Lista de Cálculo Resolvida Prof Glauber

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SOLUTION DA LISTA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I-
PROFESSOR GLAUBER. -LIMITES
Tentamos fazer com que a função chegue o mais próximo possível de
sen (u)
u
para aplicar a regra do limite fundamental. Se:
lim
x→ 0
sen (3 x)
2 x
logo, temos que fazr o termo 3X aparecer no denominador.
lim
x→0
sen (3 x)
2 x
. 3
3
=3
2
lim
x→0
' sen (3 x)
3 x
'=3
2
⋅(1)
mesma lógica do exercicio da letra “a.”
lim
x→ 0
sen (2 x)
x
. 2
2
=2 lim
x→0
' sen (2x )
2x
'=2⋅(1)=2
tg(2x )= sin 2 x
cos2 x
.: lim
x→0
tg (2x )
3 x
=lim
x→0
sen (2x )
3 x . cos2 x
=lim
x→0
1
cos (2 x)
. lim
x→0
sen (2 x)
3 x
lim
x→0
1
cos (2x )
=1
lim
x→0
sen (2 x)
3 x
.2
2
=2
3
. lim
x→0
sen (2 x)
2 x
=2
3
Sabemos que:
sen²(x)+cos²(x)=1 , sen²(x)=1-cos²(x)
lim
x→0
1−cos2(x)
x2.(1+cos (x))
=lim
x→0
sen2(x)
x2(1+cos (x))
=lim
x→0
sen (x) . sen(x )
x . x (1+cos(x ))
= lim
x→0
sen(x )
x
. lim
x→0
sen( x)
x
. lim
x→0
1
1+cos(x )
=1
2
lim
x→0
1−cos x
x
. (1+cos(x ))
(1+cos(x ))
=lim
x→0
1−cos2(x)
x (1+cos (x))
=lim
x→0
sen2(x )
x (1+cos (x))
lim
x→0
sen (x) . sen (x)
x (1+cos (x))
=lim
x→ 0
sen(x)
x
. lim
x→0
sen(x)
(1+cos(x ))
=1 . 0
1+1
=0
lim
x→0
1−cos2(x)
x sen (x)
. 1+cos(x )
1+cos(x )
=lim
x→0
sen2(x)
x sen (x) .(1+cos x )
=lim
x→0
sen (x)
x (1+cos x )
=lim
x→0
sen (x)
x
. lim
x→ 0
1
1+cos x
=1
2
ERRO DE DIGITAÇÃO na lista:é cos((a+b)/2) ao invés de (a-b)/2
 sen (x)−sen (a)=2 sen( x−a
2
). cos ( x+a
2
)
lim
x→ a
2 sen ( x−a
2
) . cos( x+a
2
)
x−a .
x−a
2
x−a
2
=lim
x←a
(x−a)sen( x−a
2
). cos ( x+a
2
)
(x−a) x−a2
=lim
x←a
x−a
x−a . limx←a
sen( x−a
2
)
x−a
2
. lim
x← a
cos( x+a2 )
lim
x←a
x−a
x−a . limx←a
sen ( x−a
2
)
x−a
2
. lim
x← a
cos( x+a2 )=1.1. cos (
(a+a)
2 )=cos (a)
x²+1=u, x=√u−1 . Se x=0,u=1
Sabendo que sen(u) é limitada em 1 e -1 e se u=1,, logo:
lim
u←1
√u−1. sen(u)=0
se sen(x) é limitado em 1 e -1, cos(x), é limitado entre sen(1) e – sen(1), e 
x²-1=0 quando x=1, logo o limite vale 0, pela regra do Sanduiche.
sen(x) é limitada, e 5/x³ tende a zero quando x tende a infinito, logo o limite 
vale 0, pela regra do sanduiche
 
Já sabemos que cos(x) é limitado em ±1∀ x∈ℝ , Basta então saber o limite
de (x
2−1)2
x−1
lim
x←−1
(x2−1)2
x−1
= lim
x←−1
(x−1)(x+1)
x−1
= lim
x←−1
(x+1)=0
logo, o limite vale zero pelo teorema do sanduiche
lim
x←∞
3−2x
5x+1=limx←∞
−(2 x−3)
5 x+1 =limx←∞
−x (2−3
x
)
x(5+ 1x )
=lim
x←∞
−(2−3
x
)
(5+ 1x )
=
−2
5
OU Pela regra do desprezo, considerando apenas os coeficientes de maior 
grau quando x tende a infinito:(SEMPRE dá certo em polinômios)
lim
x←∞
3−2x
5x+1
=lim
x←∞
−(2 x)
(5 x )
=−2
5
lim
x←∞
4 x−3
3 x+2=limx←∞
x (4−3
x
)
x (3+ 2x )
=lim
x←∞
(4−3
x
)
(3+ 2x )
=
4
3
OU Pela regra do desprezo, considerando apenas os coeficientes de maior 
grau quando x tende a infinito:(SEMPRE dá certo em polinômios)
lim
x←∞
4 x−3
3 x+2
=lim
x←∞
4 x
3x
= 4
3
lim
x←∞
x2−3 x+4
3 x3+5 x2−6 x+2
=lim
x←∞
x2(1−3
x
+ 4
x2
)
x2(3 x+5−6
x
+ 2
x2
)
=lim
x←∞
(1−3
x
+ 4
x2
)
(3 x+5−6
x
+ 2
x2
)
= 1
3(∞)
=0
OU Pela regra do desprezo, considerando apenas os coeficientes de maior 
grau quando x tende a infinito:(SEMPRE dá certo em polinômios)
lim
x←∞
x2−3 x+4
3 x3+5 x2−6 x+2
= lim
x←∞
x2
3 x3
=lim
x←∞
1
3 x
=0
Pela Regra do Desprezo
lim
x←∞
√ x2+x+1
x+1
=lim
x←∞
√ x2
x
=1
só trocar o sinal, pois a função do denominador é impar e tenderá a menos 
infnito no 3° quadrante. Já a do numerador tende ao +ininito no 2° 
quadrante. (+/- = -)
Pela Regra do Desprezo
lim
x←−∞
√x2+x+1
x+1
=lim
x←∞
√x2
x
=1 positivo pois - / - = +
só subistituir
só substituir
só substituir
só substituir
só substituir
só substituir
Pela Regra do Desprezo
lim
x←∞
x2
x √x+1
=lim
x←∞
2 x2
x3 /2
= lim
x←∞
2√x=∞
só substituir
lim
x←∞
2−x=lim
x←∞
1
2x
= lim
x←∞
1
∞=0
lim
x←−∞
2−x= lim
x←−∞
1
2x
=lim
x←∞
1
2(−∞)
=2∞=∞
lim
x←∞
2x+2−x=∞+0=∞
lim
x←−∞
2x+2−x=∞+∞=∞
lim
x→∞
1
ex
=0∧sen(x )é limitada ,logo o limite é 0.
lim
x→∞
ln ( x
2−1
x−1
)= lim
x→∞
ln ( (x−1)(x+1)
x−1
)=lim
x→∞
ln (x+1)=ln (∞)=∞
lim
x→ 1
ln( x
2−1
x−1
)=lim
x→1
ln((x−1)(x+1)
x−1
)=lim
x→1
ln(x+1)=ln(2)
lim
x→∞
ln(2x)−ln(3x+1)=lim
x→∞
ln (2
x)
(3x+1)
=lim
x→∞
x . ln (2)
(3x+1)
=∞ .( ln(0))=∞ .(−∞)=−∞
lim
x→∞
(1+ 1
x
)
2 x
=lim
x→∞
((1+ 1
x
)
x
)
2
=e2
se 3/x=u, x=3/u
lim
x→∞
(1+ 3
x
)
x
=lim
u→ 0
(1+u)
3
u=lim
u→ 0
((1+u)
1
u )3=e3
se 2/x=u , x=2/u
lim
x→∞
(1+ 2
x
)
3 x
=lim
u→0
(1+u)
6
u=lim
u→0
((1+u)
1
u )6=e6
se u=-1/x,x=-1/u
lim
x→∞
(1−1
x
)
x
=lim
u→0
(1+u)
−1
u =lim
u→0
((1+u)
1
u )−1=1
e
se u=-3/x,x=-3/u
lim
x→∞
(1−1
x
)
x
= lim
u→0
(1+u)
−6
u = lim
u→0
((1+u)
1
u)−6= 1
e6
u=x-3, x=u+3
lim
u→∞
(u+7
u
)
u+3
=lim
u→∞
(u+7
u
)
u
.(u+7
u
)
3
lim
u→∞
(u+7
u
)
3
=1( teoremadodesprezo)
lim
u→∞
(u+7
u
)
u
= lim
u→∞
(1+ 7
u
)
u
7/u=k , u=7/k
lim
u→∞
(u+7
u
)
u
= lim
k→0
(1+k )
7
k=e7