Axiomas de Peano e os Números Naturais

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Axiomas são verdades inquestionáveis universalmente válidas, muitas vezes utilizadas como princípios na construção de uma teoria ou como base para uma argumentação. A palavra axioma deriva da grega axios, cujo significado é digno ou válido. Em muitos contextos, axioma é sinônimo de postulado, lei ou princípio.
 Peano considera três entes primitivos: número natural, zero e sucessor, correlacionados por cinco axiomas. Indicaremos por σ(n) o “sucessor” do número n e, para indicar o zero utiliza-se o símbolo 0. Os axiomas apresentados são os seguintes: 
0 É um número natural
Todo número natural n tem um “sucessor” σ(n) 
0 não é “sucessor” de nenhum número
Se σ(n) = σ(m), então n = m 
Considere S um conjunto de números naturais tal que: (a) 0 ∈ S (b) Se n ∈ S, implicar σ(n) ∈ S. Então, S = N.
 A última condição define o método de indução matemática. Os axiomas de Peano sustentam-se nas ideias intuitivas de conjunto e função, em que o conceito primitivo de sucessor indica uma função, isto é, cada número associa-se a outro, e, de acordo com o princípio de indução, essa função está definida em todo N. E possível verificar que as operações matemáticas são determinadas pelas 3 primitivas e pelos 5 axiomas. 
 Percebe-se claramente, que existe uma função σ: N −→ N denominada sucessora. Esta operação sucessora, indutivamente, origina uma nova operação: a operação soma, partindo de um número a, definimos m + 0 = m e dizemos que a + (σ(n)) é sucessor de (m + n) para todo n. Em outras palavras, partindo de 0, é possível “contar” quantas sucessões foram precisas para se chegar a n e a m. O número expresso por m + n é então o número equivalente a contar essas sucessões repetidas, partindo do 0. O produto de números naturais se define de modo análogo `a soma.
 A partir dos Axiomas de Peano podemos deduzir as Operações de Soma e Produto sobre os números naturais. Para formalizar a ideia intuitiva de que n é menor do que ou igual a m definimos a relação de ordem em N. 
 Num certo sentido, os axiomas de Peano podem ser entendidos como um modelo de que, intuitivamente entendemos que sejam os números naturais. A verificação das propriedades que atribuímos aos números naturais e o fato de podermos definir intrinsecamente as Operações de Soma e Produto e Relação de Ordem mostram que a Axiomática de Peano constitui-se numa modelagem satisfatória dos números naturais.