AP3 MD2 2012.2 GABARITO

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP3 – Me´todos Determin´ısticos II
Questa˜o 1 [3,0 pts] Responda as seguintes questo˜es a respeito da func¸a˜o f(x) = x
x+1
.
(a) Determine o dom´ınio de f ;
(b) Calcule f ′ e f ′′;
(c) Fac¸a um estudo do sinal de f ′ e f ′′ e com estas informac¸o˜es explique onde f e´ crescente e
decrescente e as concavidades de f .
(d) Calcule os limites laterais quanto x tende a −1, ale´m disso, calcule o limite quando x → ∞ e
x→ −∞.
(e) Junte todas estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o: a) (Vale 0, 4pt) Df = {x ∈ R : x 6= −1}
b)(Vale 1, 2pt sendo 0, 6pt para f ′ e 0, 6pt para f ′′) As derivadas sa˜o
f ′(x) =
1
(x+ 1)2
e f ′′(x) = − 2
(x+ 1)3
c) (o total desse item e´ 0, 6pt sendo 0, 3pt para a ana´lise do sinal de f ′ e 0, 3pt para a ana´lise do
sinal de f ′′) Se x 6= −1 e como o denominador (x + 1)2 > 0, temos que f ′(x) > 0. Portanto, f e´
crescente para todo valor x 6= −1. Ja´ f ′′(x) depende apenas do sinal de (1+x)3. Enta˜o, f ′′(x) > 0
se x < −1 e f ′′(x) < 0 se x > −1.
d) (Vale 0, 4pt)
lim
x→−1+
x
x+ 1
= −∞ e lim
x→−1−
x
x+ 1
= +∞.
lim
x→−∞
x
x+ 1
= 1 = lim
x→+∞
x
x+ 1
.
e) (Vale 0, 4pt) Para fazer o gra´fico, comece marcando a reta tracejada x = −1 (uma vez que esse
ponto na˜o pertence ao dom´ınio), depois marque a reta tracejada y = 1 (e´ a reta ass´ıntota). Sabemos
que no intervalo (−∞,−1), f e´ crescente, com boca voltada para cima, ja´ que f ′′ > 0 e quando
x→ −∞ f(x)→ 1 e quando x→ −1− temos que f(x)→ +∞, com essas informac¸o˜es podemos
fazer o gra´fico da primeira parte da func¸a˜o. Para a segunda parte, veja que no intervalo (1,∞), f
e´ decrescente, com boca voltada para baixo, ja´ que f ′′ < 0 e quando x→ +∞ f(x)→ 1 e quando
x → −1+ temos que f(x) → −∞, com essas informac¸o˜es podemos fazer o restante do gra´fico da
func¸a˜o e obtemos
Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 2
Figura 1: Gra´fico de f(x)
Questa˜o 2 [2,5 pts]
A receita R para uma quantidade q vendida, 0 ≤ q ≤ 30, e dada por R(q) = −q3+30q2. Determine:
(a) Os intervalos de crescimento e de decrescimento da receita.
(b) Os pontos de ma´xima e de m´ınima receita e os valores ma´ximo e m´ınimo dessa receita.
Soluc¸a˜o: (a) (vale 1, 5pts - caso o aluno acerte a ana´lise, mas use o intervalo de (−∞,∞) esse item
so´ valera´ 1, 0pt) Para determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento de R precisamos
analisar o sinal de R′. Derivando temos
R′(q) = 60q − 3q2 = 3q(20− q).
A derivada e´ uma equac¸a˜o do 2o grau cujo o coeficiente do termo quadra´tico e´ negativo, e tem
ra´ızes 0 e 20. Portanto, no intervalo que estamos interessados R(q) e´ crescente se 0 ≤ q ≤ 20 e
decrescente se 20 ≤ q ≤ 30.
(vale 1, 0pt) (b) Como a derivada se anula em 0 e 20 e como R(0) = 0 e R(20) = 4000 seque que
zero e´ ponto de m´ınimo e 20 e´ ponto de ma´ximo. Para a ana´lise ficar completa e´ preciso verificar
nos extremos do intervalo em que a func¸a˜o esta definida, como R(0) ja´ foi calculada, resta calcular
R(30) = 0.
O aluno que fez a ana´lise por calcular R(0), R(1), . . . , R(30) ganhara´ 1, 5pt se fizer as considerac¸o˜es
de forma correta. Por ser uma func¸a˜o muito simples que permite esse tipo de abordagem, fazer a
questa˜o dessa forma descaracteriza o objetivo dessa avaliac¸a˜o que e´ verificar se o aluno assimilou os
conceitos do ca´lculo diferencial para analise do comportamento das func¸o˜es usando o comportamento
das suas derivadas.
Questa˜o 3 [2,0 pts]
a)
∫
x(1 + 2x4) dx b)
∫
x6−x2
x4
dx
c)
∫
2x− xex dx d) ∫ u(√u+ 3√u) du
Soluc¸a˜o: a) (Vale 0, 5pt) ∫
x(1 + 2x4) dx =
x6
3
+
x2
2
+K
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Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 3
b) (Vale 0, 5pt) ∫
x6 − x2
x4
dx =
x3
3
+
1
x
+K
c) (Vale 0, 5pt) ∫
2x− xex dx = x2 − ex(x− 1) +K
d) (Vale 0, 5pt) ∫
u(
√
u+ 3
√
u) du =
2u5/2
5
+
3u7/3
7
+K.
Questa˜o 4 [2,5 pts] Calcule a a´rea da regia˜o delimitada por y = 1 e y = 4
√
x e o eixo y.
Soluc¸a˜o: (Vale 1, 0pt se montar a integral de forma correta, se realizar o ca´lculo da integral corre-
tamente vale os 1, 5pts restantes) Vamos encontrar onde os gra´ficos se interceptam, isto e´, vamos
resolver
4
√
x = 1⇔ x = 14 = 1.
Fazendo o gra´fico, podemos ver qual a regia˜o que queremos encontrar a a´rea e´
Figura 2: Regia˜o entre y = 1 e y = 4
√
x
Como 4
√
x ≤ 1, para todo 0 ≤ x ≤ 1 enta˜o, para encontrarmos a a´rea, temos que integrar 1− 4√x
entre 0 e 1, isto e´, ∫ 1
0
1− 4√x dx =
[
x− 4x
5/4
5
]1
0
=
1
5
.
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