Vetores em R2 e R3

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VETORES 
         
         Um outro grupo de grandezas necessitam de módulo, direção e sentido para a sua perfeita identificação. Estas grandezas são chamadas de grandezas vetoriais. Como exemplo temos: força, torque, campos elétricos e magnéticos. Para representar graficamente uma grandeza vetorial usa-se um segmento de reta orientado a quem chamamos de vetor. 
vetoriais.
	Por exemplo, a Figura 1a mostra o vetor deslocamento de uma partícula que se move no ponto A ao B ao longo de um caminho tortuoso. Note que o comprimento da flecha descreve a distância entre os pontos inicial e final e não a distância real percorrida pela partícula. A flecha da Figura 1b mostra um vetor força de 10 lb agindo em uma direção e sentido específicos sobre um bloco, e a flecha da Figura 1c mostra o vetor velocidade de um barco, cujo motor o impulsiona paralelamente à praia, 2 mi/h, e o vetor velocidade, 3 mi/h, de um vento atuando a 45º com o litoral. 
	A seta aponta a direção e o sentido da ação, o seu comprimento fornece a magnitude da ação em termos de uma unidade adequada escolhida. Por exemplo, um vetor força aponta na direção e no sentido nos quais ela é aplicada e seu comprimento é uma medida da sua intensidade; um vetor velocidade aponta na direção e no sentido do movimento e seu comprimento é a velocidade do objeto que se move.
Para indicar que um elemento é um vetor usamos:
 i. uma letra minúscula encimada por uma seta, 
 ii. indicação da origem e extremidade encimada por uma seta, 
 
	O módulo do vetor é representado pelo comprimento do segmento. A direção é definida pela reta suporte do vetor enquanto que o sentido é determinado pela seta.
Indicamos o módulo do vetor por 
 VETORES EM R2 
 Podemos considerar vetores que pertencem a uma única reta, um plano e ao espaço. Vetores que pertencem a uma única reta são ditos unidimensional ou vetores do espaço R. Vetores que pertencem ao plano são ditos bidimensional ou vetores do espaço R2 e vetores no espaço tridimensional são vetores de R3. Estas idéias podem ser estendidas para um espaço n-dimensional, são vetores de Rn.
          Iniciaremos nosso estudo com os vetores em R2.
Os vetores de R2 podem ser representados no plano cartesiano, conforme indicado na fig.2. 
A figura 2 mostra o vetor cuja origem é o ponto A = (5, 4) e cuja extremidade é o ponto 
B = (9, 9).
	Em geral, usa-se na álgebra vetorial substituir o vetor por um vetor equivalente (vetor de mesmo módulo, mesma direção ou direção paralela e mesmo sentido) cuja origem coincide com a origem dos eixos cartesiano, ou seja, um vetor como . Assim, o vetor   é denominado, vetor equivalente a v, localizado na origem.
Esse vetor será indicado por = (4, 5) onde (4, 5) são as coordenadas de sua extremidade. 
IMPORTANTE 
  (1) Pela figura é fácil concluir que, se (x1, y1) e (x2, y2) são as coordenadas da origem e da extremidade de um vetor, o equivalente localizado na origem será (x2 - x1, y2 - y1).
 (2) O módulo do vetor =  (x, y), de acordo com o teorema de Pitágoras é 
VETORES EM R3 
        No espaço tridimensional, cada ponto é indicado por três coordenadas (x, y, z). Assim, todo vetor de R3, localizado na origem será indicado por (x, y, z) onde (x, y, z) são as coordenadas de suas extremidades. 
Assim, o vetor u da fig.3, será u = (x, y, z). 
O módulo do vetor u, de R3 é determinado por    
                                   
expressão essa obtida a partir do cálculo da diagonal de um paralelepípedo retângulo. 
VETORES EM Rn 
        Os conceitos, notações, módulos e operações definidas para vetores em R2 e R3 podem ser estendidos aos vetores no espaço Rn. Entretanto, para espaços de dimensão superior a três não é possível (ainda) uma representação gráfica.
EXERCÍCIOS
1. Represente graficamente cada um dos vetores v1 = (2, -3),  v2 = (-3, 4), v3 = (2, 2, 1) e v4 = (3, 4, -12).
2. Considere o vetor AB, onde A = (2, -3) e B = (5, 1). Determine o vetor equivalente a AB, localizado na origem dos eixos cartesianos. Represente no plano cartesiano os vetores AB e seu equivalente.
3. Considere o vetor AB, onde A = (3, -5, 1) e B = (5, -2, 5). Determine o vetor equivalente a AB, localizado na origem dos eixos cartesianos. Represente no plano cartesiano os vetores AB e seu equivalente.
4. O vetor AB é tal que A = (2x + 1, 3y - 2) e B = (x, y). Se o vetor equivalente, localizado na origem é v = (-4, 12), determine os valores de x e y.
5. Determine o módulos dos seguintes vetores: v1 = (2, -3),  v2 = (-3, 4), v3 = (2, 2, 1), v4 = (3, 4, -12) e v5 = (5, 1, 5).
6. Determine o valor de "m" se o módulo do vetor v = (2m+2, m-1, 2m - 7) se |v| = 13.