ListaoEquacoesdiferenciais 20170320160237

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LISTÃO PROVA INTEGRADORA 
Centro Universitário UNA 
 Equações Diferenciais 
 
 
Questões objetivas 
 
1. Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional a quantidade 
presente. Observa-se que após 1 hora houve uma redução de 10% da 
quantidade inicial da substância, determine a meia-vida da substância. 
 
(A) 6.6 horas 
(B) 8.4 horas 
(C) 5.7 horas 
(D) 4.4 horas 
 
 
2. Devido a uma maldição rogada por uma tribo vizinha, os membros de uma 
aldeia são gradualmente impelidos ao assassinato ou ao suicídio. A taxa de 
variação da população é −2√𝑝 pessoas por mês, quando o número de 
pessoas é p. Quando a maldição foi rogada, a população era de 1600. Quando 
morrerá toda a população da aldeia? 
 
(A) 36 meses 
(B) 38 meses 
(C) 40 meses 
(D) 44 meses 
 
 
 
 
 
 
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3. A altura (em metros) atingida por uma determinada ave após t horas de voo 
é dada pela solução da equação diferencial: 
ℎ′ + 2𝑡ℎ = 𝑡 . 
 
A equação acima é válida a partir de t = 1 hora, e apenas até a ave retornar ao 
solo. 
Sabendo que inicialmente a ave está a 1 metro do solo, determine a altura da 
ave após 1 hora de voo. 
 
(A) 2 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
(B) 
𝑒−1+1
2
 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
(C) 𝑒−1 + 1 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
(D) 𝑒−2 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
4. Um tanque contém 100 litros água pura. Uma solução com concentração de 
entrada de 1 gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 12 litros 
por minuto, enquanto que a solução bem misturada sai do tanque à taxa de 6 
litro por minuto. Qual a quantidade de soluto após 1 minuto? 
(A) 
618
53
 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 
(B) 
600
51
 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎s 
(C) 
53
618
 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 
(D) 1 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 
 
 
 
 
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5. Uma mola, conforme figura abaixo, tem um comprimento natural de 0,5m, 
uma massa de 2𝐾𝑔, k (constante de mola) igual à 16 e constante de 
amortecimento 𝑐 = 12. 
 
Sabendo-se que a equação diferencial desta situação é: 
016122
2
2
 x
dt
dx
dt
xd
 
Pelos dados acima pode-se afirmar que a posição da massa em qualquer 
instante t, se ele iniciar da posição de equilíbrio e for dado empurrão para 
iniciá-lo com velocidade inicial de 0,6m/s é: 
(A)𝑥(𝑡) = 0,3 (𝑒−2𝑡 − 𝑒−4𝑡) 
(B)𝑥(𝑡) = 0,6 (𝑒−2𝑡 + 𝑒−4𝑡) 
(C)𝑥(𝑡) = 0,6 (𝑒−2𝑡 − 𝑒−4𝑡) 
(D)𝑥(𝑡) = 0,3 (𝑒−2𝑡 + 𝑒−4𝑡) 
 
 
 
 
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6. Admitindo-se que a função que dá a posição da mola do exercício anterior é 
𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒
−𝑡 + 𝐶2𝑒
−2𝑡 e que sua derivada é 𝑥´(𝑡) = −𝐶1𝑒
−𝑡 − 2𝐶2𝑒
−2𝑡, a 
posição da massa se for dado um empurrão com uma velocidade inicial de 
0,12m/s após 2 segundos é: 
 (A) 0,0026 metros 
(B) 0,0151 metros 
(C) 0,014 metros 
(D) 0,0198 metros 
 
7. A posição 𝑥(𝑡) de um ponto móvel é solução da equação diferencial 
𝑥 ′′ − 4𝑥 ′ + 3𝑥 = 10𝑠𝑒𝑛(𝑡). Existe um ponto móvel cujo movimento é periódico e 
é dado por 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑡). Podemos afirmar que: 
A) 𝐴 = −1 e 𝐵 = −2. 
B) 𝐴 = 1 e 𝐵 = −2. 
C) 𝐴 = 1 e 𝐵 = 2. 
D) 𝐴 = −1 e 𝐵 = 2. 
 
 
 
 
 
 
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8. A equação diferencial 𝑥 ′′ − 𝑥′ = 2𝑡 caracteriza a posição 𝑥(𝑡) de uma 
partícula em movimento no instante 𝑡. Usando o método dos coeficientes a 
serem determinados, podemos afirmar que uma solução particular da referida 
equação diferencial é 
A) 𝑥(𝑡) = 𝑡2 + 2𝑡. 
B) 𝑥(𝑡) = −𝑡2 − 2𝑡. 
C) 𝑥(𝑡) = −𝑡2 + 2𝑡. 
D) 𝑥(𝑡) = 𝑡2 − 2𝑡. 
 
9. Um sistema massa-mola, sem amortecimento, está sujeito a uma força 
externa e é modelado pela equação diferencial: 
𝑥 ′′ + 𝑥 = 𝑒2𝑡 + 𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑡). 
Para determinarmos uma solução particular 𝑥𝑝(𝑡) dessa equação diferencial, 
pelo método dos coeficientes a serem determinados, a tentativa correta é 
A) 𝑥𝑝(𝑡) = 𝐴𝑒
2𝑡 + (𝐵𝑡 + 𝐶)𝑠𝑒𝑛(𝑡) + (𝐷𝑡 + 𝐸)cos (𝑡). 
B) 𝑥𝑝(𝑡) = 𝐴𝑒
2𝑡. 
C) 𝑥𝑝(𝑡) = 𝑡(𝐵𝑡 + 𝐶)𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝑡(𝐷𝑡 + 𝐸)cos (𝑡). 
D) 𝑥𝑝(𝑡) = 𝐴𝑒
2𝑡 + 𝑡(𝐵𝑡 + 𝐶)𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝑡(𝐷𝑡 + 𝐸)cos (𝑡). 
 
 
 
 
 
 
 
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10. Uma prensa industrial de 200 quilos está montada sobre uma camada de 
borracha para isolá-la de sua base. Se a borracha está comprimida 0,005 
metros pelo próprio peso da prensa, ou seja, a prensa faz uma força de 1690N 
sobre a borracha. Determine a equação diferencial que descreve a experiência. 
(A) 𝑥(𝑡) = 𝑐1 cos(41,11𝑡) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(41,11𝑡) 
(B) 𝑥(𝑡) = 𝑐1 cos(2,91𝑡) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(2,91𝑡) 
(C) 𝑥(𝑡) = 𝑐1 cos(0,02𝑡) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(0,02𝑡) 
(D) 𝑥(𝑡) = 𝑐1 cos(8,45𝑡) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(8,45𝑡) 
 
11. Em um sistema acoplado verificamos que ao puxarmos a mola por um 
dinamômetro da esquerda para direita com uma força de 6N, este produz um 
deslocamento de 0,03m. A seguir removemos o dinamômetro e colocamos 
uma massa de 0,5kg em seu lugar. Puxamos a massa a uma distância de 0,05 
metros e observamos o movimento harmônico simples, aplicando uma 
velocidade inicial ao sistema de 0,4m/s, determine a posição x(t) da massa em 
qualquer instante t. 
 (A) 𝑥(𝑡) = 0,4 cos(20𝑡) + 0,05𝑠𝑒𝑛(20𝑡) 
(B) 𝑥(𝑡) = 0,5 cos(20𝑡) + 0,4𝑠𝑒𝑛(20𝑡) 
(C) 𝑥(𝑡) = 0,05 cos(20𝑡) + 0,02𝑠𝑒𝑛(20𝑡) 
(D) 𝑥(𝑡) = 0,02 cos(20𝑡) + 0,05𝑠𝑒𝑛(20𝑡) 
 
 
 
 
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12. Um carrinho de bebê, já em uso há bastante tempo, pode ser modelado 
como um sistema massa-mola-amortecedor cujos valores são, 
respectivamente, 8𝑘𝑔, 72𝑁/𝑚 e 48𝑁. 𝑠/𝑚. Determine a posição do carrinho em 
qualquer instante t se ele iniciar o movimento da posição de equilíbrio e uma 
babá der um empurrão para que a velocidade inicial seja de 0,6𝑚/𝑠. 
(A) 𝑥(𝑡) = 0,6𝑒−3𝑡 
(B) 𝑥(𝑡) = 0,6𝑡𝑒−3𝑡 
(C) 𝑥(𝑡) = 3𝑒−0,6𝑡 
(D) 𝑥(𝑡) = 3𝑡𝑒−0,6𝑡 
 
13. A transformada de Laplace pode ser usada para resolver problemas de 
valor inicial de equações diferenciais de 2° ordem. Para isso, a Equação 
diferencial é inicialmente transformada pela transformada de Laplace numa 
equação algébrica. Com base nessas informações, e usando a tabela, a 
transformada de Laplace do polinômio 𝑓(𝑡) = 5𝑡4 − 2𝑡2 – 3 será: 
 
(A) 𝐹(𝑠) =
120
𝑠5
−
4
𝑠3
−
3
𝑠
 
(B) 𝐹(𝑠) =
24
𝑠5
−
4
𝑠3
−
3
𝑠
 
(C) 𝐹(𝑠) =
120
𝑠5
−
2
𝑠3
−
3
𝑠
 
(D) 𝐹(𝑠) =
120
𝑠4
−
4
𝑠3
−
3
𝑠
 
 
 
 
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14. As equações diferenciais lineares de segunda ordem têm uma variedade de 
aplicações na engenharia. Uma de suas aplicações é a vibração de molas. 
Suponha o movimento de um objeto com massa m na extremidade de uma 
mola que está na horizontal sobre um nível de superfície com atrito e esse 
movimento é afetado por uma força externa. Após os cálculos necessários, a 
equação diferencial que representa esse movimento será 𝑦´´ + 9𝑦 = 𝑒2𝑡 com 
𝑦(0) = 𝑦´(0) = 0. Usando a transformada de Laplace para resolver essa 
equação encontramos a função 𝑌(𝑠) = 
1
(𝑠−2)(𝑠2+9)
. A transformada de Laplace 
inversa dessa função 𝑌(𝑠), ou seja, a função 𝑦(𝑡) será 
 
(A) 𝑦(𝑡) = 
113
𝑒2𝑡 −
1
13
𝑐𝑜𝑠3𝑡 −
2
13
𝑠𝑒𝑛 3𝑡 
(B) 𝑦(𝑡) = 
1
13
𝑒2𝑡 −
1
13
𝑠𝑒𝑛3𝑡 −
2
39
𝑐𝑜𝑠 3𝑡 
(C) 𝑦(𝑡) = 
1
13
𝑒2𝑡 −
1
13
𝑐𝑜𝑠3𝑡 −
1
13
𝑠𝑒𝑛 3𝑡 
(D) 𝑦(𝑡) = 
1
13
𝑒2𝑡 −
1
13
𝑐𝑜𝑠3𝑡 −
2
39
𝑠𝑒𝑛 3𝑡 
 
Gabarito 
1- A 2- C 3- B 4- A 5- A 6- C 
7- C 8- B 9- D 10- A 11- C 12- B 
13 – A 14 - D 
 
 
 
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Questões subjetivas 
 
1. Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional a quantidade de 
bactérias presentes em cada instante. Após 10 minutos cresceu 3%. 
(a) Determine a constante de proporcionalidade. 
(b) Quanto tempo levará a cultura para duplicar? 
 
 
2. Um sistema massa-mola com uma massa de 1 kg e uma mola com 
constante elástica 9 N/m é colocada em movimento, num instante t = 0, em um 
meio sem amortecimento. Tal problema pode ser modelado por meio da 
equação diferencial 
𝑢′’ + 9𝑢 = 0 
onde u(t) é a posição da massa no instante t. Verifique que a função 𝑢(𝑡) =
 𝐴𝑐𝑜𝑠(3𝑡) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(3𝑡) é solução desta equação diferencial, para quaisquer A e 
B constantes. Em seguida, determine os valores de A e B se a posição inicial 
da massa é 2m, e a velocidade inicial é -2m/s. 
 
 
 
 
 
 
 
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3- Dado o circuito abaixo onde, 𝑅 = 100Ω, 𝐿 = 1, 𝐶 = 4 × 10−4 e 
𝐸(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 20𝑡 
 
Tal circuito, se chamarmos a carga do capacitor de Q no instante t, gera a 
seguinte equação diferencial: 
)('
1
2
2
tEQ
Cdt
dQ
R
dt
d
L 
 
Considerando que a carga e a corrente inicial são iguais a 0, determine a 
solução geral desta equação. 
 
4. Num sistema massa-mola, sem amortecimento, a massa é 
m= 2kg
e a 
constante da mola é 
k =18N /m
. O sistema é submetido a uma força externa 
periódica 
F(t) = 24cos(3t)N
. Sabendo que a massa no instante 0 está na 
posição 0 com velocidade de 
3m/ s
, use o método dos coeficientes a serem 
determinados para obter a posição 
x(t)
 da massa no instante 
t
. 
 
 
 
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5- As equações diferenciais lineares de segunda ordem têm uma variedade de 
aplicações na engenharia. Uma de suas aplicações é a vibração de molas. 
Suponha o movimento de um objeto com massa m na extremidade de uma 
mola que está na horizontal sobre um nível de superfície com atrito e esse 
movimento é afetado por uma força externa. Após os cálculos necessários, a 
equação diferencial que representa esse movimento será 
𝑦`` − 2𝑦` + 5𝑦 = −8𝑒−𝑡 com y(0) = 2 e 𝑦`(0) = 12. Use a transformada de 
Laplace para resolver essa equação e definir y(t). 
 
6- A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao 
número de bactérias no instante t. Após três horas, observou-se a existência de 
900 bactérias. Após 9 horas, 8100 bactérias. Qual era o número inicial de 
bactérias? 
 
7- Um tanque contém 200 litros de água pura. Uma solução com contração de 
3 gramas por litro entra no tanque a uma taxa de 5 litros por minuto, enquanto 
a solução bem misturada sai à taxa de 2 litros por minuto. Determine a 
quantidade de soluto no tanque em um instante t. 
 
 
 
 
 
 
 
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Respostas 
1. 𝑎) 𝑘 =
𝑙𝑛(1,03)
10
 𝑏) 𝑡 =
𝑙𝑛 2
𝑘
 
2. 𝐴 = 2 𝑒 𝐵 = −
2
3
 
3. 𝑄(𝑡) = 𝐶1𝑒
50𝑡 + 𝐶2𝑡𝑒
50𝑡 
 4. 𝑥(𝑡) = (1 + 2𝑡)𝑠𝑒𝑛(3𝑡). 
5. 𝑦(𝑡) = 3𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 4𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 𝑒−𝑡 
6. Número inicial de bactérias: 300 bactérias. 
Tempo necessário para dobrar o número de bactérias: 𝑡 = 3
ln 2
ln 3
 horas. 
7. 𝑄(𝑡) = 9 𝑡 + 600 (1 −
20⋅ 5
1
3
(200+3 𝑡)
2
3 
) gramas