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CÁLCULO NUMÉRICO ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO A disciplina Cálculo Numérico tem por objetivo a resolução de problemas cuja solução analítica é impossível ou complexa demais para ser obtida! Alguns exemplos são: a) xxyesen dx yd ln)( 2 4 4 Esta equação diferencial ordinária é classificada como uma equação de ordem 4, grau 2 e não linear. Existem não linearidades no argumento da função seno e na própria quarta derivada. Certamente, não existe um método analítico para a obtenção desta solução ou se existe deve ser muito complexo. b) 3 2 5sec xdx é um outro cuja solução é relativamente complicada Nestes casos podemos utilizar as técnicas de Cálculo Numérico para a solução de problemas. Para a consulta de referências deste curso: a) Cálculo Numérico com aspectos Teóricos e Computacionais. Márcia Ruggiero Vera Lúcia Lopes b) Métodos Numéricos Peter Stark c) Material do Prof em pdf. Em termos de avaliação serão aplicadas duas provas ao final de cada bimestre letivo. Usaremos planilhas (Libreoffice), MatLab (Scilab), Geogebra, Graphmatic, Winplot. Capítulo 1 ESTUDO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS Muitos fenômenos apresentam informações sequências!. Em Matemática estudamos o conceito de sequência, que são informações que se sucedem sob uma certa lei de formação. Iniciaremos este estudo por uma sequência numérica dada por: 0,6;0,06;0,006;... Temos uma sequência infinitas. Podemos operar aritmeticamente sobre uma sequência obtendo uma série de termos. 0,6+0,06+0,006+...=0,666...=2/3 Temos neste exemplo uma série convergente! Um outro exemplo: 1+2+3+4+5+... temos uma série divergente. Definição: Uma série é dita convergente quando ela apresenta soma parcial tendendo a um valor limite. Matematicamente, temos: Lna n lim , onde na representa o termo geral da série. Exemplo 1) Utilizando uma planilha determine se a série dada por 0,6+0,06+0,006+... converge ou diverge. Iteração valor do termo soma parcial 0 0,60000 0,60000 1 0,06000 0,66000 2 0,00600 0,66600 3 0,00060 0,66660 4 0,00006 0,66666 5 0,00001 0,66667 6 0,00000 0,66667 7 0,00000 0,66667 8 0,00000 0,66667 9 0,00000 0,66667 a série converge pois apresenta soma parcial tendendo a um valor limite. Iteração valor do termo soma parcial 0 1,00000 1,00000 1 -1,00000 0,00000 2 1,00000 1,00000 3 -1,00000 0,00000 4 1,00000 1,00000 5 -1,00000 0,00000 6 1,00000 1,00000 7 -1,00000 0,00000 8 1,00000 1,00000 9 -1,00000 0,00000 a série diverge pois não apresenta soma parcial tendendo a um valor limite. E diverge oscilando em sua soma parcial. Exemplo 3) Utilizando um programa gráfico verifique o comportamento dos termos da sequência 1,-1,1,-1,1... Arquivo aula1graf1 Exemplo 4) Escreva um programa em Linguagem Matlab para determinar a soma dos n primeiros termos da série 0,6+0,06+0,006+ % nome do aluno % programa para determinar a soma % dos n primeiros termos da série % 0,6+0,06+0,006+... % a próxima permite a entrada de uma informaçao via teclado n=input(' entre com o número de termos '); % a próxima inicializa uma variável acumulativa fprintf('iteraçao valor do termo soma \n'); soma=0; for i=0:n valor_do_termo= 0.6/10^i; soma=soma+valor_do_termo; fprintf(' %5d %14.5f %14.5f \n',i,valor_do_termo,soma) end Exemplo 5) Escreva um programa em Linguagem Matlab para determinar a soma dos n primeiros termos da série 1-1+1-1+1-1+... % nome do aluno % programa para determinar a soma % dos n primeiros termos da série % 1-1+1-1+... % a próxima permite a entrada de uma informaçao via teclado n=input(' entre com o número de termos '); % a próxima inicializa uma variável acumulativa fprintf('iteraçao valor do termo soma \n'); soma=0; for i=0:n valor_do_termo= (-1)^i; soma=soma+valor_do_termo; fprintf(' %5d %14.5f %14.5f \n',i,valor_do_termo,soma) end AULA 2 CRITÉRIOS DE PARADA Todo Método Numérico exige algum critério de parada. Podemos utilizar dois critérios: a) Erro absoluto: epsValor ValorE AnteriorValor-posterior o Aproximad Valor- Exato b) Erro relativo: eps Valor Valor E Posterior Valor AnteriorValor-posterior Exato Valor o Aproximad Valor- Exato eps representa a precisão requerida de determinado método! Exemplo 1) Através de uma planilha verifique a convergência ou divergência de uma série, inclusive relacionando o erro relativo cometido. 1 1 n n n Arquivo aula2plan1 iteração valor do termo soma parcial erro 1 2,00000 2,00000 4,29E- 01 2 1,50000 3,50000 2,76E- 01 3 1,33333 4,83333 2,05E- 01 4 1,25000 6,08333 1,65E- 01 5 1,20000 7,28333 1,38E- 01 6 1,16667 8,45000 1,19E- 01 7 1,14286 9,59286 1,05E- 01 8 1,12500 10,71786 9,39E- 02 9 1,11111 11,82897 8,51E- 02 10 1,10000 12,92897 a série diverge pois não apresenta soma parcial tendendo a um valor limite Atividade para casa: Determine a soma parcial da série, de tal modo que o erro relativo cometido seja <=0,0001 1 52 n n n AULA 2 TEOREMAS SOBRE SÉRIES No estudo de convergência de séries podemos ter uma abordagem numérica (planilhas e programas), uma abordagem gráfica e a abordagem algébrica ou analítica. Esta última é feita por Teoremas. Não é o objetivo da disciplina a demonstração de Teoremas e sim a aplicação dos métodos numéricos. 1) TEOREMA DAS SÉRIES ALTERNADAS Uma série alternada é uma série que se apresenta na forma: ...1...321 na naaaoa Lembrando que as séries que iremos trabalhar são infinitas. Uma série alternada converge se e somente se duas condições forem satisfeitas: a) 0lim na n b) nana 1 Exemplo 2) Utilizando Teoremas e planilha verifique se a série converge ou diverge. 1 1 1 n n n O Teorema da série alternada preocupa-se com a convergência absoluta da série. Em Cálculo estuda-se que se uma série converge absolutamente ela converge de qualquer forma. Para o Teorema e não planilhas e programas: n na 1 a) 0 1 limlim nn na n (satisfeita) b) nana 1 0 2 1 ' 1 )( x xf x xf nfna (satisfeita) Visto que as duas condições foram satisfeitas a série converge!. Vamos na sequência analisar numericamente a convergência desta série. Arquivo aula2plan2 iteração valor do termo soma parcial 1 -1,00000 -1,00000 2 0,50000 -0,50000 3 -0,33333 -0,83333 4 0,25000 -0,58333 5 -0,20000 -0,78333 6 0,16667 -0,61667 7 -0,14286 -0,75952 8 0,12500 -0,63452 9 -0,11111 -0,74563 10 0,10000 -0,64563 11 -0,09091 -0,73654 12 0,08333 -0,65321 13 -0,07692 -0,73013 a série converge pois apresenta somaparcial tendendo a um valor limite. Entretanto, converge lentamente. 2) TESTE DA INTEGRAL Este teste pode ser usado quando a série é constituída de termos positivos e decrescentes. Este teste nos diz que: a) Se a integral 1 dxxf converge, a série converge b) Se a integral 1 dxxf diverge, a série diverge Veremos este teste através de um exemplo: Exemplo 3) Verifique se a série dada por 2 ln 1 nn converge ou diverge. Inicialmente, vamos verificar se a série é positiva: Simplesmente observando o comportamento da variável n, a série é positiva. Agora, vamos verificar se a série é de termos decrescentes: 0 2ln ln1 ' 2ln 1ln 1 10ln ' ln 1 )( ln 1 xx x xf xx x x xxx xf xx xf nn nfna Concluímos que a série é constituída de termos positivos e decrescentes. 2 ln 1 Idx xx Verifico que a integral I é uma integral imprópria, visto que um dos extremos é infinito. 2lnlnlnlnlim 2 lnlnlimlnlimlim 1 ln 2 ln 1 lim A A A x A u Au du A I dx x du xu A dx xxA I A série diverge pois a integral também diverge. Analise a convergência ou divergência desta série escrevendo um programa em Matlab. Arquivo aula2prog1 % nome do aluno % programa para somar os n termos da série % 1/(n*lnn) de 2 até infinito. % a próxima linha permite a entrada de um % valor via teclado n= input(' entre com o número de termos '); % a próxima cria uma variável acumulativa fprintf(' iteraçao valor do termo soma parcial \n'); soma=0; for i=2:n valor_do_termo=1/(i*log(i)); soma=soma+valor_do_termo; fprintf(' %5d %15.5f %12.5f \n',i,valor_do_termo,soma); end A sequência do exercício pedirá a elaboração de uma planilha. Arquivo aula2plan3 iteração valor do termo soma parcial 2 0,72135 0,72135 3 0,30341 1,02476 4 0,18034 1,20510 5 0,12427 1,32936 6 0,09302 1,42238 7 0,07341 1,49580 8 0,06011 1,55591 9 0,05057 1,60648 10 0,04343 1,64991 11 0,03791 1,68782 12 0,03354 1,72136 13 0,02999 1,75135 14 0,02707 1,77841 15 0,02462 1,80303 16 0,02254 1,82557 17 0,02076 1,84633 a série diverge pois não apresenta soma parcial tendendo a um valor limite. 3) Teste da Razão. O teste da razão indica que: a) Um série converge se 11lim na na n b) Um série diverge se 11lim na na n c) Se 11lim na na n , nada podemos afirmar. Teremos que usar outro teste ou fazer a análise numérica via programas ou planilhas analisando a soma parcial. Este teste é um dos mais importantes pois é utilizado no estudo de séries de potências de x, em particular, as séries de Taylor e McLaurin. AULA 3 Exemplo) Verifique se a série 1 n! n2 n converge ou diverge aplicando o teste da razão. Obs: sempre que aparecer fatorial pode-se tentar o uso do teste da razão. A mesma tentativa pode também ser aplicada quando no termo geral aparece potência. a) Um série converge se 11lim na na n b) Um série diverge se 11lim na na n c) Se 11lim na na n , nada podemos afirmar. Teremos que usar outro teste !1n 1n2 1 n! n2 na na 10 1 21lim 1n 1 lim2 1 1 1n 1 lim2 1 ! n!1n 1 lim2 2 ! !1n 1n2 lim1lim na na n nn n nn n nna na n Pelo Teste da Razão, como 11lim na na n a série converge. Observação: Embora o teste da razão tenha aplicação na determinação de convergência de séries puramente numéricas, ele também pode ser aplicado em séries de potências de x. SÉRIES DE POTÊNCIAS DE x Estudaremos agora intervalos de convergências para séries que envolvam potências de x. Seja o exemplo) Determine o intervalo de convergência da série dada por: 1n ! n nx Sempre que estudarmos uma série que envolva potências de x, iniciamos o estudo do intervalo de convergência pelo Teste da Razão. 11lim na na n ! 1 1 1 ! n nx na n nx na Aplicando o teste, teremos: 10 1 1n !1 lim 1 ! 1n ! lim 1 nx ! ! 1 1 lim1lim x n x n n n x n n nx nna na n O intervalo de convergência é o campo dos Reais. Na sequência deste exemplo iremos criar uma planilha que determina a soma parcial dos n primeiros termos para qualquer valor de x a ser lido na planilha. Arquivo aula3plan1 iteração valor do termo soma parcial erro x= - 1 1 -1,00000 -1,00000 1,00E+00 2 0,50000 -0,50000 2,50E-01 3 -0,16667 -0,66667 6,67E-02 4 0,04167 -0,62500 1,32E-02 5 -0,00833 -0,63333 2,20E-03 6 0,00139 -0,63194 3,14E-04 7 -0,00020 -0,63214 3,92E-05 8 0,00002 -0,63212 4,36E-06 9 0,00000 -0,63212 4,36E-07 10 0,00000 -0,63212 3,96E-08 11 0,00000 -0,63212 3,30E-09 12 0,00000 -0,63212 A série converge pois apresenta soma parcial tendendo a um valor limite SÉRIE DE TAYLOR E McLAURIN Na Engenharia, uma das séries mais importantes é a chamada série de Taylor, que nos permite o desenvolvimento ou expansão de uma função em termos de potências de x. A série de Taylor é dada por: ... ! 0... ! 3 3 0'" ! 2 2 0" ! 1 0' n nxx ox nf xx oxf xx oxf xx oxfoxfxf O ponto ox é chamado de ponto de expansão ou desenvolvimento. O ponto x é chamado ponto de interesse. Quando 0ox a série de Taylor recebe o nome de série de McLaurin. Exemplo) Expanda a função xexf em uma série de McLaurin. 0ox 100 . . . 100" " 10)0(' ' 100 enf ef xexf ef xexf efoxf 0 ! ... ! 3 3 ! 2 2 !1 1 !0 0 ... ! 3 3 ! 2 2 1 ... ! 3 30 1 ! 2 20 1 ! 1 0 11 n n nxxe xxxxxx xxe xxxxe Vamos aplicar o teste da Razão para a determinação do intervalo de convergência. 11lim na na n !1 1 1 ! n nx na n nx na 10 1 1 1 1 1 lim 1 1 ! !1 1 lim 1 ! !1 1 lim1lim x nn x n nnn x nx n n nx nna na n A série converge no campo dos reais. Vamos montar uma planilha! Determine o valor da 1e de tal forma que o erro cometido seja 0001,0 . Arquivo aula3plan2 iteração valor do termo soma parcial erro x= 1 0 1,00000 1,00000 5,00E-01 1 1,00000 2,00000 2,00E-012 0,50000 2,50000 6,25E-02 3 0,16667 2,66667 1,54E-02 4 0,04167 2,70833 3,07E-03 5 0,00833 2,71667 5,11E-04 6 0,00139 2,71806 7,30E-05 7 0,00020 2,71825 o valor aproximado da exponencia de x= 1 é igual a 2,71825 com erro<= 7,30E-05 Utilizando o software Geogebra, plote a curva original, e as séries com 1,2,3 termos. y=1+x+\frac{x^{2}}{2} para escrever 2 2x no editor látex do Geogebra. Exemplo) Desenvolva a função .xsenxf em série de McLauri. Determine o valor de 2 sen de tal forma que o erro cometido seja <= 0,0001. ... ! 0... ! 3 3 0'" ! 2 2 0" ! 1 0' n nxx ox nf xx oxf xx oxf xx oxfoxfxf 0ox 00)0( )()( 10cos)0("' cos"' 0)0(" )(" 10cos' cos' 000 senIVf xsenxIVf f xxf senof xsenxf oxf xxf senfoxf xsenxf ... !5 5 !3 3 ...0 ! 3 30 1 ! 2 20 0 ! 1 0 10 xx xsenx xxx senx 0 !12 12 1 n n nxnsenx Vamos determinar o intervalo de convergência. ! 112 112 111 !12 12 1 n nxn na n nxn na 1 !122232n !12 lim2 1 12 ! 12 ! 32n 32 lim 1 121 ! 12 ! 112 112 11lim 11lim nn n n x nx nnx n nxn n n nxn n na na n 102 1 61024 1 lim2 1 2232n 1 lim2 x nnn x nn x O intervalo de convergência é x pertencente aos Reais. Vamos calcular 2 sen de tal forma que o erro cometido seja <= 0,0001. Arquivo aula3plan3 iteração valor do termo soma parcial erro x= 1,5707963267949 0 1,57080 1,57080 6,98E-01 1 -0,64596 0,92483 7,93E-02 2 0,07969 1,00452 4,68E-03 3 -0,00468 0,99984 1,60E-04 4 0,00016 1,00000 3,60E-06 5 0,00000 1,00000 o valor aproximado da exponencia de x= 1,57080 é igual a 1,00000 com erro<= 3,60E-06 Atividade para casa 1): Utilizando série de McLaurin determine o valor de cos(3,5) de tal forma que o erro cometido seja menor ou igual a 0,001. Atividade para casa 2): Utilizando série de Taylor determine o valor de ln(3,5) de tal forma que o erro cometido seja menor ou igual a 0,001. Atividade para casa 3): Elabore um programa em Linguagem MatLab para as atividades 1 e 2. O programa deve ler o número de iterações, o valor do argumento e “printar” em tabela formatada as colunas iteração, valor do termo, soma parcial e erro relativo. Dúvidas: 1) Sempre pelo face 2) não resolvendo pelo face, marcamos horário 3) teamviewer 11 (bom para dúvidas, reuniões online) AULA 4 CÁLCULO NUMÉRICO ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA PROF OSWALDO COBRA TURMA quinta-feira CAPÍTULO II RAÍZES OU ZEROS DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES Equações transcendentes são aquelas que envolvem funções exponenciais, logarítmicas e ou trigonométricas, paras as quais eventualmente não existem fórmulas para a determinação de suas raízes ou zeros. Portanto, estaremos interessados na resolução de problemas do tipo 0xf . Estudaremos dois métodos: a) Método da Bissecção b) Método de Newton-Raphson (N-R) O primeiro método vamos classificar, neste curso, como um método acadêmico. O segundo realmente como um método prático. MÉTODO DA BISSECÇÃO Este método é baseado no Teorema: Seja uma função xf que possui uma única raiz no intervalo ],[ ba . É condição suficiente para a existência desta raiz que 0 bfaf . O método da bissecção tem por base a divisão sucessiva do intervalo que contenha a raiz pela metade de sua amplitude. Possui a seguinte interpretação Geométrica: Geo1aula4 Primeira iteração: Supõe que 0 bfaf existe uma raiz no intervalo ba, 2 ba ox Se 00 xfaf A Raiz se encontra no intervalo oxa, . Então: oxb aa Senão raiz pertencente ao intervalo box , bb oxa Segunda iteração 2 1 ba x Se 01 xfaf a raiz está no intervalo 1, xa 1xb aa Senão bb xa bx 1 ,1 Faremos n iterações até que um determinado critério de parada seja atingido. Estabeleceremos o seguinte critério: 1 1 nx nxnx Onde é a precisão requerida do método. Exemplo 1) Utilizando o método da bissecção, determine através de uma planilha a raiz de 33 2 xxxexf contida no intervalo 2;6,0 de tal forma que o erro cometido seja 310 . Vamos plotar esta função no MatLab. >> x= 0.4:0.1:2.1; >> y=exp(x.^2)-3*x+x.^3; >> plot(x,y) >> grid >> iteração a b x=(a+b)/2 f(a) f(b) f(x) erro 0 0,60000 2,00000 1,30000 - 0,15067 56,59815 3,71648 3,68E- 01 1 0,60000 1,30000 0,95000 - 0,15067 3,71648 0,47313 2,26E- 01 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 2 0,60000 0,95000 0,77500 - 0,15067 0,47313 - 0,03626 1,01E- 01 3 0,77500 0,95000 0,86250 - 0,03626 0,47313 0,15826 5,34E- 02 4 0,77500 0,86250 0,81875 - 0,03626 0,15826 0,04752 2,75E- 02 5 0,77500 0,81875 0,79688 - 0,03626 0,04752 0,00244 1,39E- 02 6 0,77500 0,79688 0,78594 - 0,03626 0,00244 - 0,01769 6,91E- 03 7 0,78594 0,79688 0,79141 - 0,01769 0,00244 - 0,00782 3,44E- 03 8 0,79141 0,79688 0,79414 - 0,00782 0,00244 - 0,00274 1,72E- 03 9 0,79414 0,79688 0,79551 - 0,00274 0,00244 - 0,00016 8,59E- 04 10 0,79551 0,79688 0,79619 a raiz aproximada vale 0,79619 com erro<= 8,59E- 04 Exemplo 2) Utilizando o método da bissecção, determine através de uma planilha a raiz de xxsenxf 323 contida no intervalo 2,0 de tal forma que o erro cometido seja 310 . Gráfico será feito no Geogebra Função[ 3*sen(x-2)+3*x, 0, 2] iteração a b x=(a+b)/2 f(a) f(b) f(x) erro 0 0,00000 2,00000 1,00000 - 2,72789 6,00000 0,47559 1,00E+00 1 0,00000 1,00000 0,50000 - 2,72789 0,47559 - 1,49248 3,33E-01 2 0,50000 1,00000 0,75000 - 1,49248 0,47559 - 0,59695 1,43E-01 3 0,75000 1,00000 0,87500 - 0,59695 0,47559 - 0,08180 6,67E-02 4 0,87500 1,00000 0,93750 - 0,08180 0,47559 0,19178 3,45E-02 5 0,87500 0,93750 0,90625 - 0,08180 0,19178 0,05369 1,75E-02 6 0,87500 0,90625 0,89063 - 0,08180 0,05369 - 0,01439 8,70E-03 7 0,890630,90625 0,89844 - 0,01439 0,05369 0,01957 4,37E-03 8 0,89063 0,89844 0,89453 - 0,01439 0,01957 0,00257 2,19E-03 9 0,89063 0,89453 0,89258 - 0,01439 0,00257 - 0,00591 1,09E-03 10 0,89258 0,89453 0,89355 - 0,00591 0,00257 - 0,00167 5,46E-04 11 0,89355 0,89453 0,89404 a raiz aproximada vale 0,89404 com erro<= 5,46E- 04 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (N-R) Este método também é conhecido como método das tangentes. Possui a seguinte interpretação geométrica: Figura no arquivo pdf. oxf oxf oxx oxf xox oxf oxf xox oxftg ' 1 ' 1 ' 1 Para o segundo triângulo retângulo projetado teríamos: 1' 1 12 xf xf xx Para n triângulos: nxf nxf nxnx ' 1 Esta fórmula é conhecida como Método de Newton-Raphson Exemplo 3) Utilizando o método de Newton-Raphson, determine através de uma planilha a raiz de 332 xxxexf com 1ox , de tal forma que o erro cometido seja 310 . 233 2 2' xxxexf iteração xanterior função derivada xposterior erro 0 1,00000 0,71828 5,43656 0,86788 1,52E-01 1 0,86788 0,17388 2,94608 0,80886 7,30E-02 2 0,80886 0,02633 2,07478 0,79617 1,59E-02 3 0,79617 0,00109 1,90310 0,79560 7,23E-04 4 0,79560 a raiz vale aproximadamente 0,79560 com erro<= 7,23E-04 Exemplo 4) Utilizando o método de Newton-Raphson, determine através de uma planilha a raiz de xxsenxf 323 contida com xo=1 de tal forma que o erro cometido seja 310 . 32cos3' xxf iteração xanterior função derivada xposterior erro 0 1,00000 0,47559 4,62091 0,89708 1,15E-01 1 0,89708 0,01365 4,35297 0,89394 3,51E-03 2 0,89394 0,00001 4,34457 0,89394 3,39E-06 3 0,89394 a raiz vale aproximadamente 0,89394 com erro<= 3,39E-06 AULA DE EXERCÍCIOS Questão 1) Determine pelo método da bissecção da menor raiz positiva de 22cos2 2 3 x x x de tal forma que o erro cometido seja menor ou igual a 0,001. Reescrevendo a função, teremos: 0 22cos2 2 3 )( x x xxf >> x=0.1:0.1:2; >> y=x.^(-1.5)+x./(2-cos(x.^2))-pi/2; >> plot(x,y) >> grid >> Refinando pela Planilha, teremos: iteração a b x=(a+b)/2 f(a) f(b) f(x) erro 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 0 0,60000 2,00000 1,30000 1,14472 - 0,46356 - 0,28262 3,68E- 01 1 0,60000 1,30000 0,95000 1,14472 - 0,28262 0,19741 1,56E- 01 2 0,95000 1,30000 1,12500 0,19741 - 0,28262 - 0,07080 8,43E- 02 3 0,95000 1,12500 1,03750 0,19741 - 0,07080 0,05558 4,05E- 02 4 1,03750 1,12500 1,08125 0,05558 - 0,07080 - 0,00938 2,06E- 02 5 1,03750 1,08125 1,05938 0,05558 - 0,00938 0,02265 1,02E- 02 6 1,05938 1,08125 1,07031 0,02265 - 0,00938 0,00652 5,08E- 03 7 1,07031 1,08125 1,07578 0,00652 - 0,00938 - 0,00145 2,55E- 03 8 1,07031 1,07578 1,07305 0,00652 - 0,00145 0,00253 1,27E- 03 9 1,07305 1,07578 1,07441 0,00253 - 0,00145 0,00054 6,36E- 04 10 1,07441 1,07578 1,07510 a raiz aproximada vale 1,07510 com erro<= 6,36E- 04 Podem acessar como montar a planilha do Método da Bissecção em: https://www.youtube.com/watch?v=oGcROBR6FfI&t=205s Questão 2) Utilizando o método de Newton-Raphson, determine a menor raiz positiva de 05)ln(736 xx de tal forma que o erro cometido seja menor ou igual a 0,0001. O método de Newton-Raphson segue a seguinte fórmula: nxf nxf nxnx ' 1 A derivada é dada por: x xxf 7218)(' O gráfico será criado no MatLab. >> x=0.1:0.1:2; >> y=6*x.^3+7*log(x)+5; >> plot(x,y) >> grid Pelo gráfico, vamos utilizar xo=0,2 Na planilha, teremos: iteração xanterior função derivada xposterior erro 0 0,20000 -6,21807 35,72000 0,37408 4,65E-01 1 0,37408 -1,56896 21,23149 0,44798 1,65E-01 2 0,44798 -0,08171 19,23813 0,45222 9,39E-03 3 0,45222 -0,00017 19,16019 0,45223 1,92E-05 4 0,45223 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 a raiz aproximada vale 0,45223 com erro<= 1,92E-05 Questão 3) Utilizando McLaurin, determine o valor de 1 0 xsenxdx , de tal forma que o erro cometido seja menor ou igual a 0,001. Sabemos que a série do seno de McLaurin é dada por: ... !5 5 !3 3 xx xsenx 0 !1232 1 .1... !5.7 1 !3.5 1 !1.3 1 1 0 ... !5.7 1 !3.5 1 !1.3 1 1 0 ... !5.7 7 !3.5 5 !1.3 3 ... !5 6 !3 4 2 1 0 1 0 n nn nxsenxdx xxx dx xx xxsenxdx iteração valor do termo soma parcial erro 0 0,33333 0,33333 1,11E-01 1 -0,03333 0,30000 3,95E-03 2 0,00119 0,30119 7,32E-05 3 -0,00002 0,30117 a integral vale aproximadamente 0,30117 com erro<= 7,32E-05 No Geogebra: Y=x*sen(x) Integral[f, 0, 1] Resultado=0,30117 AULA 6 MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO Devemos aplicar métodos de interpolação quando possuímos uma tabela de dados e desejamos determinar um valor que não consta desta Tabela. Embora, possamos interpolar por diversas funções matemáticas, neste curso, estaremos interessados na interpolação polinomial. Existem diversos métodos de interpolação polinomial. Estudaremos: a) interpolação polinomial por sistemas lineares b) Interpolação polinomial unidimensional e bidimensional usando MATLAB c) interpolação linear por semelhança de triângulos d) Método de Newton-Gregory e) Polinômio Interpolador de Lagrange Devemos realçar que em pontos experimentais não devemos utilizar métodos de interpolação, como veremos no curso, visto que estes métodos podem conter erros. Em pontos provenientes de laboratório, devemos usar métodos que minimizam possíveis erros, como por exemplo mínimos quadrados. INTERPOLAÇÃO POR SISTEMAS LINEARES Seja a Figura dada por: Vamos supor que tenhamos uma tabela de dados da forma: Variável independente Variável dependente xo yo x1 y1 Como possuímos dois pontos tabelados, vamos aproximar esta tabela por uma reta ou por um polinômio de grau 1 da forma xaoaxP 1)(1 . Vamos que desejamos calcular qual seria o valor de y para um x no domínio da tabela. Nos pontos interpolados, como a figura apresenta, temos que: xfxP )(1 Lembrando que a função geradora da tabela é desconhecida. Podemos então montar um sistema de equações para os pontos interpolados. 111 01 xfxaoa oxfxaoa Vamos observar que o sistema se apresenta na forma algébrica. Na forma matricial,este sistema linear ficaria como: B resultados dos matriz xf oxf R incógnitas das matriz a a A scoefciente dos matriz x ox 11 0 11 1 Na resolução dos sistemas lineares, usaremos uma ferramenta ou comando do Matlab: R = A\B Este comando resolve por fatoração LU o sistema linear. Não entraremos na teoria de resolução de sistema linear, aplicaremos o método de resolução pelo Matlab. Nosso interesse estará na interpretação e cálculo dos resultados. Exemplo 1) Seja a tabela de dados X Y 1,2 2,4 4,4 5,5 Desejamos determinar um polinômio de grau 1 que interpole esta tabela. Inicialmente, vamos plotar os pontos da Tabela. Usaremos o Matlab. Utilizaremos interpolação linear. 5,514,4 4,212,1 aoa aoa . Este sistema se apresenta na forma algébrica. Vamos converter o sistema para a forma matricial: B resultados dos matriz R incógnitas das matriz a oa A scoefciente dos matriz 5,5 4,2 14,41 2,11 x=[1.2 4.4]; y=[2.4 5.5]; plot(x,y) A=[1 1.2; 1 4.4]; B=[2.4;5.5]; R=A\B R = 1.2375 0.9688 Vamos criar variáveis no Matlab: Aoor =R(1); a1=R(2); x1=1.2:0.1:4.4; >> P1=ao+a1*x1; >> plot(x1,P1) Determine por interpolação linear P1(3)=? P1=ao+a1*3 P1 = 4.143750000000000 Para a interpolação quadrática, teríamos o seguinte sistema linear: )2( )1( 2 2221 2 1211 )(221 xf xf xaxaoa xaxaoa oxfoxaoxaoa 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 Exemplo 2) Dada a tabela, interpole um polinômio de grau 2. X Y 1,2 2,4 4,4 5,5 5,5 7,8 Para um polinômio de grau 2, teremos o seguinte sistema linear 8,7 5,5 25,5215,5 24,4214,4 4,222,1212,1 aaoa aaoa aaoa A=[1 1.2 1.2^2; 1 4.4 4.4^2; 1 5.5 5.5^2]; B=[2.4;5.5;7.8]; R=A\B R = 2.615406976744188 -0.492666490486260 0.260967230443975 ao=R(1); a1=R(2); a2=R(3); x=[1.2 4.4 5.5]; y=[2.4 5.5 7.8]; plot(x,y) hold on >> x1=1.2:0.1:5.5; >> P2=ao+a1*x1+a2*x1.^2; >> plot(x1,P2) O Matlab possui algumas ferramentas ou comandos que nos permitem interpolar sem montar um sistema linear. Vejamos um exemplo. Exemplo 2) Tabela consta no pdf de aula >> hz=[20:10:100 200:100:1000 1500 2000:1000:10000]; >> nps=[76 66 59 54 49 46 43 40 38 22 ... 14 9 6 3.5 2.5 1.4 0.7 0 -1 -3 ... -8 -7 -2 2 7 9 11 12]; >> size(hz) 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 2 3 4 5 6 7 8 x y Interpolação Quadrática dados tabelados Polinômio Interpolador Quadrático ans = 1 28 >> size(nps) ans = 1 28 >> hz=[20:10:100 200:100:1000 1500 2000:1000:10000]; >> nps=[76 66 59 54 49 46 43 40 38 22 ... 14 9 6 3.5 2.5 1.4 0.7 0 -1 -3 ... -8 -7 -2 2 7 9 11 12]; >> size(hz) ans = 1 28 >> size(nps) ans = 1 28 >> plot(hz,nps) >> semilogx(hz,nps) >> grid >> Com estas informações, vamos estimar por interpolação linear o nível de pressão do som em uma frequência de 2,5 kHz. s=interp1(hz,nps,2.5e3) s = -5.5000 Exemplo 3) Na maior parte dos casos de interpolação em problemas de engenharia, temos uma função z como dependente de duas variáveis x e y. Ou seja z=f(x,y). Este tipo de problema é classificado como uma interpolação bidimensional, quando desejamos obter o valor de z. Tabela consta no arquivo pdf. 10 1 10 2 10 3 10 4 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 mesh(x,y,z) 0 1 2 3 4 0 2 4 6 60 80 100 120 140 Utilizando este dados podemos utilizar a função interp2 do MatLab Z=interp2(x,y,z,2.2,3.3) Z = 99.4800 metros Observação: no comando interp2, o Matlab aproxima a tabela por retas e não por parábolas. Ou seja, se o problema for bidimensional não significa necessariamente que o modelo matemático que vai aproximar o comportamento seja uma parábola. Veremos um exemplo de interpolação bidimensional, sem usar o Matlab, na sequência do curso. AULA 7 CONTINUAÇÃO MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO Iniciamos esta aula pelo Método da Interpolação linear por semelhança de triângulos. Vamos supor a seguinte Tabela de dados não experimentais. ox oy Entrada de um valor x Saída seria y? 1x 1y 2x 2y . . . . . . nx ny Observação: lembre-se que as tabelas utilizadas em métodos de interpolação não devem ser experimentais. Caso, façamos a opção de usarmos interpolação em dados experimentais, façamos em cima da média de valores. Vamos representar dois pontos desta Tabela em gráfico. Por semelhança de Triângulos teremos: oyy oyy oxx oxx 11 Exemplo 1) Seja a Tabela dada por: 1,2 1,34 x=1,7 Saída seria y? 2,4 2,56 3,7 4,8 Por interpolação linear e usando semelhança de triângulos determine y (1,7). 8483,1 34,156,2 34,1 2,14,2 2,17,1 y y y=((1.7-1.2)/(2.4-1.2))*(2.56-1.34)+1.34 y = 1.8483 Exemplo 2) Estudaremos agora uma tabela bidimensional, onde temos uma certa química que depende de Temperatura e pressão: K=f(T,P) T (K) P (atm) T/P 3 atm 4 atm 5 atm 30 1,23 2,57 3,78 45 2,45 3,78 4,89 60 3,67 4,78 6,12 Por interpolação linear encontre o valor da constante química quando a T=35 K e a P=3,5 atm. Observação: como exercício use a função interp2 e depois compare os resultados com o procedimento de aula.. Para T= 30 K P K 3 1,23 3,5 K1 4 2,57 90000,11 23,157,2 23,11 34 35,3 k k Para T= 45 K P K 3 2,45 3,5 K2 4 3,78 115,32 45,278,3 45,22 34 35,3 k k Para P= 3,5 atm T K 30 1,9 35 K3 45 3,115 No Matlab, teremos: 3050,23 9,1115,3 9,13 3045 3035 k k x=[30 45 60]; y=[3 4 5]; z=[1.23 2.45 3.67 2.57 3.78 4.78 3.78 4.89 6.12] z = 1.2300 2.4500 3.6700 2.5700 3.7800 4.7800 3.7800 4.8900 6.1200 interp2(x,y,z,35,3.5) ans = 2.3050 Exemplo 3) Estudaremos agora uma tabela bidimensional, onde temos a entalpia química que depende de Temperatura e pressão: h=f(T,P) T (K) P(atm) T/P 3 atm 4 atm 5 atm 35 1,235 2,571 3,783 49 2,455 3,782 4,894 65 3,672 4,781 6,128 Para casa! Resposta no pdf. Por interpolação linear encontre o valor da constante química quando a T=38 K e a P=3,5 atm. Observação: construa 3 tabelas unidimensionais. Pelo interp2, podemos comparar a resposta da solução das 3 semelhanças.x=[35 49 65]; y=[3 4 5]; z=[1.235 2.455 3.672 2.571 3.782 4.781 3.783 4.894 6.128] z = 1.2350 2.4550 3.6720 2.5710 3.7820 4.7810 3.7830 4.8940 6.1280 interp2(x,y,z,38,3.5) ans = 2.1635 Polinômio Interpolador de Newton-Gregory Seja uma tabela de dados com pontos igualmente espaçados na variável x. Este método, utiliza a seguinte série para a determinação do polinômio interpolador: Para obtermos polinômios interpoladores usando a fórmula de Newton-Gregory, teremos que truncar a formula em certa ordem. Por exemplo, para uma interpolação linear, a fórmula de Newton-Gregory seria: h oxf oxxoxfxP 1 Nesta fórmula, h representa o passo ou incremento na variável x e deve ser constante. Na fórmula N-G, temos o operador , aqui chamado operador diferenças ordinárias avançadas. Este operador é definido da seguinte forma: Observação: vamos reescrever a última linha: xfnhxfnxfn 11 x f(x) delta1 delta2 delta3 delta4 xo 1,20000 3,52012 0,93508 0,16275 0,03603 0,00798 x1 1,40000 4,45520 1,09783 0,19878 0,04401 x2 1,60000 5,55303 1,29662 0,24279 x3 1,80000 6,84965 1,53941 x4 2,00000 8,38906 Por interpolação linear e usando o método de Newton-Gregory, determine f(1,32). Para n=1 (n grau do polinômio interpolador), teremos: 08117,4 2,0 93508,0 2,132,152012,332,11 P Exercício: Para casa: resolva este mesmo problema usando um polinômio interpolador de Newton-Gregory de grau 2. ESTIMATIVA DO ERRO COMETIDO NA INTERPOLAÇÃO Onde: x nfbaxmáxM 1 , n é o grau do polinômio interpolador Esta fórmula de erro é chamada delimitante superior do erro. Usando semelhança de triângulos: 77654,1)7,0( 1487,17183,2 1487,1 5,01 5,07,0 y y Cálculo do erro real: 06274,077654,171380,17,0 71380,117,07,0 aproximado valor - exato E evalor valorxE Vamos calcular o máximo erro cometido. x nfbaxmáxM 1 , 1)( xxexf N=1 2 17,05,07,07,01 M E 3 1 1;5,0 e xexmáxM 09,0 2 3 17,05,07,07,01 E Nesse caso eu tenho a função: Erro real= 063,077654,117,07,0aproximado valor - exato evalor Conclusão: observe que o delimitante superior do erro realmente engloba, contém o erro real cometido.
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