Aula 3 Espaços amostrais; Eventos e Técnicas de Contagem

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Cássius Henrique 
Aula 3 
Espaços amostrais 
Eventos e Técnicas de Contagem 
CEA 012 – Probabilidade 
 
Espaços amostrais; Eventos e Técnicas de Contagem 
Cássius Henrique Xavier Oliveira 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 
2015 
Cássius Henrique 
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RELEMBRANDO... 
 
 
 
 
 
 
 
 O que é um experimento aleatório? Onde podem ser encontrados na Engenharia? 
 Qual a diferença entre os experimentos aleatórios e o fenômenos determinísticos? 
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Espaços Amostrais 
 Para cada experimento probabilístico E, definiremos como espaço amostrar S o 
conjunto de todos os possíveis resultados de E. 
 Considere os seguintes experimentos aleatórios Ei e seus respectivos espaços 
amostrais Si 
 E1: Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior. 
 S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 E2: Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de caras obtido. 
 S2 = {0, 1, 2, 3, 4} 
 E3: Joga-se uma moeda 4 vezes e observa-se a sequência de caras e coroas. 
 S3 = {cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckck, kckc, kcck, ckkc, ckkk, 
kckk, kkck, kkkc, kkkk} 
 
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L1.2. Exercício 1 
Apresente o espaço amostral dos experimentos aleatórios abaixo: 
 E5: Uma máquina nova é instalada em uma linha produtiva e observa-se o tempo gasto 
até ela falhar. 
 
 E6: Lança-se uma moeda até que ocorra uma cara e conta-se então o número de 
lançamentos necessários. 
 
 E7: Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos obtidos. 
 
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L1.2. Exercício 1 – Respostas 
Apresente o espaço amostral dos experimentos aleatórios abaixo: 
 E5: Uma máquina nova é instalada em uma linha produtiva e observa-se o tempo gasto 
até ela falhar. 
 S5 = {t   / t  0} 
 E6: Lança-se uma moeda até que ocorra uma cara e conta-se então o número de 
lançamentos necessários. 
 S6 = {1, 2, 3, 4, 5,...} 
 E7: Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos obtidos. 
 S7 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 
 
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Espaços Amostrais 
 
 O espaço amostral não precisa ser um número; 
 O espaço amostral pode ser 
 Finito 
 Infinito numerável 
 Infinito não-numerável 
 Ela ainda pode ser classificado em: 
 Discreto 
 Contínuo 
 
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Eventos 
 Um evento A é um subconjunto do espaço amostral E: 
 Logo, um evento é simplesmente um conjunto de resultados possíveis. Qualquer 
resultado individual também pode ser tomado como um evento. 
 Tipos de eventos: 
 Evento Elementar 
 Evento Complementar 
 Eventos Mutuamente Exclusivos 
 EA
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Evento Elementar 
 
 Seja o espaço amostral , um evento é dito elementar se é formado por 
apenas um elemento (subconjunto unitário de S). 
 Matematicamente: , com 
 
 A união de todos os eventos elementares resulta no espaço amostral: 
 
 Exemplo: no lançamento de um dado, há 6 eventos elementares: 
 A1 = {1}, A2 = {2}, ..., A6 = {6} 
 
 nS  ,...,, 21
 iA  ni ,...,3,2,1
SA
n
i
i 


1
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Evento Complementar 
 
 Denotado por ou , em que , em que . 
 
 
cA A  AxeUxxA  |
SAA 
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Eventos Mutuamente Exclusivos 
 
 Eventos mutuamente exclusivos correspondem a conjuntos disjuntos de resultados 
possíveis. 
 Conjuntos disjuntos são aqueles com interseção vazia. 
 
 
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Leis de De Morgan 
 
 
 
 
 
 O evento de que nenhum dos Ai’s ocorre é igual ao complementar do evento de que 
pelo menos um dos Ai’s ocorre. 
 O complementar de que todos os Ai’s ocorrem é exatamente o evento de que ao 
menos um deles não ocorre. 
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Contextualização 
 
 
 
 
 
 
 
 Contextualize as leis de De Morgan? Elas fazem sentido? 
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Operações com Eventos – Quadro resumo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
União e interseção de eventos (A ou B, A e B); A e B disjuntos; Complementar de A 
 
 
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Quantificando os eventos... 
 
 
 Dado um experimento aleatório E, cujo espaço amostral S possui n elementos, a 
quantidade de eventos A será dada por 
 
n(E) = 2n 
 
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Partição de um Espaço Amostral 
Definição: Os eventos A1, A2,... , formam uma partição do espaço amostral se: 
 
 
 
 
 para i = 1, 2,... n: 
 para (ou seja são eventos mutuamente exclusivos) 
 
 
 Uma partição de um espaço amostral S é um coleção de subconjuntos não-vazios e 
mutuamente excludentes de S, cujas uniões são iguais a S. 
 ØiA
 Ø ji AA
ji
SA
n
i
i 


1
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Técnicas de Contagem: Combinatória 
 
 Técnicas de contagem → determinar o número de elementos de um conjunto ou o 
número de resultados possíveis de um experimento. 
 
 Princípio Multiplicativo 
 Princípio Aditivo para Partes Disjuntas 
 Permutações 
 Arranjos 
 Combinações 
 
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Princípio Multiplicativo 
 
 
 
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Princípio Aditivo para Partes Disjuntas 
 
 
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Permutação Simples 
 
 
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Arranjo Simples 
 
  !
!
,
kn
n
A kn


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Combinação Simples 
 
 
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Fazendo Amostras... 
 
 
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CEA 012 – ProbabilidadeNivelamento 
 
 
 
 
 
 
 
 Quais são os critérios para identificar a técnica mais adequada de contagem para 
determinado experimento? 
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L1.2. Exercício 2 
(UFOP) No meio da “invasão tecnológica” que toma conta de nossas vidas, dona Antônia 
esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que a 
senha é formada por quatro algarismos distintos, sendo o primeiro 5 e o algarismo 6 
aparece em alguma outra posição. Qual é o número máximo de tentativas que o banco 
deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque? 
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L1.2. Exercício 3 
(CESGRANRIO, 2013) Uma empresa de propaganda pretende criar panfletos coloridos 
para divulgar certo produto. O papel pode ser laranja, azul, preto, amarelo, vermelho ou 
roxo, enquanto o texto é escrito no panfleto em preto, vermelho ou branco. 
De quantos modos distintos é possível escolher uma cor para o fundo e uma cor para o 
texto se, por uma questão de contraste, as cores do fundo e do texto não podem ser 
iguais? 
a) 13 
b) 14 
c) 16 
d) 17 
e) 18 
 
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L1.2. Exercício 4 
(CESGRANRIO – PETROBRAS, 2012) Certa empresa identifica as diferentes peças que 
produz, utilizando códigos numéricos compostos de 5 dígitos, mantendo, sempre, o 
seguinte padrão: os dois últimos dígitos de cada código são iguais entre si, mas diferentes 
dos demais. Por exemplo, o código “03344” é válido, já o código “34544”, não. 
Quantos códigos diferentes podem ser criados? 
a) 3312 
b) 4608 
c) 5040 
d) 7000 
e) 7290 
 
 
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L1.2. Exercício 4 
(CESGRANRIO – PETROBRAS, 2012) Certa empresa identifica as diferentes peças que 
produz, utilizando códigos numéricos compostos de 5 dígitos, mantendo, sempre, o 
seguinte padrão: os dois últimos dígitos de cada código são iguais entre si, mas diferentes 
dos demais. Por exemplo, o código “03344” é válido, já o código “34544”, não. 
Quantos códigos diferentes podem ser criados? 
a) 3312 
b) 4608 
c) 5040 
d) 7000 
e) 7290 
 
 
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L1.2. Exercício 5 
(FUVEST) O jogo da sena consiste no sorteio de 6 números distintos, escolhidos ao acaso, 
entre os números 1, 2, ..., até 50. Uma aposta consiste na escolha (pelo apostador) de 6 
números distintos entre os 50 possíveis, sendo premiadas aquelas que acertarem 4 
(quadra), 5 (quina) ou todos os 6 (sena) números sorteados. 
Um apostador, que dispõe de muito dinheiro para jogar, escolhe 20 números e faz todos os 
38.700 jogos possíveis de serem realizados com esses 20 números. Realizado o sorteio, 
ele verifica que todos os 6 números sorteados estão entre os 20 que ele escolheu. Além de 
uma aposta premiada com a sena: 
a) Quantas apostas premiadas com a quina esse apostador conseguiu? 
b) Quantas apostas premiadas com a quadra ele conseguiu? 
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Gabarito 
2. 168 
3. (c) 
4. (e) 
5. a) 84; b) 1365 
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Sugestão para a próxima aula... 
 
 
 
 
 Estudar as páginas 15 a 22 (itens 1.1 a 1.3) da referência abaixo: 
DANTAS, C. A. B. Probabilidade: Um curso introdutório. Ed. da universidade de São Paulo. 
 
 Estudar os itens 2.1.1 a 2.1.4 da referência abaixo: 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. Editora LTC.