Atividade de Numérico

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Wellington de Oliveira Lima 
ATIVIDADE CÁLCULO NUMÉRICO 
 
Uma indústria de chocolate produz quatro tipos de chocolates: ao leite, meio amargo, 
branco e zero açúcar, os quais são processados e produzidos no decorrer da semana. 
Sejam x1, x2, x3 e x4, as quantidades de chocolates ao leite, amargo, branco e zero 
açúcar, respectivamente. Para a produção de cada unidade desses produtos necessita-
se de quatro tipos diferentes de matéria prima (A), (B), (C) e (D), conforme a tabela 
abaixo 
 A B C D 
Ao Leite 1 2 4 1 
Meio Amargo 2 0 1 0 
Branco 4 2 3 1 
Zero açúcar 3 1 3 2 
 
Por exemplo, para produzir uma unidade de chocolate ao leite precisa-se de 1 unidade 
de A, 2 unidades de B, 4 unidades de C e 1 unidade de D. A indústria possui disponível 
em estoque 16, 13, 27 e 7 unidades de A, B, C e D, respectivamente. Quantas 
unidades de cada chocolate podem ser produzidas? 
Formule um modelo matemático e resolva-o utilizando: 
 
a) o método da decomposição LU 
b) utilizando o método de Jacobi com 4 iterações. Item cancelado! 
 
Lembre-se que as quantidades obtidas devem ser valores inteiros e não negativos. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Método de decomposição LU 
ቌ
𝐿11 0
𝐿21 𝐿22
0 0
0 0
𝐿31 𝐿32
𝐿41 𝐿42
𝐿33 0
𝐿43 𝐿44
ቍ x ቌ
 1
 0
𝑈12
1
𝑈13
𝑈23
𝑈14
𝑈24
 00 
0
 0
1
0 
𝑈34
1
ቍ = ቌ
1
2
2
0
4
2
3
1
4
1
1
0
3
1
3
2
ቍ 
 
Linha 1 
 ቐ
𝐿11 𝑥 1 = 1 → 𝐿11 = 1
𝐿11 𝑥 𝑈12 = 2 → 𝑈12 = 2
𝐿11𝑥 𝑈13 = 4 → 𝑈13 = 4
𝐿11𝑥 𝑈14 = 3 → 𝑈14 = 3
 
 
Wellington de Oliveira Lima 
Linha 2 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝐿21 𝑥 1 = 2 → 𝐿21 = 2 
𝐿21 𝑥 𝑈12 + 𝐿22 = 0 → 2 𝑥 2 + 𝐿22 = 0 → 𝐿22 = −4 
𝐿21𝑥𝑈13 + 𝐿22𝑥𝑈23 = 2 → 2𝑥4 + (−4 𝑥 𝑈23) = 2 → 𝑈23 =
−6
−4 
→ 𝑈23 = 
3
2
 
𝐿21𝑥 𝑈14 + 𝐿22 𝑥 𝑈24 = 1 → 2 𝑥 3 + (−4 𝑥 𝑈24) = 1 → 𝑈24 =
5
4
 
 
Linha 3 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝐿31 𝑥 1 = 4 → 𝐿31 = 4 
𝐿31 𝑥 𝑈12 + 𝐿32 𝑥 1 = 1 → 4 𝑥 2 + 𝐿32 = 1 → 𝐿32 = −7 
𝐿31𝑥 𝑈13 + 𝐿32 𝑥 𝑈23 + 𝐿33 𝑥 1 = 3 → 4𝑥4 + ൬−7𝑥
3
2
൰ + 𝐿33 = 3 → 𝐿33 = 
−5
2
 
𝐿31𝑥𝑈14 + 𝐿32 𝑥 𝑈24 + 𝐿33 𝑥 𝑈34 = 3 → 4 𝑥 3 + ൬−7𝑥
5
4
൰ + ൬−
5
2
𝑥𝑈34൰ = 3 → 𝑈34 = 
1
10
 
 
Linha 4 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝐿41 𝑥 1 = 1 → 𝐿41 = 1 
𝐿41 𝑥 𝑈12 + 𝐿42 = 0 → 𝐿42 = −2 
𝐿41𝑥 𝑈13 + 𝐿42𝑥 𝑈23 + 43 = 1 → 4 − 2 𝑥 
3
2
 + 𝐿43 = 1 → 𝐿43 = 0 
𝐿41𝑥 𝑈14 + 𝐿42𝑥 𝑈24 + 𝐿43𝑥 𝑈34 + 𝐿44 = 2 → 1𝑥3 − 2𝑥
5
4
+ 0 + 𝐿44 = 2 → 𝐿44 = 
3
2
 
 
 
 L 𝐱 U = A 
⎝
⎜
⎛
1 0 0 0
2 − 4 0 0
4 − 7 − ହ
ଶ
 0
1 − 2 0 3/2 ⎠
⎟
⎞
 x 
⎝
⎜
⎛
1 2 4 3
0 1 ଷ
ଶ
 ହ
ସ
0 0 1 ଵ
ଵ଴
0 0 0 1⎠
⎟
⎞
 = ൮
1 2 4 3
2 0 2 1
4 1 3 3
1 0 1 2
൲ 
 
Utilizando L.y=b 
⎝
⎜
⎛
1 0 0 0
2 − 4 0 0
4 − 7 − ହ
ଶ
 0
1 − 2 0 3/2 ⎠
⎟
⎞
 x ൮
𝑌1
𝑌2
𝑌3
𝑌4
൲ = ൮
16
13
27
7
൲ 
Desenvolvimento: 
 
Wellington de Oliveira Lima 
Logo: 
Y1 = 16 
Y2 = 19/4 
Y3 = 3/2 
Y4 = 1/3 
 
 
Utilizando U.x = y 
⎝
⎜
⎛
1 2 4 3
0 1 ଷ
ଶ
 ହ
ସ
0 0 1 ଵ
ଵ଴
0 0 0 1⎠
⎟
⎞
 x ൮
𝑋1
𝑋2
𝑋3
𝑋4
൲ = 
⎝
⎜⎜
⎜
⎛
16
ଵଽ
ସ
ଷ
ଶ
ଵ
ଷ
⎠
⎟⎟
⎟
⎞
 
 
Desenvolvimento: 
 
Logo: 
X1 = 73/15 
X2 = 32/15 
X3 = 22/15 
X4 = 1/3 
X1 = 4,86 
X2 = 2,133 
X3 = 1,46 
X4 = 0,33 
 
RESULTA EM: 
4 - CHOCOLATES AO LEITE 
2 - CHOCOLATES AMARGOS 
1 - CHOCOLATES BRANCO 
0 - CHOCOLATES ZERO AÇÚCAR 
1*Y1 = 16 
2*Y2 – 4*Y2 = 13  2*16 – 4*Y2 = 13 
4*Y1 – 7*Y2 – 5*Y3 = 27  4*16 – 7*19/4 – 5/2*Y3 = 27 
1*Y1 – 2*Y2 + 3/2*Y4 = 7  1*16 – 2*19/4 + 3/2*Y4 = 7 
1*X4 = 1/3 
1*X3 + 1/10*X4 = 3/2  1*X3 + 1/10 * 1/3 = 3/2 
1*X2 + 3/2*X3 + 5/4*X4 = 19/4  1*X2 + 3/2*22/15 + 5/4*1/3 = 19/4 
1*X1 + 2*X2 + 4*X3 3*X4 = 16 1*X1 + 2*32/15 + 4*22/15 + 3*1/3 = 16