Cálculo 2

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Cálculo 2
	
	
		1.
		Determine a única resposta correta para a equação paramética para a reta que passa por P(3, -4, -1) paralela ao vetor v = i + j + k.
		
	
	
	
	
	x=3+t; y=4+t; z=-1+t
	
	 
	x=3+t; y=-4+t; z=-1+t
	
	
	x=3+t; y=-4+t; z=1-t
	
	
	x=t; y=-t; z=-1+t
	
	
	x=-3+t; y=-4+t; z=-1+t
	
	
	
		2.
		O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t)  = t3 i  + t2 j.
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1.
		
	
	
	
	
	6i+2j
	
	
	ti+2j
	
	 
	6ti+2j
	
	
	6ti -2j
	
	
	6ti+j
	
	
	
		3.
		Determine a única resposta correta para:
(a) a derivada de r(t) =(1+t3)i+ te-tj+sen2tk
(b) o versor tangente T em t=0.
 
		
	
	
	
	 
	(a) v(t)=3t2i + (1 - t)e-tj -  2cos2tk
(b) T(0)=15j - 25k
	
	
	(a) v(t)= -3t2i + (1 - t)e-tj -  2cos2tk
(b) T(0)=15j - 25k
	
	
	(a) v(t)=-3t2i - (1 + t)e-tj -  2cos2tk
(b) T(0)=25j - 25k
	
	 
	(a) v(t)=3t2i + (1 - t)e-tj +  2cos2tk
(b) T(0)=15j + 25k
 
	
	
	(a) v(t)=t2i + (1 + t)e-tj +  2cos2tk
(b) T(0)=-15j + 25k
	
	
	
		4.
		Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1.
		
	
	
	
	
	r'(t)=v(t)=13i - 2j
	
	 
	r'(t)=v(t)=14i + j
	
	 
	r'(t)=v(t)=12i - j
	
	
	r'(t)=v(t)=32i - j
	
	
	r'(t)=v(t)=15i - 3j
	
	
	
		5.
		Se  r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k,  então: ∫r(t)dt é:
		
	
	
	
	 
	2senti + cost j - t2 k + C
	
	 
	2sent i - cost j + t2 k + C
	
	
	sent i - t2 k + C
	
	
	πsenti - cost j + t2 k + C
	
	
	-cost j + t2 k + C
	
	
	
		6.
		Uma partícula se move no espaço com uma aceleração dada por a(t)=4ti + 6tj + k. 
Determine a sua velocidade  em um instante qualquer t.
		
	
	
	
	 
	v(t)=2t2i + 3t2j + tk + C
	
	 
	v(t)=2t2i + 3t2j - tk + C
	
	
	v(t)=2t2i + 3t2j - tk + C
	
	
	v(t)=-2t2i + 3t2j + tk + C
	
	
	v(t)=2t2i - 3t2j + tk + C
	
	
	
		7.
		Calcule o versor tangente  T(0),se:
r(t)=costi + 3tj + 2sen2tk.
		
	
	
	
	 
	T(0)=
	
	
	T(0)=<-35,45>
	
	
	T(0)=<35,-45>
	
	 
	T(0)=<35,45>
	
	
	T(0)=<-35,-45>
	
	
	
		8.
		Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t)  = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉
		
	
	
	
	
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1
	
	 
	x=1+t ; y=2+5t
	
	
	x= t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	 
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	
	x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	
	O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k
	
	
	
	
	 
	i + j + k
	
	
	i - j - k
	
	 
	- i + j - k
	
	
	j - k
	
	
	i + j - k
	
	
	
		2.
		Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais:
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k
Podemos concluir que
a) as aeronaves não colidem.
 b) as aeronaves colidem no instante t=2
c) as aeronaves colidem no instante t=5
d) as aeronaves colidem no instante t=3
e) as trajetórias não se interceptam
	
	
	
	
	 
	(d)
	
	
	(b)
	
	
	(a)
	
	 
	(c)
	
	
	(e)
	
	
	
		3.
		Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada por 
	
	
	
	
	 
	r=tg θ. cossec θ
	
	
	=cotg θ. cossec θ
	
	
	r =3 cotg θ. sec θ
	
	 
	r =3 tg θ . sec θ
	
	
	r=3 tg θ. cos θ
	
	
	
		4.
		Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única resposta correta. Considere a resposta em t=π4
	
	
	
	
	 
	(22,22,π2)
	
	
	(22,22,π4)
	
	 
	(-22,22,π2)
	
	
	(-2,2,π4)
	
	
	(-22,- 22,-π4)
	
	
	
		5.
		Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta.
	
	
	
	
	 
	(1-sent,sent,0)
	
	 
	(1-cost,sent,0)
	
	
	(1-cost,0,0)
	
	
	(1-cost,sent,1)
	
	
	(1 +cost,sent,0)
	
	
	
		6.
		Calcule o limite de:
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y)
	
	
	
	
	 
	12
	
	
	-12
	
	
	5
	
	 
	11
	
	
	- 11
	
	
	
		7.
		Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t),  indicando a única resposta correta. 
	
	
	
	
	 
	(sent,-cost,2t)
	
	
	(sect,-cost,1)
	
	
	(sent,-cost,1)
	
	 
	(-sent, cost,1)
	
	
	(sent,-cost,0)
	
	
	
		8.
		Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt,
qual a resposta correta?
	
	
	
	
	 
	(sent)i + t4j
	
	 
	(cost)i+3tj
	
	
	(cost)i-3tj
	
	
	(cost)i-(sent)j+3tk
	
	
	-(sent)i-3tj
		Quando analisamos uma função e seu gradiente, podemos afirmar que:
		
	
	
	
	
	Podemos calcular o gradiente apenas de campos vetoriais.
	
	 
	Podemos calcular o gradiente apenas de funções com mais que duas variáveis.
	
	
	Podemos calcular o gradiente apenas de funções ímpares.
	
	 
	Podemos calcular o gradiente apenas de campos escalares.
	
	
	Podemos calcular o gradiente de qualquer função.
	
	
	
		2.
		Elimine o parâmetro tpara encontrar uma equação cartesiana da curva: x=3t-5 e y=2t+1
		
	
	
	
	 
	y=(23)x-133
	
	
	y=(13)x+133
	
	
	y=(23)x+103
	
	 
	y=(23)x+133
	
	
	y=-(23)x+133
	
	
	
		3.
		Calcule as derivadas parciais da função z=3xey no ponto P0(1,ln2).
		
	
	
	
	
	∂z∂x=-6; ∂z∂y=-6.
	
	 
	∂z∂x=6; ∂z∂y=6.
	
	
	∂z∂x=ln6; ∂z∂y=ln6.
	
	
	∂z∂x=6; ∂z∂y=-6.
	
	
	∂z∂x=-6; ∂z∂y=6.
	
	
	
		4.
		Encontre o lim┬(t→3)⁡〖(3t^2 i-(2e^2t-1)j-cos⁡(tπ)k)〗
		
	
	
	
	 
	27i - (2e^6 - 1)j + k
	
	
	27i + (2e^6 - 1)j - k
	
	
	27i - (2e^3 + 1)j - k
	
	
	27i - (2e^6 - 1)j - k
	
	
	27i - (2e^3 - 1)j - k
	
	
	
		5.
		Seja  f(x,y) = (xy)1/3 .
Calcule as derivadas parciais de f nos pontos (x,y) tais que xy ≠ 0.
		
	
	
	
	 
	fx = \( { 1\over 3}\)(xy)2/3.y  e  fy =\( { 1\over 3}\)(xy)-1/3.x 
	
	
	fx = \( { 1\over 3}\)(xy)-1/3  e  fy =\( { 1\over 3}\)(xy)-1/3
	
	 
	fx = \( { 1\over 3}\)(xy)-2/3.y  e  fy =\( { 1\over 3}\)(xy)-2/3.x 
	
	
	fx = xy  e  fy = 3xy
	
	
	fx = \( { 1\over 3}\)(xy)-2/3  e  fy =\( { 1\over 3}\)(xy)-2/3
	
	
	
		6.
		Calcule as derivadas parciais da função f(x,y) = (x2 + y3).senx.
		
	
	
	
	 
	fx = 2x.senx + (x2 + y3).cosx   e fy = 3y2.senx
	
	
	fx = x.senx + (x2 + y3).cosx   e fy = 3y2.senx + x2
	
	
	fx = 2x.cosx + (2x2 + y3).senx   e fy = 3y2.senx
	
	
	fx = 2x.senx + (x2 + 3y).cosx   e fy = 3y2
	
	
	fx = 2x.senx + 2x.cosx   e fy = 3y.senx
	
	
	
		7.
		Suponha que a temperatura em um ponto P0(x,y,z) do espaço seja dada por T(x,y,z)=801+x2+2y2+3z2, onde T é medida em graus Celsius e x,y,z em metros. Calcule o vetor gradiente ∇T no ponto P0(1,1,-2).
		
	
	
	
	 
	∇T(1,1,-2)=35(-i - 2j + 6k)
	
	
	∇T(1,1,-2)=58(-i  + 2j + 6k)
	
	
	∇T(1,1,-2)=58(-i - 2j - 6k)
	
	
	∇T(1,1,-2)=58(-i - 2j + 6k)
	
	 
	∇T(1,1,-2)=58(-i - 2j + 6k)
	
	
	
		8.
		Determine as derivadas de primeira ordem da função:
 f(x,y,z) =x2y - 3xy2 + 2yz. 
		
	
	
	
	 
	fx = 2x - 3y2 , fy = x2 - 3xy + 2y,  fz = 2y
	
	 
	fx = 2xy - 3y2 , fy = x2 - 6xy + 2z,  fz = 2y
	
	
	fx = 2xy - y2 , fy = x2 - 6x + 2z,  fz = y
	
	
	fx = xy - 3y , fy = x - 6xy + 2z,  fz​​​​​​​ = 2y
	
	
	fx = 2xy - 3y , fy = x2 - 3xy + 2z,  fz = 2z
	
		1.
		Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=-e-x-e-y-e-z no ponto P0(1,1,1).
		
	
	
	
	 
	∇f=<1e,1e,1e>
	
	
	∇f=<2e,3e,4e>
	
	
	∇f=<1e,1e,-1e>
	
	
	∇f=<1e,-1e,1e>
	
	 
	∇f=<-1e,1e,1e>
	
	
	
		2.
		Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2).
		
	
	
	
	
	z=8x - 10y -30
	
	 
	z=8x-12y+18       
	
	 
	z=-8x+12y -14        
	
	
	z=-8x+12y-18     
	
	
	 z=-8x+10y-10      
	
	
	
		3.
		Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=ex+y+z, no ponto P0(ln2,ln2,ln2).
		
	
	
	
	 
	∇f=<22,22,22>
	
	 
	∇f=<22,-22,22>
	
	
	∇f=<-22,-22,-22>
	
	
	∇f=<-22,22,22>
	
	
	∇f=<22,22,-22>
	
	
	
		4.
		Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no ponto P0(-1,-1,-1)
		
	
	
	
	
	∇f=<-1,-1,-1>
	
	
	∇f=<-e,-1,-e>
	
	
	∇f=<-e,-e, e>
	
	 
	∇f=<-e,-e,-e>
	
	 
	 ∇f=<e, e,-e>
	
	
	
		5.
		Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x
		
	
	
	
	
	sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	2cos(x - 3y)
	
	 
	2sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	2sen(x - 3y)
	
	
	2sen(x + 3y)cos(x + 3y)
	
	
	
		6.
		Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma curva lisa no plano.
Considere as afirmações. Assinale (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas:
1) (   ) Quando uma partícula se move durante um intervalo de tempo I, as coordenadas da partícula são   x(t),y(t),z(t). Os pontos P(x(t),y(t),z(t)) formam uma curva que é a trajetória da partícula.
 2) (   )  A velocidade é a derivada da posição,isto é:
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt
3) (   )  O módulo da velocidade ou a magnitude da velocidade é igual a
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2.
4) (   )  A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja
a(t) = v'(t)= dv(t)dt
5) (   )  O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção do movimento no instante t.
6) (   )  r(t)é lisa se for contínua e nunca 0.
 
		
	
	
	
	
	1) (V)            2)(F)               3) (F)                4)(V)                  5) (F)                         6) (V)
	
	 
	1) (V)          2)(V)             3) (V)                    4)(V)                  5) (V)                  6) (F)
	
	
	1) (V)                  2)(F)                  3) (V)                        4) (V)                       5) (V)                6) (F)
	
	
	1) (V)                       2)(V)                     3) (F)                   4)) (V)                     5)(V)         6) (F)
	
	
	1) (V)                2)(F)               3) (V)                     4)(V)                 5) (V)                         6) (V) 
	
	
	
		7.
		Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
		
	
	
	
	
	∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2
	
	
	∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2
	
	
	∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	 
	∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	 
	∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	
	
		8.
		Calcule a velocidade de uma  partícula com vetor de posição r(t) =  (t2, et, tet).  Indique a única resposta correta.
		
	
	
	
	
	(t,et,(1+t)et)
	
	
	(2t,et,(1 - t)et)
	
	 
	(2t,et,(1+t)et)
	
	
	(2,et,(1+t)et)
	
	 
	(t,et,(2+t)et)
	
	
		1.
		Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k
	
	
	
	
	 
	(-sen t)i + (cos t)j
	
	
	(-sen t - cos t)i + (cos t)j
	
	
	(-sen t)i + (cos t)j - k
	
	
	(-sen t)i + (cos t)j + k
	
	
	(-sen t)i - (cos t)j
	
	
	
		2.
		Encontrando Primitivas.
Seja  ∫((cost)i + 3t2)j dt,
qual a  resposta correta?
	
	
	
	
	 
	(cost)i + 3tj
	
	
	-(sent)i -3tj
	
	
	(cost)i - sentj + 3tk
	
	 
	(sent)i + t³j
	
	
	(cost)i - 3tj
	
	
	
		3.
		Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk
	
	
	
	
	 
	2j
	
	
	2i + 2j
	
	
	2i
	
	
	2i + j
	
	
	i/2 + j/2
	
	
	
		4.
		Calcule e indique a única resposta correta para a integral I=∫02∫0π2xsenydydx.
	
	
	
	
	 
	-2
	
	
	2π
	
	 
	2
	
	
	π2
	
	
	nenhuma das opções de respostas
		1.
		Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4].
	
	
	
	
	
	( 203 * x^(1/2) ) / 6
	
	
	( 203 * x^(1/2) ) / 8
	
	 
	203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24
	
	
	203 * ( 3*x^(1/2) - 2 ) / 24
	
	 
	203 * ( 2*x^(1/2) - 3 ) / 24
	
	
	
		2.
		Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2].
	
	
	
	
	 
	7
	
	
	35/2
	
	
	35/6
	
	
	35/3
	
	 
	35/4
	
	
	
		3.
		Seja a integral dupla ∫∫De(y2)dA, onde D={(x,y)|0≤y≤1,0≤x≤y}. O valor dessa integral é dada por:
 
	
	
	
	
	 
	e2
	
	
	e-1
	
	
	0
	
	 
	12(e-1)
	
	
	e
	
	
	
		4.
		
	
	
	
	
	
	18 u.v
	
	 
	9/2 u.v
	
	 
	16/3 u.v
	
	
	10 u.v
	
	
	24/5 u.v
	
	
	
		5.
		Determine a integral ∫01∫02∫01-zdydxdz
	
	
	
	
	
	2
	
	 
	2-2z
	
	
	0
	
	 
	1
	
	
	1-z
	
	
	
		6.
		Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy
	
	
	
	
	 
	π
	
	
	cos(2π)-sen(π)
	
	 
	2π
	
	
	π+senx
	
	
	0
	
	
		1.
		Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t),
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z).
	
	
	
	
	
	2π
	
	
	π2
	
	 
	2π3
	
	 
	2π2
	
	
	3π2
	
	
	
		2.
		Considere uma função  de três variáveis z=f(x,y,z).
Seja z=sen(xy)+xseny .
 Encontre∂z∂uquando u=0 ;  v=1  ; x=u2 +v2   e   y=u.v.                 
	
	
	
	
	 
	 2   
	
	 
	0 
	
	
	1   
	
	
	 -2  
	
	
	   -1
	
	
	
		3.
		Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1]
	
	
	
	
	
	4
	
	
	14 * (2)^(1/2)
	
	 
	4 * (14)^(1/2)
	
	
	2 * (14)^(1/2)
	
	
	4 * (2)^(1/2)
		.
		Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). Calcular o divergente da função F(x,y,z).
	
	
	
	
	
	9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2)
	
	 
	6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) +
	
	
	6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2)
	
	
	6*x^(2)*y^(2)+ 4*z^(3) + 10*y*z
	
	 
	6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z
	
	
		1.
		Calcule ∫14∫0x32eyxdydx
	
	
	
	
	 
	 7e-7
	
	
	e-1
	
	
	7e
	
	
	7
	
	 
	e7
	
	
	
		2.
		Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx
	
	
	
	
	
	20
	
	
	10
	
	
	2
	
	 
	16
	
	 
	1
	
	
	
		3.
		Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2
	
	
	
	
	
	1
	
	 
	9/2
	
	
	1/2
	
	
	5/6
	
	 
	3
	
	
		1.
		Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2
	
	
	
	
	
	8π3
	
	
	2
	
	
	π2
	
	 
	8π2
	
	 
	82
	
	
	
		2.
		A equação de Laplace tridimensional é :
                   ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0   
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.
 Considere as funções:
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z²
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z²
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z²
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz²
                    Identifique as funções harmônicas:
	
	
	
	
	 
	1,3,4
	
	
	1,2,3
	
	
	1,2,5
	
	
	1,2,4
	
	
	1,3,5
	
	
	
		3.
		Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo limitado por x=0; y=0 e  y=1-x.
 
	
	
	
	
	 
	0
	
	
	14
	
	 
	12
	
	
	13
	
	
	15
	
	
	
		4.
		Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a curva C: a fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx
	
	
	
	
	 
	-2
	
	
	2
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	-10
	
	
	
		5.
		Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a curva C: o triângulo limitado por x = 0, x + y =1 e y = 0
	
	
	
	
	
	1
	
	
	4
	
	
	3
	
	
	2
	
	 
	0
	
	
	
		6.
		Quando uma curva  r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k ,  a≤t≤b  passa pelo domínio de uma função f(x,y,z) no espaço, os valores de  f ao longo da curva são dados pela função composta  f(g(t),h(t),l(t)). Quando integramos essa função composta em relação ao comprimento de arco de  t=a a t=b, calcula-se  a integral de linha de   f(x,y,z)   ao longo da curva.
Portanto   ∫C f(x,y,z)ds=∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt          onde   ds=|v(t)|dt
Calcule  a integral de linha    ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice circular dada por    r(t)=(sent)i+(cost)j+tK    0≤t≤1.  .
 
	
	
	
	
	
	324
	
	
	1
	
	
	233
	
	 
	423
	
	 
	2
	
	
	
		7.
		Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa  r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k,  a≤t≤b é dada pela fórmula
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt ,
encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2.
	
	
	
	
	
	 28u.c.
	
	
	7u.c.
	
	
	 49u.c.
	
	 
	 21u.c.
	
	 
	14u.c.
	
	
	
		8.
		
	
	
	
	
	
	33,19
	
	
	34,67
	
	
	32,59
	
	 
	25, 33
	
	
	53,52