P1 2017 1 Cynthia pdf

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UFRGS - DMPA 
P1 MAT 01355 ÁLGEBRA LINEAR 1A - TURMA: A1. 18/05/2017
NOME: __________________________________________________ No cartão:
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A B C D E
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1. Considere o sistema � , é correto afirmar:

( A ) Se � o sistema não tem solução 

( B ) Se � o sistema não tem solução 

( C ) Se � o sistema não tem solução 

( D ) Se � então o sistema possui solução única 

( E ) Se � o sistema tem muitas soluções 

2. Considere a transformação linear � , podemos afirmar:

(i) T é injetora. (ii) T é sobrejetora (iii) Posto é 1 (iv) Nulidade é 2 



( A ) VVFF ( B ) VFVF ( C ) FVFF ( D ) VFVF ( E ) FVVF

3. Considere � onde � e � são 
respectivamente as colunas de � e � . É verdade que:



( A ) � ( B ) � é base para � ( C ) � 

( D ) � é base de � ( E ) � 

4. Considere o polinômio � de � e considere � 
uma base de � . O valor de � é:



( A ) � ( B ) � ( C ) � ( D ) � ( E ) � 



5. Seja � uma transformação linear, cuja matriz canônica tem 5 linhas e 3 colunas. É verdade: 

( A ) � é injetora sse a nulidade é zero. � nunca será sobrejetora.

( B ) � é injetora sse a nulidade é 3; � nunca será sobrejetora. 

( C ) � é inversível sse a nulidade é zero.

( D ) � é sobrejetora sse a nulidade é 3; � nunca será injetora. 

( E ) � é sobrejetora sse a nulidade é zero; � nunca será injetora. 



6. Seja � , onde � 

( A ) � não é uma transformação linear

( B ) Se � , � é uma transformação linear sobrejetora 

( C ) � é uma transformação Linear não inversível para qualquer valor de � 

( D ) Se � � então � 

( E ) Se � então � não é uma TL injetiva 



7. Quais conjuntos são subespaços de � ? 

� 

� 

� 

( A ) � ( B ) � ( C ) � ( D ) � ( E ) � 



x1 + x2 + x3 = 3
−x1 + 2x3 = −2
x1 − x2 + a x3 = c
a = − 5
a = 0
a = − 5 e c = 1
a = 3
c = 1
T (x1, x2, x3) = (3x2 − x3, x1 + 4x2 + x3)
A ∼ B = (
1 0 −1 0 −1
0 1 4 0 1
0 0 0 1 −1) a1, a2, . . . , a5 b1, b2, . . . , b5
A B
Dim(𝒩(AT )) = 1 {b3, b5} 𝒩(A) −a1 + a2 − a4 = a5
{b1, b2, b4} 𝒞ol(A) Posto(AT ) = 2
p(x) = 1 + 2x + 3x2 𝒫2 β = {1 , 1 + x , 1 + x + x2}
𝒫2 [p]β
(
1
2
3) (
−1
2
1 ) (
3
1
−1) (
−1
1
−1) (
−1
−1
3 )
T
T T
T T
T
T T
T T
T (x, y) = (x + k y, x + y) k ∈ ℝ
T
k = 1 T
T k
k = 0 T Dim(𝒩(T )) = 0
k ≠ 1 T
ℝ3
S1 = {(x1, x2, x3) ∈ ℝ3 /x1 + 2x2 + 3x3 = 0}
S2 = {x1, x2, x3) ∈ ℝ3 /(x1)(x2)(x3) = 0}
S3 = {(x1, x2, x3) ∈ ℝ3 /x21 + x 22 + x 23 ≤ 1}
S1 S2 S2 e S3 S1 e S2 S1, S2 e S3
8. Seja � . Para que valor de � a matriz � não é inversível? 

( A ) -1 ( B ) 0 ( C ) 2 ( D ) -2 ( E ) 1 

9. Para que valores de � a matriz NÃO possui inversa? � 



( A ) 0, 1 ( B ) � ( C ) � ( D ) 2, 0 ( E ) NRA



10. Considere � , sabendo que . denota a multiplicação de matricial, e que � e 
� , o valor da multiplicação � é:



( A ) � ( B ) � ( C ) � ( D ) � ( E ) Não há dados suficientes



11. Se � e � e � , então a nulidade de � é:



12. Seja a transformação definida por � . Então podemos afirmar que o 
espaço nulo da transformação é:



( A ) � ( B ) � ( C ) 
� 

( C ) � (D) � ( E ) NRA



13. Considere os vetores abaixo e classifique as afirmações como V ou F:

� 

( ) � é um conjunto LI

( ) � é um conjunto LI 

( ) � é um conjunto LI

( ) � é um conjunto LI

( ) � é um conjunto LI 



( A ) VFVFF ( B ) VVFFF ( C ) VVVFF ( D ) VFFFF ( E ) FFVVV 

A =
1 2 1 0
0 23 −1 2
0 0 1 2
0 0 α 2
α A
x A = (
x 1 0
1 x 1
0 1 x)
± 2 0, ± 2
A3×3 A .(
0
1
2) = (
1
0
0)
A .(
3
4
5) = (
0
1
2) A .(
3
2
1)
(
1
−3
2 ) (
1
2
2) (
−2
1
2 ) (
5
−2
−1)
u = (
1
2
3) w =
1
−1
2
3
A = uwt A
T (x1, x2, x3, x4) = (x1, x4)
{(0,α, β,0} ∈ ℝ4 /α, β ∈ ℝ} {(α, β} ∈ ℝ2 /α, β ∈ ℝ}
{(α, β,0,0} ∈ ℝ4 /α, β ∈ ℝ}
{(a , b, c, d} ∈ ℝ4 /a , b, c, d ∈ ℝ} ℝ2
w1 =
1
0
0
0
w2 =
1
2
0
0
w3 =
1
1
1
1
w4 =
0
0
1
1
w5 =
0
0
0
0
w6 =
1
1
−1
−1
{w3,w4}
{w1,w2,w3,w4}
{w1,w2,w3}
{w1,w3,w5}
{w3,w4,w6}
14. Considere uma TL � . Encontre o valor de � , sabendo que:

� , � e � :

( A ) � ( B ) � ( C ) � ( D ) � ( E ) NRA 

15. Ao reduzir uma matriz a uma forma escalonada podemos afirmar:

( A ) A imagem, o espaço Nulo e a Nulidade podem mudar, mas o posto não muda.

( B ) A imagem pode mudar, mas o posto e o espaço nulo não mudam

( C ) A imagem e o espaço nulo podem mudar mas suas dimensões não mudam

( D ) Apenas o espaço Nulo pode mudar 

( E ) Nenhuma das alternativas acima 

16. Seja a matriz � . � são 
respectivamente:



( A ) 2 e 1 ( B ) 2 e 3 ( C ) 2 e 0 ( D ) 3 e 0 ( E ) 3 e 3 

17. Considere � e que � . A matriz cânonica 
da transformação inversa � é:



( A ) � ( B ) � ( C ) � ( D ) � ( E ) � 

18. Seja � . Uma base para � é dada por:

( A ) � ( B ) � ( C ) � 

 ( A ) � ( A ) � 

19. Seja � uma matriz � inversível. Diga se é verdadeiro ou falso:



( ) As linhas de � são LI

( ) Se � e � são matrizes � e. � , então � 

( ) � é matriz canônica de uma transformação não injetiva 

( A ) VVV ( B ) VFV. ( C ) VVF ( D ) FFV. ( E ) FVF

20. Sejam � matrizes � , com � inversíveis. Considere a equação matricial 
� , onde � é a matriz identidade. Assim o valor de � é:



(A) � (B) � (C) � (D) � (E) 
�
T : ℝ3 → ℝ2 T (
1
2
1)
T (
1
1
1) = (
1
2) T (
1
2
0) = (
2
3) T (
0
1
0) = (
−1
2 )
(12) (04) (−13 ) (20)
A =
1 2 3 4 5 6
0 2 11 3 4 1
0 0 0 2 0 1
0 0 0 0 0 −7
Dim(𝒩(A)) e Dim(𝒩(AT ))
T : ℝ2 → ℝ2 T[(20)] = (22) e T[( 0−1)] = (10)
T−1
( 1 1/2−1/2 1/2) (1/2 1/21/2 0 ) (1 −11 0 ) ( 0 1−1/2 1/2) ( 0 1−1 1)
A =
1 3 3
−3 −5 −3
3 3 1
𝒩(A + 2I)
(
−1
1
0 ),(
−1
0
1 ) (
−1
1
0 ),(
1
−1
0 ) (
−1
0
1 ),(
−1
0
−1)
(
1
0
0),(
1
−1
0 ) (
−1
0
1 ),(
0
0
1)
A n × n
A
B C n × n AB = AC B = C
A
A,B,C,X n × n A,B,C
C(I + AX)B−1 = I I X
A−1(BC−1 − I) (C−1B − I)A−1 (BC−1 − I)A (B−1C − I)A
A−1(C−1B − I)