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Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 1 Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da AP3 – Me´todos Determin´ısticos II – 14/06/2015 Questa˜o 1 [2,0 pts] Fac¸a um estudo da func¸a˜o f(x) = x3 − x2 − x+ 1, isto e´, calcule: dom´ınio, a 1a e 2a derivada, intervalos de crescimento/decrescimento e pontos de inflexa˜o (se houver), limites de x→ ±∞. Utilize estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico. Soluc¸a˜o: (Dom´ınio) (Vale: 0,4pt dom´ınio e 1a e 2a derivada, 0,8pt estudo dos intervalos de de/crescimento e a concavidade, ale´m dos limites de x → ±∞, 0,8pt esboc¸o do gra´fico) Por ser uma func¸a˜o polinomial o dom´ınio e´ todos os reais. (1a e 2a derivada) Derivando temos f ′(x) = 3x2 − 2x− 1 e f ′′(x) = 6x− 2. intervalos de crescimento/decrescimento fazendo f ′(x) = 0 temos x = 1 ou x = −1 3 . Como a derivada e´ uma func¸a˜o de grau 2. Sabemos que para x < −1 3 ou x > 1 f ′(x) > 0 e no intervalo −1 3 < x < 1 f ′(x) < 0. Ale´m disso, igualando f ′′(x) = 0 obtemos x = 1 3 . Portanto, a nossa func¸a˜o e´ crescente se x < −1 3 ou x > 1 e decrescente no restante, tem concavidade voltada para baixo se x < 1 3 e voltada para cima se x > 1 3 e o ponto x = 1 3 e´ um ponto de inflexa˜o. Limites Calculando lim x→+∞ [x3 − x2 − x+ 1] = lim x→+∞ x3[1− 1 x − 1 x2 + 1 x3 ] = +∞. lim x→−∞ [x3 − x2 − x+ 1] = −∞. Ja´ temos os elementos necessa´rios para fazer o esboc¸o do gra´fico. Observe que f(−1 3 ) = 32 27 > 0, como ela vai para limx→−∞ f(x) = −∞, antes deste ponto deve haver uma raiz. Como e´ um polinoˆmio e´ fa´cil de perceber que as ra´ızes sa˜o x = ±1. Para fazer o esboc¸o marque os pontos −1,−1 3 , 1 3 e x = 1 no eixo x e depois siga as informac¸o˜es que foram deduzidas. Questa˜o 2 [2,0 pts] Um banco oferece juros anual I(t), em %, dependendo do tempo t, em anos, que o investidor esteja disposto a manter o investimento. I(t) e´ dado por: I(t) = 160t t2 + 16 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 2 Determine quantos anos deve manter o investimento para ter lucro ma´ximo. Se o investimento e´ aplicado indeterminadamente, os juros podem ser negativos? Soluc¸a˜o: (Vale: 0,8pt derivar e encontrar os pontos cr´ıticos, 0,8pt calcular a 2a derivada e verificar se e´ ma´ximo ou m´ınimo local, 0,2pt calcular o limite de t → ∞) Determinando os pontos cr´ıticos obtemos I ′(x) = −160(t 2 − 16) (t2 + 16)2 . I ′(t) = 0 se, e somente se, t = −4 ou t = 4. Como t ≥ 0, t = 4 e´ o u´nico ponto cr´ıtico que nos interessa. A segunda derivada: I ′′(t) = 320t(t2 − 48) (t2 + 16)3 ⇒ I ′′(4) = −5 4 < 0 logo, t = 4 e´ um ponto de ma´ximo relativo e I(4) = 20. O investimento recebe o lucro ma´ximo de 20% em 4 anos. Ale´m disso, lim t→+∞ I(t) = 0. Logo, y = 0 e´ uma ass´ıntota. O lucro diminui ao longo do tempo, mas nunca e´ negativo. Questa˜o 3 [2,0 pts] Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo: a) f(x) = 2x+ 1 x + 1 x2 b) g(t) = t+ 4√t t2+3 Soluc¸a˜o: (cada item vale 1,0pt) a) derivando obtemos f ′(x) = − 2 x3 − 1 x2 + 2. b) Usando a regra do quociente obtemos g′(t) = −7t5/4 4 + 3 4t3/4 − t2 + 3 (t2 + 3)2 . Questa˜o 4 [2,0 pts] Calcule as integrais abaixo: a) ∫ 2x dx 1+x2 b) ∫ 2 0 xex 2 dx Soluc¸a˜o: (cada item vale 1,0pt) a) Chamado u = 1 + x2 ⇒ du = 2xdx e∫ 2x dx 1 + x2 = ∫ du u = ln(u) + k = ln(1 + x2) + k. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 3 b) Chamando t = x2 ⇒ dt = 2xdx e quando x = 0⇒ t = 0 e x = 2⇒ t = 4 da´ı∫ 2 0 xex 2 dx = ∫ 4 0 1 2 et dt = [ 1 2 et]40 = 1 2 (e4 − 1). Questa˜o 5 [2,0 pts] Considere a regia˜o delimitada pela para´bola y = x2 e pela curva y = √ x. Fac¸a um esboc¸o da regia˜o e calcule a a´rea dessa regia˜o. Soluc¸a˜o: (Vale:0,5pt encontrar os pontos que os gra´ficos se interceptam, 0,5pt fazer um esboc¸o da regia˜o, 1,0pt se montar a integral corretamente e fazer as contas para determinar a a´rea) Localizando os valores de x para os quais as curvas se interceptam, obtemos x2 = √ x⇒ x4 − x = 0⇒ x = 0 e x = 1. fazendo esboc¸o obtemos Veja a a´rea a calcular e´ a regia˜o entre o √ x ≤ y ≤ x2 para 0 ≤ x ≤ 1, portanto A = ∫ 1 0 √ x− x2 dx = [ 2x3/2 3 − x 3 3 ]1 0 = 1 3 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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