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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exercícios Resolvidos: Grau de uma função homogênea Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 09/12/2016 - Atualizado em 31/03/2017 Como saber se uma função ƒ (, y) é homogênea? E como determinar seu grau? Grosseiramente falando basta seguir dois passos: Passo 1: Substituímos e y por λ e λy respectivamente; Passo 2: após a substituição no passo 1 manipulamos a função algebrica- mente de forma a obtermos: ƒ (λ, λy) = λnƒ (, y). Se obtivermos sucesso nos passos 1 e 2 então a função será homogênea de grau n. Exemplo 1: Verifique se as funções são homogêneas e em caso afirmativo de- termine o grau. a) ƒ (, y) = · sen y + 2 y b) ƒ (, y) = cos � + 4y � c) ƒ (, y) = · n(y) + ye d) ƒ (, y) = 2 + 2y2 e) ƒ (, y) = 3 Æ 2 + y2 Solução de A: Passo 1: Substituindo por λ e y por λy. Sendo assim: ƒ (, y) = · sen y + 2 y ⇒ ƒ (λ, λy) = λ · sen � λ λy � + (λ)2 λy Passo 2: Feita a substituição tentamos manipular a função a fim de obtermos uma igualdade na forma ƒ (λ, λy) = λnƒ (, y). 1 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA ƒ (λ, λy) = λ · sen � λ λy � + (λ)2 λy ⇒ ƒ (λ, λy) = λ · sen � y � + λ22 λy ⇒ ƒ (λ, λy) = λ · sen � y � + λ2 y ⇒ ƒ (λ, λy) = λ · sen � y � + 2 y ⇒ ƒ (λ, λy) = λ1 · ƒ (, y). Conclusão: A equação é homogênea e seu grau é igual a 1. Solução de B: Passo 1: ƒ (, y) = cos � + 4y � ⇒ ƒ (λ, λy) = cos � λ + 4(λy) λ � Passo 2: ƒ (λ, λy) = cos � λ + 4(λy) λ � ⇒ ƒ (λ, λy) = cos � λ( + 4y) λ � ⇒ ƒ (λ, λy) = cos � + 4y � ⇒ ƒ (λ, λy) = λ0 · cos � + 4y � ⇒ ƒ (λ, λy) = λ0 · ƒ (, y) Conclusão: A equação é homogênea de grau zero. 2 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Solução de C: Impossível chegar a forma apresentada no passo 2. Logo não é uma função homogênea. Solução de D: Passo 1: ƒ (, y) = 2 + 2y2 ⇒ ƒ (λ, λy) = (λ)2 + 2(λy)2 Passo 2: ƒ (λ, λy) = (λ)2 + 2(λy)2 ⇒ ƒ (λ, λy) = λ22 + 2(λ2 · y2) ⇒ ƒ (λ, λy) = λ2(2 + 2y2) ⇒ ƒ (λ, λy) = λ2ƒ (, y). Conclusão: A equação é homogênea de grau 2. Solução de E: Passo 1: ƒ (, y) = 3 Æ 2 + y2 ⇒ ƒ (λ, λy) = 3Æ(λ)2 + (λy)2 Passo 2: ⇒ ƒ (λ, λy) = 3Æ(λ)2 + (λy)2 ⇒ ƒ (λ, λy) = 3Æλ2 · 2 + λ2 · y2 ⇒ ƒ (λ, λy) = 3pλ2 3Æ2 + y2 ⇒ ƒ (λ, λy) = λ 23 ƒ (, y). Conclusão: A equação é homogênea de grau igual 2/3. 3 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial- CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number.890m.com E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor entre em contato para que possa ser feito a devida correção. nbbedego@gm.com .ƒcebook.com/degogntz .nmber.890m.com 4
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