prova1a

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1a. prova de EDA - 31/3/2005 - 7:30
Questa˜o 1. (7 pontos)
A massa y(t) de um elemento radioativo no tempo t obedece ao seguinte
problema de valor inicial {
y′ = −ky
y(0) = y0
, (1)
onde k e´ constante positiva dependente somente do elemento considerado e y0
e´ a massa inicial.
(a) Prove que a raza˜o entre a massa no tempo t e a massa inicial e´ indepen-
dente da massa inicial, dependendo somente de t.
(b) A meia-vida de um elemento e´ definida como o tempo T1/2 necessa´rio para
que uma massa inicial do elemento seja reduzida a` metade. Encontre uma
fo´rmula que relacione a meia-vida a` constante k.
Questa˜o 2. (8 pontos)
(a) Sendo v(t) = 1y(t)2 , obtenha uma fo´rmula que exprima y
′(t) unicamente
em termos de v′(t) e v(t).
Sugesta˜o: Regra da cadeia.
(b) Mostre que a mudanc¸a de varia´vel v(t) = 1y(t)2 transforma a equac¸a˜o de
Bernoulli y′ − 2t y = −
y3
t3 na equac¸a˜o v
′ + 4t v =
2
t3 .
(c) Resolva o problema de valor inicial
{
y′ − 2t y = −
y3
t3
y(1) = 2
. (2)
Questa˜o 3. (5 pontos)
(a) Resolva o problema de valor inicial{
y′ = ey
y(t0) = y0
. (3)
(b) Mostre que nenhuma soluc¸a˜o do problema acima esta´ definida para todo
t ∈ R.
(c) Explique usando o teorema de existeˆncia e unicidade o fato mencionado
em (b).
Questa˜o 4. (5 pontos)
Esboce o campo de direc¸o˜es tangente a`s soluc¸o˜es de y′ = y(y − 2). Deixe
claro em seu esboc¸o as soluc¸o˜es de equil´ıbrio. Comente sobre a estabilidade de
cada uma das soluc¸o˜es de equil´ıbrio.