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Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 10 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER 
 
 Para a resolução de triângulos quaisquer é necessário conhecer a Lei dos senos e a Lei dos cossenos. 
 
LEI DOS SENOS 
 
 O enunciado da Lei dos senos é: “Em qualquer triângulo ABC, as medidas dos lados são proporcionais aos 
senos dos ângulos opostos”, ou seja: 
a
sen Aˆ
= b
sen Bˆ
= c
sen Cˆ
. 
 
 Veja o modelo matemático: 
 
Exemplos 
 1) No triângulo ABC da figura, calcule as medidas de “b” e “c”. 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 Do triângulo dado, temos que: 
 e ⇒ 
 Aplicando a Lei dos senos: ⇒ . 
 Utilizando uma calculadora científica, encontraremos: 
 sen 30º = 0,5; sen 105º ≅ 0,96592583; sen 45º ≅ 0,70710678 
 Temos, então, que: 
 
 e 
 
 
 Resposta: As medidas procuradas são e . 
 
 2) Duas árvores localizam-se em lados opostos de um lago. O ângulo entre as linhas de visão de um observador que 
as vê é de 120º e o ângulo formado por uma dessas linhas e a linha que une as árvores é de 45º. Sabendo-se que a 3ª linha 
mede 100 metros, determine a distância entre as árvores. 
 Solução: 
 O desenho representativo da situação descrita pelo problema é: 
 
 Pelo desenho, é possível verificar que: 
 ; e, portanto, 
 Com o uso de uma calculadora científica, encontramos: 
 sen 15º = 0,25881905; sen 45º = 0,70716781 e sen 120º = 0,86602540 
 Pela Lei do senos, temos: 
 
 ⇒ ⇒ 100
0,707106781186548
= c
0,866025403784439
 ⇒ 
Aˆ = 30º Bˆ = 45º Cˆ = 180º - (Aˆ + Cˆ)⇒ Cˆ = 180º - (30º+45º )⇒ Cˆ = 105º
a
sen Aˆ
=
b
sen Bˆ
=
c
sen Cˆ
2
sen 30º
=
b
sen 45º
=
c
sen 105º
2
sen 30º
=
b
sen 45º
⇒
2
0,5
=
b
0,70710678
⇒ b =
2 . 0,70710678
0,5
⇒ b = 2,82842712
2
sen 30º
=
c
sen 105º
⇒
2
0,5
=
c
0,96592583
⇒ c =
2 . 0,96592583 
0,5
⇒ c = 3,86370332
b = 2,82842712 c = 3,86370332
Bˆ = 45º Cˆ = 120º Aˆ = 180º - (45º - 120º )⇒ Aˆ = 15º 
a
sen Aˆ
=
b
sen Bˆ
=
c
sen Cˆ
a
sen Aˆ
=
100
sen 45º
=
c
sen 120º
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 c = 100 . 0,866025403784439
0,707106781186548
 ⇒ c = 122,47448713915893. 
 
 Resposta: A distância entre as árvores é de, aproximadamente, 122,47 metros. 
 
LEI DOS COSSENOS 
 
 O enunciado da Lei dos senos é: “Em qualquer triângulo ABC, o quadrado das medidas de um lado é igual à 
soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses lados pelo 
cosseno do ângulo que eles formam”, ou seja: 
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos ; 
b2 = a2 + c2 – 2 . a . c . cos , e; 
c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos . 
Exemplos 
 1) Dado o triângulo da figura, determinar a medida do lado “a”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resposta: A medida do lado “a” é igual a 2,65, com arredondamento para dois algarismos significativos. 
 
 2) Um navio se encontra em um ponto A, distante 10 quilômetros de um farol F. No mesmo instante, outro navio se 
encontra em um ponto B, distante 15 quilômetros do farol, de tal modo que o ângulo A B = 60º. Qual é a distância entre os 
dois navios nesse instante? 
 Solução: 
 Vamos fazer um desenho representativo da situação exposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A distância entre os dois navios é de 2,65 quilômetros, com arredondamento para dois algarismos 
significativos. 
 
CÁLCULO DA ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER 
 
 Quando conhecemos dois lados de uma região triangular e o ângulo formado por eles, é possível calcular a sua área 
por intermédio da seguinte propriedade: 
 
 A área S de qualquer região triangular é igual à metade do produto das medidas de dois de seus lados multiplicada 
pelo seno do ângulo formado por eles, ou seja: 
S = a . b
2
 . sen Cˆ ; S = b . c
2
 . sen Aˆ ou S = a . c
2
 . sen Bˆ . 
 
Exemplos 
 1) Determinar a área da região triangular dada abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resposta: A área procurada é de 6 u.a. (unidades de área). 
Aˆ
Bˆ
Cˆ
Fˆ
Solução: 
Pela lei dos cossenos, temos: a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos ⇒ 
a2 = 42 + – 2 . 4 . . cos 30º ⇒ a2 = 16 + 3 – 8 . 
⇒ a2 = 19 – 12 ⇒ a = ⇒ 2,645751311064591 
 
Pela Lei dos cossenos, obtemos: 
d2 = 102 + 152 – 2 . 10 . 15 . cos 60º ⇒ 
d2 = 100 + 225 – 150 ⇒ d2 = 175 ⇒ 
d = ⇒ d ≅ 2,645751311064591 
 
Solução: 
Utilizando a fórmula: 
S = ⇒ S = ⇒ S = ⇒ S = 6 
 
 
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 2) Determinar a área da região triangular representada abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resposta: A área do triângulo é igual a 8,66 cm, valor arredondado para dois algarismos significativos. 
 
EXERCÍCIOS 
 1) Calcule o valor da medida x na figura dada abaixo: 
 
 
 2) No triângulo da figura, calcule as medidas b e c. 
 
 
 3) Em um triângulo ABC, são dados = 45º, = 30º e a + b = + 1. Determine o valor de a. 
 
 4) Fazendo uso de uma calculadora científica, determine o valor de x em cada um dos casos dados abaixo. 
 a) b) 
 
 
 5) Utilizando uma calculadora científica, determine o valor de sen x. 
 
 
 6) A figura dada abaixo mostra um triângulo de base BC. Calcule a medida dessa base, sabendo que m = 8; α = 30º e 
β = 120º. 
 
 
 7) Em uma fazenda, o galpão fica 50 m distante da casa. Sejam x e y, respectivamente, as distâncias da casa e do 
galpão ao transformador de energia, conforme a figura dada abaixo. Determine o valor da soma x + y. Obs.: Faça uso de uma 
calculadora científica. 
Aˆ Bˆ 2
Solução: 
Utilizando a fórmula: 
S = ⇒ S = ⇒ S = ⇒ 
 S = 5 ⇒ S = 8,66025403784439 
 
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 8) No triângulo da figura dada, determine o valor de x. 
 
 9) No triângulo da figura dada tem-se a = 4, b = 3 e = 45º. Determine a medica “c”. 
 
 10) No triângulo da figura abaixo, temos: AC = 3; BC = 4, AB = 3 e B C = α. Determine o valor de cos α. 
 
 
 11) Dois lados de um triângulo medem 10 cm. e 6 cm. e formam entre si um ângulo de 120º. Determine a medida do 
outro lado do triângulo. 
 
 12) Em um triângulo ABC são dados Aˆ = 45º, b = 8 2 e c = 10. Calcule a medida do terceiro lado do triângulo. 
 
 13) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 14 cm. e 10 cm. e formam entre si um ângulo de 60º. 
Calcule a medida das diagonais do paralelogramo. 
 
 14) Seja um triângulo ABC, no qual a = 5, b = 2 e c = 17 . Calcule a medida do ângulo Cˆ . 
 
 15) A área de um triângulo retângulo é igual a 12 dm2. Se um dos catetos é igual a dois terços do outro, determine o 
valor da hipotenusa deste triângulo. 
 
 16) Em um triângulo ABC, dois lados medem 6 3 cm. e 4 cm., e formam um ângulo de 60º. Determinar a área desse 
triângulo. 
 17) Em um triângulo ABC, b = 3 , c = 2 e S = 6
4
. Determinar a medida do ângulo Aˆ . 
 
 18) Qual a área da região limitada por um paralelogramo cujos lados medem 10 cm. e 16 cm., sabendo que formam 
um ângulo de 30º? 
 
 19) As diagonais de um paralelogramo medem 10 cm. e 8 cm. e formam um ângulo de 60º. Determine a área desse 
paralelogramo. 
 
 20) Uma lâmpada colocada no ponto A, sobre um muro vertical, ilumina a parte XY de 8 metros de largura segundo 
um ângulo de 35º. A que altura do solo está suspensa a lâmpada? Utilize uma calculadora científica se for necessário.7 Cˆ
Aˆ
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 21) Sabendo-se que a = 1 e b = 3 , determine a medida de c. 
 
 
RESPOSTAS 
1) x = 10 2 . 2) b = 3 e c = 6 + 2
2
. 3) a = 2 . 4) a) x ≅ 9,151. b) x ≅ 5,959. 5) sen x ≅ 0,705. 
6) m ≅ 4,6188. 7) x + y ≅ 140,235 metros. 8) x = 7 9) c = 10 10) cos α = 1
9
 11) 14 cm. 12) 2 17 
13) BD = 2 39 cm e AC = 2 109 cm 14) 45º. 15) 2 13 dm2. 16) 18 cm2. 17) Aˆ = 30º ou Aˆ = 150º. 
18) 80 cm2. 19) 5 13 cm2. 20) A altura é de, aproximadamente, 9, 41 metros. 21) 0,5 u.m.c.