Gab_Av_Parc_P1_Set_2013

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AVALIAÇÃO PARCIAL Nº 1 – SETEMBRO 2013-09-17 
GABARITO 
 
1ª Questão: 
f x( ) = x . 3x − 5( )⇒ f x( ) = 3x2 − 5x 
f 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 3 . 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
− 5 . 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⇒ f 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 3
4
− 5
2
⇒ f 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − 7
4
 ⇒ P = 1
2
 ; − 7
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
mtg = limΔx → 0
f x +Δx ( ) − f x( )
Δx 
⇒ mtg = limΔx → 0
3 x +Δx ( )2 − 5 . x + Δx( ) − 3x2 − 5x( )
Δx 
⇒ 
mtg = limΔx → 0
3 x2 + 2 . x . Δx +Δx2 ( ) − 5x − 5Δx − 3x2 + 5x
Δx 
⇒ mtg = limΔx → 0
3x2 + 6 . x . Δx +3Δx2 − 5x − 5Δx − 3x2 + 5x
Δx 
⇒ 
mtg = limΔx → 0
6 . x . Δx +3Δx2 − 5Δx
Δx 
⇒ mtg = limΔx → 0
Δx 6 . x +3Δx − 5( )
Δx 
⇒ mtg = limΔx → 0 6 . x +3Δx − 5( )
 
⇒ mtg = 6x − 5
 
⇒ 
mtg
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 6 . 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− 5
 
⇒ mtg
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 3 − 5
 
⇒ mtg
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − 2
 
y − yP = mtg . x − xP( )
 
⇒ y − − 7
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − 2 . x − 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
⇒ y + 7
4
= − 2x +1
 
⇒ 4y + 7 = − 8x + 4
 
⇒ 8x − 4y + 3 = 0
 
Resposta: A equação da reta tangente à função f x( ) = x . 3x − 5( ) , no ponto, x = 12 é dada por 8x − 4y + 3 = 0 . 
 
2º Questão: 
f x( ) = 3x2 − x − 3 ⇒ f ' x( ) = lim
Δx → 0
f x +Δx ( ) − f x( )
Δx 
⇒ f ' x( ) = lim
Δx → 0
3 x +Δx ( )2 − x + Δx( ) − 3 − 3x2 − x − 3( )
Δx 
⇒ 
f ' x( ) = lim
Δx → 0
3x2 + 6xΔx +Δx2 − x − Δx − 3 − 3x2 + x + 3
Δx 
⇒ f ' x( ) = lim
Δx → 0
6xΔx +Δx2 − Δx
Δx 
⇒ f ' x( ) = lim
Δx → 0
Δx . 6x +Δx −1( )
Δx 
⇒ 
f ' x( ) = 6x +Δx −1( )
 
⇒ f ' x( ) = 6x −1
 
Resposta: A derivada da função dada, pela definição, é f ' x( ) = 6x −1 . 
 
3ª Questão: 
f x( ) = 5 − 2x ⇒ f ' x( ) = − 2 ; g x( ) = 3x2 −1 ⇒ g ' x( ) = 6x
 
f 3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 5 − 2 . 3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ f 3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 5 − 3 ⇒ f 3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − 2 ; f ' x( ) = − 2 ⇒ f 72
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 2 ; g ' x( ) = 6x
 
⇒ g ' 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 6 . 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
⇒ g ' 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 3
 
f 3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
f ' 7
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
g ' 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 2 −
− 2( )
3
= 2 + 2
3
= 8
3
 
Resposta: O valor numérico da expressão é 8
3
. 
 
4ª Questão: 
a) f u( ) = 7u3 − 5u2 + 7u+12 ⇒ f ' x( ) = 21u2 −10u+ 7 
b) f x( ) = 2x −1x − 5 ⇒ f ' x( ) =
2 . x − 5( ) − 2x +1( ) . 1
x − 5( )2
 ⇒ f ' x( ) = 2x −10 − 2x +1 
x − 5( )2
 ⇒ f ' x( ) = −9 
x − 5( )2
 ou f ' x( ) = −9 
x2 −10x + 25
 
c) f x( ) = 7x2 − 1
2x3
 ⇒ f x( ) = 7x2 − x
 − 3
2
 ⇒ f ' x( ) = 7 . x2 − 1 − − 3( ) x
 − 3 − 1
2
 ⇒ f ' x( ) = 7x + 3x
 − 4
2
 ⇒ f ' x( ) = 7x + 3
2x4
 
d) f x( ) = 3x2 − 2x +13 ⇒ f x( ) = 3x2 − 2x +1( )
1
3 ⇒ f ' x( ) = 13 . 3x
2 − 2x +1( )
1
3
 − 1
. 6x − 2( ) ⇒ 
 f ' x( ) = 13 . 3x
2 − 2x +1( ) − 
2
3 . 6x − 2( ) ⇒ f ' x( ) = 6x − 2( )
3 . 3x2 − 2x +1( ) 
2
3
 ⇒ f ' x( ) = 6x − 2
3 . 3x2 − 2x +1( )23 
 
e) f s( ) = 5s2 + 3s − 2( )3 + 3 . e − 2s ⇒ f ' s( ) = 3 . 5s2 + 3s − 2( )3 − 1. 10s + 3( ) + 3 . e − 2s. − 2( ) ⇒ 
 f ' s( ) = 3. 10s + 3( ) . 5s2 + 3s − 2( )2 − 6 . e − 2s 
f) f s( ) = cot g4 3s −1( )2 ⇒ f s( ) = u4 ⇒ f ' s( ) = 4 . u3 . u' ; u = cotg v ⇒ u ‘ = – cossec2 v . v ‘ e v = 3s −1( )2 ⇒ 
 v ' = 2 . 3s −1( ) . 3 ⇒ v ' = 6 . 3s −1( ) 
 f ' s( ) = 4 . cot g3 3s −1( )2 . − cossec2 3s −1( )2 . 6 . 3s −1( )⎛⎝ ⎞⎠ ⇒ f ' s( ) = − 24 . 3s −1( ) . cot g3 3s −1( )
2
 . cossec2 3s −1( )2 
g) f x( ) = log2 2x − cos 3x( )⎡⎣ ⎤⎦ ⇒ f x( ) = loga u ⇒ f ' x( ) = 1u . ln a . u' e u = 2x − cos 3x( ) ⇒ u ' = 2 + 3 .sen 3x( ) 
 f ' x( ) = 1
2x − cos 3x( )⎡⎣ ⎤⎦ . ln 2
 . 2 + 3 . sen 3x( )⎡⎣ ⎤⎦ ⇒ f ' x( ) =
2 + 3 . sen 3x( )
ln 2 . 2x − cos 3x( )⎡⎣ ⎤⎦
 
h) f x( ) = arctg 1
3 − x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ f x( ) = arctg u ⇒ f ' x( ) = 1
1+u2
 . u ' ⇒ u = 1
3 − x2
 ⇒ u ' = 2x
3 − x2( )2
 
 f ' x( ) = 1
1+ 1
3 − x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2 . 
2x
3 − x2( )2
 ⇒ f ' x( ) = 1
3 − x2( )2 +1
3 − x2( )2
 . 2x
3 − x2( )2
 ⇒ f ' x( ) = 2x
3 − x2( )2 +1
 
i) f x( ) = senh x2 − 5x + 4( ) ⇒ f ' x( ) = cosh x2 − 5x + 4( ) . 2x − 5( ) ⇒ f ' x( ) = 2x − 5( ) . cosh x2 − 5x + 4( ) . 
j) f x( ) = cossech 3x −1
5x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ f x( ) = cossech u ⇒ f ' x( ) = − cossech u . cot g u . u ' ⇒ u = 3x −1
5x2
 ⇒ u ' = − 3x + 2
5x3
 ⇒ 
 f ' x( ) = − cossech 3x −1
5x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . cot g 3x −1
5x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . − 3x + 2
5x3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟