Relatório Técnico Pêndulo Simples

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PÊNDULO SIMPLES
Universidade Estácio de Sá - Campus Vitória/ES
Turma CCE 1155 - Terça-feira – Noite – 1º Horário – Física Experimental II
Resumo: Este trabalho descreve o experimento realizado no Laboratório de Física II, que consiste em analisar o comportamento do movimento periódico de oscilação de um pêndulo simples com a finalidade de obter o valor da aceleração gravitacional local e verificar a dependência do período de oscilação com a massa e o comprimento do pêndulo.
Palavras-chave: Ondulatória, Movimento Harmônico Simples (MHS), Pêndulo Simples.
1. INTRODUÇÃO E FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Chamamos de Pêndulo Simples o sistema que é composto por um corpo que realiza oscilações preso à extremidade de um fio ideal. As dimensões do corpo são desprezadas quando comparadas ao comprimento do fio. Veja a figura abaixo:
 
Figura 1 – Oscilação do pêndulo simples.
Fonte: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/pendulo-simples.htm
Conhecidas as forças que atuam sobre um sistema oscilante, podemos calcular o período (T) do movimento através da seguinte equação:
(1)
Onde:
T: Período (s).
L: Comprimento do fio (m). 
g: Gravidade local (m/s²). 
Isolando g na equação (1), obtém-se um a expressão para calcular o valor da gravidade através do pêndulo simples: 
(2)
 Onde L é o comprimento do pêndulo e T é o período de oscilação.
Sendo L o comprimento do fio, e g a aceleração da gravidade, desde que o ângulo θ seja no máximo 15º, podemos dizer que o período não depende da amplitude e nem da massa do corpo preso à extremidade do fio. 
Caso consideremos os valores de θ pequenos, podemos considerar que o movimento desse corpo é retilíneo e a altura h (figura abaixo) é praticamente igual ao comprimento L:
Figura 2 – P: intensidade do peso; R: intensidade da força resultante.
Fonte: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/pendulo-simples.htm
Fórmula utilizada para encontrar o período experimental T (s ):
(3)
Fórmula utilizada para encontrar a frequência experimental f (Hz): 
(4)
2. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO
2.1. Experimento I:
Montou-se o pêndulo em um suporte universal, utilizando uma massa m1 e um fio de polipropileno com o comprimento de 80 cm;
Ajustou-se a posição do suporte universal sobre a bancada para delimitar a amplitude de oscilação;
Em seguida, o pêndulo foi deslocado da sua posição de equilíbrio por um pequeno ângulo (aproximadamente 10°) e sua massa colocada para oscilar;
Utilizando um cronômetro, registrou-se o tempo de duração de uma série de dez oscilações para medir a duração de um único período. Esse processo foi repetido cinco vezes;
Repetiram-se os procedimentos acima para deslocamento do pêndulo de uma grande amplitude.
Compararam-se os resultados obtidos.
2.2. Experimento II:
Montou-se o pêndulo em um suporte universal, utilizando uma massa m1 e um fio de polipropileno com comprimento de 70 cm;
Ajustou-se a posição do suporte universal sobre a bancada para delimitar a amplitude de oscilação;
Em seguida, o pêndulo foi deslocado da sua posição de equilíbrio por um pequeno ângulo (aproximadamente 10°) e sua massa colocada para oscilar;
Utilizando um cronômetro, registrou-se o tempo de duração de uma série de dez oscilações para medir a duração de um único período. Esse processo foi repetido cinco vezes;
Repetiu-se os procedimentos 2 até 4 diminuindo o fio do pêndulo para comprimentos de 60 cm, 50 cm, 40 cm, 30 cm e 20 cm, mantendo o valor da massa;
Determinou-se o valor da aceleração da gravidade a partir da equação 2, utilizando o valor do período experimental obtido;
Compararam-se os resultados obtidos com o valor da aceleração da gravidade 
g = 9,8 m /s².
Por fim, substitui-se a massa m1 do pêndulo por uma massa maior m2 e repetiu-se todo o procedimento anterior.
Materiais utilizados:
Tripé com uma haste longa;
Pêndulo Simples;
Sistema de regulagem de comprimento;
Régua;
Cronômetro;
3. RESULTADOS OBTIDOS
A seguir são apresentadas as tabelas com os valores encontrados através dos dados coletados e cálculos realizados nos procedimentos experimentais:
Experimento I: 
Massa m1 e um fio de polipropileno com o comprimento de 80 cm.
	n
	PEQUENA AMPLITUDE
	GRANDE AMPLITUDE
	
	t (s)
	T (s)
	f (Hz)
	T médio
	f médio
	t (s)
	T (s)
	f (Hz)
	T médio
	f médio
	1
	18,23
	1,82
	0,55
	1,81
	0,55
	18,39
	1,84
	0,54
	1,84
	0,54
	2
	17,95
	1,80
	0,56
	
	
	18,37
	1,84
	0,54
	
	
	3
	18,13
	1,81
	0,55
	
	
	18,47
	1,85
	0,54
	
	
	4
	18,27
	1,83
	0,55
	
	
	18,33
	1,83
	0,55
	
	
	5
	18,11
	1,81
	0,55
	
	
	18,30
	1,83
	0,55
	
	
Tabela 1 – Tempo de oscilação completa.
Aplicaram-se as equações (3) e (4) para realização dos cálculos do período e frequência do pêndulo para preenchimento das colunas (2), (3), (7) e (8) da tabela 1.
Experimento II: 
Parte I - Massa m1 e um fio de polipropileno com os comprimentos de 70 cm, 60 cm, 50 cm, 40 cm, 30 cm e 20 cm. 
Tabela 2 – Tempo de oscilação completa do pêndulo com massa m1.
Através dos dados de comprimento do fio e do período ao quadrado, obteve-se o seguinte gráfico:
Gráfico 1 - Relação entre o período (T²) e comprimento do fio (m).
Parte II - Massa m2 e um fio de polipropileno com os comprimentos de 70 cm, 60 cm, 50 cm, 40 cm, 30 cm e 20 cm. 
Tabela 3 – Tempo de oscilação completa do pêndulo com massa m2.
Através dos dados de comprimento do fio e do período ao quadrado, obteve-se o seguinte gráfico:
Gráfico 2 - Relação entre o período (T²) e comprimento do fio (m).
Cálculos realizados:
Os períodos para uma oscilação e frequência dos pêndulos foram obtidos através das fórmulas (3) e (4):
e
 
Aplicou-se a fórmula (1) para cálculo do período de oscilação T teórico e preenchimento da coluna (8) das tabelas (2) e (3):
Com os valores médios dos períodos ao quadrado e os valores do comprimento de cada pêndulo, utilizou-se o Excel e suas funcionalidades nativas, para determinar os parâmetros de uma regressão linear e determinou-se a equação e o valor de r² diretamente no gráfico de dispersão (1) e (2). 
Sendo a regressão linear determinada por uma reta (Y = b + aX), calculou-se:
O coeficiente linear da reta (b) = 0,068615238
O coeficiente angular da reta (a) = 3,857114286
O coeficiente de determinação (r²) = 0,994544574
Para calcular a aceleração da gravidade local, aplicou-se a equação (2) para preenchimento das colunas (10) das Tabelas 2 e 3: 
Porém, existem incertezas associadas a estes valores obtidos, que devem ser expressas junto aos mesmos para fornecer o resultado com precisão. No caso do comprimento do fio, foi adotado para este experimento apenas o erro instrumental como sendo a incerteza final, podendo ser calculada da seguinte forma: 
Onde 1 mm é a menor medida do instrumento utilizado. Isso vale para os três pêndulos, visto que as suas medidas foram feitas com a mesma fita métrica.
A medida do período também envolve o erro instrumental, r, que para este experimento foi adotado por convenção o valor de 0,1s. Mas para determinar sua incerteza padrão final, deve-se também levar em conta a dispersão das medidas em relação à média x para cada pêndulo. Essa dispersão pode ser estimada através da fórmula de desvio padrão:
Para o pêndulo A: = 0,0002 s
Para o pêndulo B: = 0,0001 s
Para o pêndulo C: = 0 s
Para o pêndulo D: = 0 s
Para o pêndulo E: = 0,005 s
Para o pêndulo F: = 0 s
Para cálculo do desvio padrão do valor médio, aplicou-se aseguinte fórmula: 
Para o pêndulo A: = 0,0002 s = 0,00009 s
 5 
Para o pêndulo B: = 0,0001 s = 0,00004 s
 5 
Para o pêndulo C: = 0s
Para o pêndulo D: = 0s
Para o pêndulo E: = 0,005 s = 0,0002 s
 5 
Para o pêndulo C: = 0s
Para calcular a incerteza padrão final, foi aplicada a fórmula:
Para o pêndulo A: = 0,10s
Para o pêndulo B: = 0,10s
Para o pêndulo C: = 0s
Para o pêndulo D: = 0s
Para o pêndulo E: = 0,10 s
Para o pêndulo F: = 0s
Após calcular a incerteza padrão, pode-se representar o valor final da medida do período de oscilação de cada pêndulo:
Para o pêndulo A: TA = (1,64 ± 0,10) s
Para o pêndulo B: TB = (1,57 ± 0,10) s
Para o pêndulo C: TC = 1,42 s
Para o pêndulo D: TD = 1,27 s
Para o pêndulo E: TE = (1,11 ± 0,10) s
Para o pêndulo F: TF = 0,90 s
Como a gravidade depende de outras grandezas, para calcular a sua incerteza padrão final deve-se levar em conta a propagação das incertezas envolvidas nas medidas do período e do comprimento, que são as grandezas das quais ela depende. A incerteza padrão final da gravidade pode ser calculada através da fórmula:
Onde g é a incerteza padrão final da gravidade, g o valor da gravidade, T é a incerteza padrão final do período, T é o valor médio do período, L é a incerteza g padrão final do comprimento, L é o valor médio do comprimento, e A e B são os coeficientes do período e comprimento, respectivamente da fórmula (2).
Substituindo os valores na equação acima, obtém-se o valor da incerteza padrão final da gravidade para cada um dos pêndulos.
Para o pêndulo A:
Para o pêndulo B: 
Para o pêndulo C: 
Para o pêndulo D: 
Para o pêndulo E: 
Para o pêndulo F: 
A partir dos valores obtidos, é possível expressar os resultados finais da gravidade local medida por cada pêndulo.
Para o pêndulo A: gA = (10,27 ± 1,93) m/s²
Para o pêndulo B: gB = (9,61 ± 2,02) m/s²
Para o pêndulo C: gC = (9,79 ± 1,96) m/s²
Para o pêndulo D: gD = (9,79 ± 2,45) m/s²
Para o pêndulo E: gE = (9,61 ± 3,64) m/s²
Para o pêndulo F: gF = (9,75 ± 4,87) m/s²
Para comparação do valor esperado da aceleração da gravidade local com os valores obtidos, foi utilizada a fórmula do erro relativo, que é expressa por: 
Onde é o valor real esperado e o valor médio obtido. Assim, é possível calcular o erro percentual para cada valor médio obtido:
Para o pêndulo A:
 
Para o pêndulo B:
 
Para o pêndulo C:
Para o pêndulo D:
Para o pêndulo E:
Para o pêndulo F:
5. ANÁLISE DOS DADOS
Com base nos dados da Tabela 1, discuta os valores encontrados para a frequência e o período de oscilação. Explique o seu resultado considerando a amplitude da oscilação. Existe alguma relação entre a amplitude e o período de oscilação?
O que ocorre com o período do pêndulo quando diminuímos seu comprimento?
A partir dos dados da Tabela 2, faça um gráfico de T² em função do comprimento do fio e trace a melhor reta que se ajusta a esses dados.
Obtenha os coeficientes angular e linear desta reta e obtenha a aceleração da gravidade e sua respectiva incerteza. Compare seu resultado com o valor adotado no laboratório.
O que ocorre com o período do pêndulo quando aumentamos a massa suspensa?
A partir dos dados da Tabela 3, faça um gráfico de T² em função do comprimento do fio e trace a melhor reta que se ajusta a esses dados.
Obtenha os coeficientes angular e linear desta reta e obtenha a aceleração da gravidade e sua respectiva incerteza. Compare seu resultado com o valor adotado no laboratório.
Compare seu resultado com o anterior e mostre que o período de oscilação de um pêndulo simples não depende da massa.
6. CONCLUSÃO
O experimento referente ao movimento harmônico simples (MHS) demonstrado pelo pêndulo simples mostra que o período de oscilação independe da amplitude, ou seja, da altura em que a massa é abandonada. Com base nos valores encontrados na Tabela 1, período e amplitude são diretamente proporcionais, e estes em relação à frequência são inversamente proporcionais, pois à medida que o deslocamento do pêndulo aumenta a frequência diminui na mesma proporção.
A partir da análise das tabelas 2 e 3, nota-se que ao variarmos o comprimento do pêndulo, o período e a frequência variam, ou seja, quando diminuímos o comprimento do pêndulo, o período também diminui e a frequência aumenta e quando aumentamos o comprimento do pêndulo, o período aumenta e a frequência diminui. Essa variação se comprova através dos gráficos 1 e 2, que representam a relação entre o comprimento do pêndulo e seu período de oscilação.
Com relação à massa pendular, pode-se verificar nos dados das Tabelas 2 e 3, que a alteração do peso da massa não influencia no período T do movimento, ou seja, os pêndulos de mesmo comprimento L, mas de massas diferentes m1 e m2, apresentam o mesmo período T. Porém, a variação do comprimento do pêndulo altera seu valor e consequentemente, o valor da frequência será alterado, já que período e frequência estão relacionados por serem grandezas inversamente proporcionais, e que período e comprimento do pêndulo são diretamente proporcionais. 
Deste modo, conclui-se que o período de oscilação e a frequência de um pêndulo simples dependem apenas da aceleração da gravidade e do comprimento do fio do pêndulo.
Quanto à determinação da aceleração da gravidade, pode-se concluir que o método utilizado no experimento é eficaz, pois os valores calculados estão próximos do valor adotado em laboratório, e considerando as incertezas, são totalmente compatíveis. As tabelas 2 e 3 mostram os baixos valores percentuais de erro obtidos quando comparados os valores da gravidade experimental com o valor real através do erro relativo.
6. REFERÊNCIAS
https://educacao.uol.com.br/disciplinas/fisica/lei-de-stevin-teoria-e-aplicacoes.htm (Acessado em 21/09/17 às 15h:22min)
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo. php> (Acessado em 21/09/17 às 09h56min).
https://www.passeidireto.com/arquivo/25185187/relatorio-pendulo-simples-para-determinacao-da-aceleracao-da-gravidade (Acessado em 25/09/17 às 21h47min e 26/09/17 às 09h23min ).
http://fisicaevestibular.com.br/novo/mecanica/dinamica/mhs/pendulo-simples/ (Acessado em 25/09/17 às 17h47min).
http://www.ft.unicamp.br/~lfavila/EB204/EXPERIMENTO_III_PenduloSimples_Roteiro.pdf (Acessado em 25/09/17 às 21h47min).
https://usuariosdoexcel.wordpress.com/2013/07/28/0192-regressao-linear-excel/ (Acessado em 26/09/17 às 14h32min).