h(x) = g(f(x)) = 2 f(x)− 2 = 2 (x+ 1)− 2 = 2 x− 1 . Questa˜o 4: Determine f de tal forma que g(f(x)) = x para todo x ∈ D(f), sendo g dada por a) g(x) = 1x c) g(x) = x 2 − 2x b) g(x) = 2+xx+1 d) g(x) = 2 + 3 x+1 . Soluc¸a˜o: a) Da equac¸a˜o y = 1x troquemos o x pelo y e vamos tentar isolar o y, enta˜o x = 1 y ⇔ y = 1 x . Portanto, a inversa de g(x) = 1x e´ f(x) = 1 x . 3 b) Da equac¸a˜o y = 2+xx+1 troquemos o x pelo y e vamos tentar isolar o y, enta˜o x = 2 + y y + 1 ⇔ xy + x = 2 + y ⇔ xy − y = 2− x⇔ y = 2− x x− 1 . Portanto, f(x) = 2−xx−1 . c) Da equac¸a˜o y = x2 − 2x troquemos o x pelo y e vamos tentar isolar o y, enta˜o x = y2 − 2y ⇔ y2 − 2y − x = 0resolvendo a equac¸a˜o do 2o grau em y temos y = 1±√1 + x E portanto, f(x) pode ser f(x) = 1 + √ 1 + x se x ≥ −1 ou f(x) = 1−√1 + x se x ≥ −1. d) Como 2+ 3x+1 = 2x+5 x+1 . Considere a equac¸a˜o y = 2x+5 x+1 troquemos o x pelo y e vamos tentar isolar o y, enta˜o x = 2y + 5 y + 1 ⇔ xy + x = 2y + 5⇔ xy − 2y = 5− x⇔ y = 5− x x− 2 . Portanto, f(x) = 5−xx−2 . Questa˜o 5: Para a func¸a˜o g, cujo o gra´fico e´ dado, determine os seguintes limites: a) lim x→∞ g(x) d) limx→3 g(x) b) lim x→−∞ g(x) e) limx→0 g(x) c) lim x→−2+ g(x) f) Determine as ass´ıntotas. Gra´fico de g(x). Soluc¸a˜o: Por observar o gra´fico temos que: a) lim x→∞ g(x) = 2 d) limx→3 g(x) =∞ b) lim x→−∞ g(x)− 2 e) limx→0 g(x) = −∞ c) lim x→−2+ g(x) = −∞ f) Quanto as ass´ıntotas temos; ass´ıntota horizontal: y = −2 e y = 2 e ass´ıntota vertical: x = −2, x = 0 e x = 3. Questa˜o 6: Calcule os limites: 4 a) lim x→2 2x2 + 1 x2 + 6x− 4 d) limx→+∞ [√ 4x2 + x+ 1− 2x ] b) lim x→1 √ 5x2 − 4 (3x− 5)4 e) limx→+∞ 1− 2x 1− 3x c) lim x→3 (x− 2)3 − 1 x− 3 f) Encontre as ass´ıntotas de f(x) = x x2−x−2 . Soluc¸a˜o: a) como 22 + 12− 4 = 12 6= 0 temos que lim x→2 2x2 + 1 x2 + 6x− 4 = 2× 22 + 1 22 + 12− 4 = 9 12 = 3 4 . b) Como (3− 5)4 6= 0 temos que lim x→1 √ 5x2 − 4 (3x− 5)4 = √ 5× 12 − 4 (3− 5)4 = 1 16 . c) Fazendo as contas temos lim x→3 (x− 2)3 − 1 x− 3 = limx→3 x3 − 6x2 + 12x− 9 x− 3 = limx→3 (x2 − 3x+ 3)(x− 3) x− 3 = 3. d) Temos uma indeterminac¸a˜o ∞−∞ enta˜o multiplicando e dividindo pelo conjugado temos lim x→+∞ (√ 4x2 + x+ 1− 2x )(√4x2 + x+ 1 + 2x√ 4x2 + x+ 1 + 2x ) = lim x→+∞ x+ 1√ 4x2 + x+ 1 + 2x = lim x→+∞ x x 1 + 1/x√ 4 + 1/x+ 1/x2 + 2 = 1 4 . e) Temos uma indeterminac¸a˜o do tipo −∞−∞ , mas fazendo lim x→+∞ 1− 2x 1− 3x = limx→+∞ 3x 3x ( 1/3x − (23)x 1/3x − 1 ) = 0 −1 = 0. f) Para analisar as ass´ıntotas de f(x) = x x2−x−2 veja que x 2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) e temos que calcular os seguintes 6 limites lim x→2− x x2 − x− 2 = −∞ limx→−1+ x x2 − x− 2 = +∞ lim x→2+ x x2 − x− 2 = +∞ limx→+∞ x x2 − x− 2 = 0 lim x→−1− x x2 − x− 2 = −∞ limx→−∞ x x2 − x− 2 = 0. Portanto, as ass´ıntotas verticais sa˜o x = −1 e x = 2 e a ass´ıntota horizontal e´ 0. Questa˜o 7: Considere as func¸o˜es f e g definidas por f(x) = x+ 1 e g(x) = x2 − 2 se x ≤ −1 x se |x| < 1 2− x2 se x ≥ 1 . Determine: a) Determine (g ◦ f) (−3); 5 b) A lei de definic¸a˜o de g ◦ f . Soluc¸a˜o: a) (g ◦ f) (−3) = g(f(−3)) = g(−2) = 2. b) Precisamos determinar os valores de x tais que x+ 1 ≤ −1 e quando x+ 1 ≥ 1. x+ 1 ≤ −1⇐⇒ x ≤ −2 e x+ 1 ≥ 1⇐⇒ x ≥ 0. Logo, f(g(x)) == (x+ 1)2 − 2 se x ≤ −2 x+ 1 se −2 < x < 0 2− (x+ 1)2 se x ≥ 0 Questa˜o 8: a) Considere g(x) = logx+2(x 2 − 3x− 4). Determine o domı´nio da func¸a˜o g(x). b) Sabendo que logx a = 3, logx b = 5 e logx c = 4, calcule logx ( a4 b3c ) . Soluc¸a˜o: a) Precisamos que x+2 > 0 e que x+2 6= 1, e tambe´m, que x2−3x−4 > 0. A primeira parte devemos ter que x > −2 e x 6= −1. A outra condic¸a˜o, segue da observac¸a˜o: x2−3x−4 = (x+1)(x−4) > 0, desde que, x < −1 ou x > 4. Todas essas condic¸o˜es juntas obtemos: {x ∈ R : −2 < x < −1 e x > 4}. b) logx ( a4 b3c ) = logx(a 4)− logx(b3c) = logx(a 4)− (logx(b3) + logx(c)) = 4 logx(a)− (3 logx(b) + logx(c)) = 4× 3− (3× 5 + 4) = 12− 19 = −7 Questa˜o 9 Calcule os seguintes limites: a) lim x→4 2−√x 2 √ x(x− 4) b) lim x→1 x3 − 3x+ 2 x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2 Soluc¸a˜o: a) lim x→4 2−√x 2 √ x(x− 4) = limx→4 (2−√x)(2 +√x) 2 √ x(x− 4)(2 +√x) = lim x→4 4− x 2 √ x(x− 4)(2 +√x) = −1 2×√4(2 +√4) = − 1 16 . b) Observe que se avaliarmos os polinoˆmios x3 − 3x+ 2 e x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2 em x = 1, ambos se anulam. Logo x− 1 divide a ambos. Dividindo obtemos: x2 + x− 2 que tambe´mpossui x = 1 como 6 raiz e dividindo x4 − 3x3 + x2 + 3x − 2 obtemos x3 − 3x + 2 que tambe´m possui x = 1 como raiz. Portanto, podemos dividir ambos por (x− 1)2 = x2 − 2x+ 1 e obtemos lim x→1 x3 − 3x+ 2 x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2 = limx→1 (x+ 2)(x2 − 2x+ 1) (x2 − x− 2)(x2 − 2x+ 1) = lim x→1 (x+ 2) (x2 − x− 2) = 1 + 2 1− 1− 2 = 3 −2 = − 3 2 . 7
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