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AP3 MD2 2015.1 GABARITO

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Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 1
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP3 – Me´todos Determin´ısticos II – 14/06/2015
Questa˜o 1 [2,0 pts] Fac¸a um estudo da func¸a˜o f(x) = x3 − x2 − x+ 1, isto e´, calcule: dom´ınio,
a 1a e 2a derivada, intervalos de crescimento/decrescimento e pontos de inflexa˜o (se houver), limites
de x→ ±∞. Utilize estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico.
Soluc¸a˜o: (Dom´ınio) (Vale: 0,4pt dom´ınio e 1a e 2a derivada, 0,8pt estudo dos intervalos de
de/crescimento e a concavidade, ale´m dos limites de x → ±∞, 0,8pt esboc¸o do gra´fico) Por ser
uma func¸a˜o polinomial o dom´ınio e´ todos os reais. (1a e 2a derivada) Derivando temos
f ′(x) = 3x2 − 2x− 1 e f ′′(x) = 6x− 2.
intervalos de crescimento/decrescimento fazendo f ′(x) = 0 temos x = 1 ou x = −1
3
. Como
a derivada e´ uma func¸a˜o de grau 2. Sabemos que para x < −1
3
ou x > 1 f ′(x) > 0 e no intervalo
−1
3
< x < 1 f ′(x) < 0. Ale´m disso, igualando f ′′(x) = 0 obtemos x = 1
3
. Portanto, a nossa func¸a˜o
e´ crescente se x < −1
3
ou x > 1 e decrescente no restante, tem concavidade voltada para baixo se
x < 1
3
e voltada para cima se x > 1
3
e o ponto x = 1
3
e´ um ponto de inflexa˜o.
Limites Calculando
lim
x→+∞
[x3 − x2 − x+ 1] = lim
x→+∞
x3[1− 1
x
− 1
x2
+
1
x3
] = +∞.
lim
x→−∞
[x3 − x2 − x+ 1] = −∞.
Ja´ temos os elementos necessa´rios para fazer o esboc¸o do gra´fico. Observe que f(−1
3
) = 32
27
> 0,
como ela vai para limx→−∞ f(x) = −∞, antes deste ponto deve haver uma raiz. Como e´ um
polinoˆmio e´ fa´cil de perceber que as ra´ızes sa˜o x = ±1.
Para fazer o esboc¸o marque os pontos −1,−1
3
, 1
3
e x = 1 no eixo x e depois siga as informac¸o˜es que
foram deduzidas.
Questa˜o 2 [2,0 pts] Um banco oferece juros anual I(t), em %, dependendo do tempo t, em anos,
que o investidor esteja disposto a manter o investimento. I(t) e´ dado por:
I(t) =
160t
t2 + 16
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 2
Determine quantos anos deve manter o investimento para ter lucro ma´ximo. Se o investimento e´
aplicado indeterminadamente, os juros podem ser negativos?
Soluc¸a˜o: (Vale: 0,8pt derivar e encontrar os pontos cr´ıticos, 0,8pt calcular a 2a derivada e verificar
se e´ ma´ximo ou m´ınimo local, 0,2pt calcular o limite de t → ∞) Determinando os pontos cr´ıticos
obtemos
I ′(x) = −160(t
2 − 16)
(t2 + 16)2
.
I ′(t) = 0 se, e somente se, t = −4 ou t = 4. Como t ≥ 0, t = 4 e´ o u´nico ponto cr´ıtico que nos
interessa. A segunda derivada:
I ′′(t) =
320t(t2 − 48)
(t2 + 16)3
⇒ I ′′(4) = −5
4
< 0
logo, t = 4 e´ um ponto de ma´ximo relativo e I(4) = 20. O investimento recebe o lucro ma´ximo de
20% em 4 anos. Ale´m disso,
lim
t→+∞
I(t) = 0.
Logo, y = 0 e´ uma ass´ıntota. O lucro diminui ao longo do tempo, mas nunca e´ negativo.
Questa˜o 3 [2,0 pts] Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = 2x+ 1
x
+ 1
x2
b) g(t) = t+
4√t
t2+3
Soluc¸a˜o: (cada item vale 1,0pt) a) derivando obtemos
f ′(x) = − 2
x3
− 1
x2
+ 2.
b) Usando a regra do quociente obtemos
g′(t) =
−7t5/4
4
+ 3
4t3/4
− t2 + 3
(t2 + 3)2
.
Questa˜o 4 [2,0 pts] Calcule as integrais abaixo:
a)
∫
2x dx
1+x2
b)
∫ 2
0
xex
2
dx
Soluc¸a˜o: (cada item vale 1,0pt) a) Chamado u = 1 + x2 ⇒ du = 2xdx e∫
2x dx
1 + x2
=
∫
du
u
= ln(u) + k = ln(1 + x2) + k.
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Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 3
b) Chamando t = x2 ⇒ dt = 2xdx e quando x = 0⇒ t = 0 e x = 2⇒ t = 4 da´ı∫ 2
0
xex
2
dx =
∫ 4
0
1
2
et dt = [
1
2
et]40 =
1
2
(e4 − 1).
Questa˜o 5 [2,0 pts] Considere a regia˜o delimitada pela para´bola y = x2 e pela curva y =
√
x.
Fac¸a um esboc¸o da regia˜o e calcule a a´rea dessa regia˜o.
Soluc¸a˜o: (Vale:0,5pt encontrar os pontos que os gra´ficos se interceptam, 0,5pt fazer um esboc¸o da
regia˜o, 1,0pt se montar a integral corretamente e fazer as contas para determinar a a´rea) Localizando
os valores de x para os quais as curvas se interceptam, obtemos
x2 =
√
x⇒ x4 − x = 0⇒ x = 0 e x = 1.
fazendo esboc¸o obtemos
Veja a a´rea a calcular e´ a regia˜o entre o
√
x ≤ y ≤ x2 para 0 ≤ x ≤ 1, portanto
A =
∫ 1
0
√
x− x2 dx =
[
2x3/2
3
− x
3
3
]1
0
=
1
3
.
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