Equações Diferencias Ordinárias

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88 
 
Capítulo IV: Derivada de funções de uma variável real a valores 
reais. 
 
Muitos são os problemas matemáticos caracterizados pela determinação de 
máximos e mínimos de funções reais de uma variável onde é imprescindível a 
aplicação do conceito de derivada, o qual será estudado nesse capítulo. 
 
 
§4.1. Derivação. 
 
Sejam 
RXf :
 uma função contínua e 
Xa
. O quociente 
ax
afxf
xq



)()(
)(
 tem sentido para 
ax 
, logo define uma função 
  RaXq :
, cujo valor q(x) é a inclinação da secante (reta que liga os 
pontos (a, f(a)) e (x, f(x)) no gráfico de f). 
No caso em que 
XXa  '
então é natural considerar 
)(lim xq
ax
, que 
representa a inclinação da tangente ao gráfico de f(x) no ponto (a, f(a)). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição de derivada: Sejam 
RXf :
 e 
XXa  '
. A derivada da função 
f no ponto a é o limite: 
h
afhaf
ax
afxf
af
hax
)()(
lim
)()(
lim)(
0
' 




. 
Este limite pode existir ou não. Se existir, diz-se que f é derivável no ponto a, 
e a derivada nesse ponto é o valor do limite. 
 
Exemplo 1: Seja 
RRf :
 dada por 
3)( xxf 
. 
x 
y 
a x o 
y=f(x) 
(x, f(x)) 
(a, f(a)) 
Fig.1: Gráfico da secante e da tangente a f. 
 
89 
 
   22233 3limlim)()(lim)(' a
ax
aaxxax
ax
ax
ax
afxf
af
axaxax











. 
 
Exemplo 2: Seja 
RRf :
 dada por 
)()( xsenxf 
, então, 
aa
h
senh
h
asenhsenahasen
h
asenhasen
h
afhaf
af
hh
hh
cos)cos(.lim
)()()cos()cos()(
lim
)()(
lim
)()(
lim)('
00
00









 
Pois cos0 = 1, e, além disso, 
1
)(
lim
0

 h
hsen
h
. 
Observação: Quando existe a derivada f’(x) em todos os pontos 
XXx  '
 
diz-se que a função 
RXf :
 é derivável no conjunto X e se obtém uma 
nova função 
RXXf  '' :
, tal que 
)(' xfx
 chamada à função derivada 
de f. Se f’ é contínua diz-se que f é de classe C 1 . 
 
Exemplo 3: Seja 
RRf :
 dada por 
4)( xxf 
. 
A função derivada tem a forma, 
34)(' xxf 
. 
 
Teorema 1: Sejam as funções f, g: X

R deriváveis no ponto, 
XXa  '
. As 
funções cf, f 

 g, fg, 
g
c
 e 
g
f
 (caso 
0)( ag
) são também deriváveis no ponto 
a, com: 
(cf)’(a) = cf’(a). 
)(')(')()'( agafagf 
. 
(fg)’(a)= f’(a)g(a)+ f(a)g’(a). 
)(
)('
)(
2
'
ag
acg
a
g
c 





 
)(
)(')()()('
)(
2
'
ag
agafagaf
a
g
f 





 . 
. 
 
90 
 
D: Para o produto das funções f e g tem-se que, 
ax
agxgaf
ax
xgafxf
ax
agafxgxf
axaxax 








)]()()[(
lim
)()]()([
lim
)()()()(
lim
 
 
 (fg)’(a)=f’(a).g(a)+f(a).g’(a). 
 
Para o quociente das funções f e g tem se: 
)(
)(')()()('
)()(
))()()(()())()((
lim
)()(
)()()()(
lim
))(())((
lim)(
20
'
ag
agafagaf
agxg
ax
agxgaf
ax
agafxf
ax
agxg
afxgagxf
ax
a
g
f
x
g
f
a
g
f
h
axax




















 
Os demais casos se fazem de forma semelhante, ficam para o leitor. 
 
§4.1.1. Tabela das derivadas das funções elementares: 
 
1) 
  1'  nn nxx
. 
2) 
 
x
x
2
1'

. 
3) (sen(x))’=cos(x). 
4) (cos(x))’ = - sen(x). 
5) 
  )(sec)( 2' xxtg 
. 
6) 
  )(cos)(cot 2' xecxg 
. 
7) 
   1,
1
1
)(
2
'


 x
x
xarcsen
. 
8) 
   1,
1
1
)arccos(
2
'


 x
x
x
. 
9) 
 
2
'
1
1
)(
x
xarctg


. 
10) 
 
2
'
1
1
)(
x
xarcctg


. 
11)   aaa xx ln'  . 
12) 
  xx ee '
. 
91 
 
13) 
 
x
x
1
)ln(
'

. 
 
Exemplo 4: Seja 
)()( 3 xsenxxf 
. 
)cos()(3)(' 32 xxxsenxxf 
. 
 
 
§4.1.2. Exercícios para calcular derivadas das funções. 
 
188. 
323 235  xxxy
. 
189. 
x
a
x
y 
35
. 
190. 
x
x
y ln
2


. 
191.
xexy 7
. 
192. y = 3sen(x) + 5cos(x). 
193. y = tg(x) – cotg(x). 
194. y = arc tg(x) – arc ctg(x). 
195. y = x.ctg(x). 
196. y = x.arc sen(x). 
197.
xx
a
y
x 1
ln

. 
198. 
arcsenx
x
y
2

 
199. 
xa
x
x
y x ln
. 
 
§4.1.3. Interpretação geométrica da derivada. 
Foi indicado antes que a expressão 
ax
afxf
xq



)()(
)(
 representa a inclinação 
da secante a curva y=f(x) nos pontos P(a,f(a)) e Q(x,f(x)), quando se fala do 
limite, 
ax
afxf
xf
ax 



)()(
lim)('
, 
92 
 
Trata-se da inclinação da reta tangente à curva no ponto P(a,f(a)), e pode-se 
dizer que a derivada da função y = f(x) no ponto P é o coeficiente angular ou 
inclinação da reta tangente à curva nesse ponto P. Assim tem-se que; 
tgaf )('
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde 

 é o ângulo formado pela parte positiva do eixo x com a tangente à 
curva no ponto P(a, f(a)). 
 
Exemplo 5: Achar o ângulo de inclinação da reta tangente à curva 
2/2xy 
 
no ponto 
 2/1,1
. 
)1('ftg 
, mas f’(x) = x, assim tem-se que: 
4
1
 tg
. 
 
§4.1.4. Taxa de variação. 
 
Se uma partícula percorre uma distancia s em um tempo t, então essa 
dependência do espaço percorrido na unidade de tempo pode ser expressa 
como uma função, logo s=f(t). 
Para dois valores do tempo 
21,tt
, o quociente, 
   
12
12
tt
tftf


, 
Representa a velocidade media da partícula no intervalo de tempo 
 21,tt
. Em 
um momento dado arbitráriamente 
0t
, é razoável considerar que o limite, 
Fig,2: Gráfico da interpretação geométrica da derivada. 
 
x 
y 
a+Δx o 
(a, f(a)) 
a+Δx a+Δx 
(a+Δx, f(a+Δx)) 
α 
93 
 
   
0
0
0
lim
tt
tftf
tt 


, 
Representa a taxa de variação do espaço s com relação ao tempo t. Essa 
taxa de variação é a velocidade instantânea da partícula no momento 
0t
. 
Do mesmo jeito a taxa de variação da velocidade é a aceleração. Em forma 
geral em um ponto genérico t no intervalo de definição da função tem-se que: 
dt
ds
tfv  )('
 e 
dt
dv
a 
. 
 
Exemplo 6: Uma partícula se move de modo que, no instante t, a distância 
percorrida é dada pela equação s(t) = 2t + 1. 
 
2
dt
ds
v
, é a velocidade da partícula, assim tem-se que a velocidade é 
constante, então se tem que o movimento é retilíneo uniforme, para qualquer t 
a velocidade será sempre a mesma, v=2. 
 
§4.1.5. Exercícios para derivar funções e aplicar a taxa de variação. 
200. Qual é o ângulo que forma a curva 
xey 5.0
 ao se intersecta com a 
reta x = 2? 
201. Em que ponto a reta tangente da parábola 
372  xxy
 é paralela à 
reta 5x+y-3=0? 
202. Qual o ângulo que forma a reta tangente à curva 
2xxy 
 com o eixo 
x, nos pontos x=0 e x=1. 
203. Em que ponto da curva 
23xy 
 a reta tangente é perpendicular à reta 
4x-3y+2=0? 
204. Escrever a equação da reta tangente e da reta normal à parábola 
xy 
 
no ponto de abscissa x=4. 
205. Uma partícula se move de modo que no instante t a distância é dada por 
ttts 2)( 3 
. Se o espaço é dado em Km e u tempo em horas, em que 
instante suavelocidade é igual 48Km/h. 
206. Um objeto se move sobre uma reta com velocidade dada pela função 
54)( ttv 
, achar a aceleração no instante t=2. 
94 
 
207. Uma partícula se move de modo que no instante t à distância percorrida 
é dada por 
2012)( 3  ttts
. Em que instante a velocidade é igual à 
zero? 
208. Determine a velocidade instantânea 






h
Km
 de uma Baleeira (transporte 
fluvial) que vai de Tabatinga a Benjamin Constant no tempo t=0.2 h, se a 
equação do movimento é 
51015 2  tts
. 
 
209. Um barco que viaja no trajeto Benjamin Constant a Tabatinga se 
movimenta segundo a função s=24t+24, se a distância de Benjamin a 
Tabatinga é de 36Km. Qual o tempo gasto nesse percurso, sabendo que 
a velocidade é dada em Km/h. 
 
 
§4.1.6. Derivadas de funções não dadas explicitamente. 
 
Se a função é dada em forma paramétrica, é dizer: 





)(
)(
tyy
txx , 
Então a derivada de y em relação à x, pode-se expressar da seguinte forma: 
dt
dx
dt
dy
dx
dy
 , 
Exemplo 7: Calcular 
dx
dy
y '
, se: 





3
12
ty
tx . 
2
3 2t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
 . 
 
Exemplo 8: Calcular 
dx
dy
y '
, se: 
95 
 





ty
ex t
cos
. 
te
sent
dt
dx
dt
dy
dx
dy 
 . 
 
§4.1.7. Exercícios para derivar funções não dadas explicitamente. 
 
Calcular 
dx
dy
y '
, se: 
210. 





ty
ttx
cos
2 2 . 
211. 






22ty
tx . 
212. 





ty
ex t
cos
. 
213. 








ty
t
x
ln
1
1
. 
214. 






tbseny
tax
2
2cos . 
115. 





 
t
t
ey
ex
2
. 
216. 





)cos1(
)(
tay
senttax 
217. 





tty
tex t
cos
 
96 
 
218. 







t
t
y
ttx
ln
ln
 
 
4.1.8. Derivabiliade de funções. 
 
 Teorema2: A fim de que f: X 

R seja derivável no ponto a

X’

X é 
necessário e suficiente que exista um c

R tal que se 
Xha 
então 
f(a+h)=f(a)+ch+r(h), onde 
h
hr
h
)(
lim
0
=0 no caso afirmativo, tem-se c=f’(a). 
 
D: Seja Y={h

R; a+h

X}. Então 0

Y

Y’. Supondo que f’(a) existe define-se 
r:Y

R pondo r(h)= f(a+h)-f(a)-f’(a)h 
Então 

h
hr )(
h
afhaf )()( 
-f’(a) 
Logo 
h
hr
h
)(
lim
0
=0. A condição é necessária. 
Reciprocamente se vale a condição, então. 
c
h
afhaf
h
hr



)()()(
 
Logo 
0
)(
lim]
)()(
[lim
00


 h
hr
c
h
afhaf
hh
, portanto f’(a) existe e é igual a c. 
 
Corolário: Uma função é continua nos pontos em que é derivável. 
 
D: Se f é derivável no ponto a então f(a+h)=f(a)+f’(a)h+[(h)/h]h, com 
0
)(
lim
0

 h
hr
h
, logo 
)()(lim
0
afhaf
h


, ou seja f é contínua no ponto a. 
 
Exemplo 9: A função f: R

R; 







x
xsenxf
1
)(
 em a = 0 não é derivável, pois. 
97 
 








 h
sen
h
fhf
hhh
1
lim
)0()0(
lim
0
 não existe . Mas 







x
senxxxfxg
1
)()( 2
 é 
derivável em a, pois 
0
1
lim
)0()0(
lim
0








 h
hsen
h
ghg
hhh
. Quando x

0 













xx
xsenxg
1
cos
1
2)('
, não existe o limite 
)('lim
0
xg
x
, então a derivada 
g’:R

R não é contínua. 
 
Se a é um ponto de acumulação pela direita, isto é, a

X’


X, pode-se tomar 
o limite 
)(lim)(' xqaf
ax 
 
. Quando existe este limite, chama-se derivada à 
direita de f no ponto a. 
Analogamente define-se a derivada à esquerda 
)(lim)(' xqaf
ax 
 
 a

X’


X. 
Se a é um ponto de acumulação bilateral, a

X’


X’


X, 
)(')(')(' afafaf  
. 
 
Exemplo 10: A função f:R

R; 
xxf )(
 em a=0 não é derivável, pois: 






0,
0,,
)(
sexx
xsex
xxf
 
Assim, 
1)0(',,1)0('   fef
. 
 
§4.1.9. Exercícios para calcular as derivadas laterais. 
 
Determinar a derivada das seguintes funções no ponto indicado ou conclua 
que não existe. 
219. 
xmy 
 em a = 0. 
220. 
xxy 
 em a = 0. 
221. 






 0,,
0,,1
xquandoe
xquandox
y
x
 em a = 0. 
222. 






1,,)1(
1,,1 2
xquandosenxx
xquandox
y
 em a = 1. 
98 
 
223. 






 exquandoxe
exquandoxx
y
x ,,
0,,ln)2( em a = e. 
 
§4.1.10. Regra de L’Hospital. 
Se f e g são deriváveis e 
0
0
)(
)(
lim 
 xg
xf
ax
, ou 



 )(
)(
lim
xg
xf
ax
 pela definição de 
derivada 
ax
xf
af
ax 


)(
lim)('
, então se g’(a) 

0, 
)('
)('
)(
lim
)(
lim
)(
)(
)(
)(
lim
)(
)(
lim
ag
af
ax
xg
ax
xf
ax
xg
ax
xf
xg
xf
ax
ax
axax









. 
A continuação se aplicará a regra de L’Hospital ao cálculo de limite para o 
caso das diferentes indeterminações. Já antes foi usado o limite fundamental 
algébrico, aqui será provado esse resultado. 
Observação: O limite 
x
x
x
1
0
)1(lim 

 é o caso de indeterminação 1 , para o 
qual aplica-se logaritmo neperiano à expressão anterior. 
Será visto diferentes casos de indeterminação fazendo uso desse 
procedimento. 
Proposição: 
ex x
x


1
0
)1(lim
. 
D: Seja 
 xxxf
1
1)( 
, então, 
 x
x
xf  1ln
1
)(ln
, Assim, 
 
0
01ln
lim)(lnlim
00



 x
x
xf
xx
 Indeterminação. 
Aplicando a regra de L’Hospital, tem-se que, 
1
1
1
lim)(lnlim
00



 x
xf
xx
. 
Mas 
1ln1)(lnlim
0


Lxf
x
, então L = e. 
 
Exemplo 11: Calcular 







 xxxx
33
lim
20
 
99 
 
Aqui se tem que 







 xxxx
33
lim
20
 Indeterminação. 
 
 
   1
3
1
13333
2 





 xx
x
xx
x
xxx
, 
Logo, 
0
03
lim
31
lim
2020















  xx
x
xxx xx
 Indeterminação. 
Agora, aplicando L’Hospital, tem-se que, 
3
12
3
lim
3
lim
020
















 xxx
x
xx
. 
 
 
§4.1.11. Exercícios para calcular limites aplicando a Regra de L’Hospital. 
Calcular os seguintes limites 
224. 
x
x
x
1
lim

. 
225. 
x
x
x ln4
3
lim 

. 
226. 
2
cos
1
)1(lim
x
x
x



. 
227. 
x
x
ctgx ln
1
0
)(lim

. 
228. 
tgx
x x
)
1
(lim
0
. 
229. 
x
x
x
ln
lim

. 
230. 
2
lim
0 x
ctg
x
x 


. 
231.  
senx
senmx
x ln
ln
lim
0
. 
100 
 
232. 







 xx
x
x ln
1
1
lim
1
. 
233. 








 6
5
3
1
lim
23 xxxx
. 
234. 







 xctgx
x
x cos2
lim
2


. 
 
4.1.12. Derivadasde funções compostas. 
 
Existem muitos problemas que para determinar sua solução é preciso achar a 
derivada de funções compostas, aqui o método ideal é usar a regra da cadeia. 
 
Teorema 3 (Regra da cadeia): Sejam f: X

R, g: Y

R, 
'XXa 
 
'YYb 
, 
YXf )(
 e f(a) = b. Se f é derivável no ponto a e g é derivável no 
ponto b então, gof: X

R é derivável no ponto a, com (gof)’(a) = g’(f(a))f’(a). 
 
D: Devido a que 
YXf )(
, tem-se que para cada x do conjunto X, existe um 
y do conjunto Y, tal que y=f(x). Para determinar (gof)’(a), considere-se a 
expressão, 
].
))(())((
[lim
))(())((
lim)()'(
ax
by
by
afgxfg
ax
agofxgof
agof
axax 








 
Mas pela continuidade de f no ponto a quando o x tende para a o y tende para 
b, assim, 
).(')).((')(').('
)()(
lim.
)()(
lim].
))(())((
[lim
afafgafbg
ax
afxf
by
bgyg
ax
by
by
afgxfg
axbyax












 
O que prova o teorema. 
 
Corolário: Seja f: X

Y uma bijeção entre os conjuntos X, Y

R, com inversa 
g = f 1 :Y

X. Se f é derivável no ponto a

X’

X e g é contínua no ponto 
b=f(a) então g é derivável no ponto b se, e somente se, f’(a) 

0. No caso 
afirmativo tem-se 
)('
1
)('
af
bg 
. 
101 
 
D: Aqui se tem que b

Y’

Y, e g é derivável no ponto b, e como 
1 fg
 se 
satisfaz a igualdade g(f(x)) = x válida para todo x

X, juntamente com a regra 
da cadeia, fornece g’(b)f’(a)=1, e por conseguinte, f’(a) 

 0. Reciprocamente, 
se 
0)(' af
 então, 
)()(
lim
)()(
lim)('
afxf
ax
by
bgyg
bg
axby 






 
Pois y=f(x), b=f(a) e f e g são funções inversas, assim tem-se que, 
1
1
)]('[
)()(
lim
)()(
lim
)()(
lim)(' 
















 af
ax
afxf
afxf
ax
by
bgyg
bg
axaxby
 
 
 
Exemplo 12: Dado y = f(x) = senx, achar a derivada de 
.)(1 arcsenxxf 
 
f’(x)=cosx, mas 
22 11cos yxsenx 
. Como que 
)('
1
)]'([ 1
xf
xf 
, 
tem-se que: 
2
1
1
1
]'[)]'([
x
arcsenxxf


. 
 
§4.1.113. Exercícios para aplicar a regra da cadeia no cálculo das 
derivadas de funções. 
 
Calcular as derivadas das seguintes funções. 
235. 
 4223 xy 
. 
236. 
 2223 bxay 
. 
237. 
21 xy 
. 
238. 
 523 senxy 
. 
239. 
arcsenxy  1
. 
240. 
3)(arcsenxarctgxy 
. 
241. 
xxey x 
. 
242. 
1ln  xy
. 
102 
 
243. 
5
cos23 xsenx
y


. 
244.
2xaa
x
y


. 
 
§4.2. Funções deriváveis num intervalo. 
Se uma função é derivável num intervalo é possível estudar o crescimento 
concavidade e convexidade do gráfico, entre outras propriedades, elementos 
importantes no estudo do esboço gráfico de uma função. 
 
Teorema 4: Se f: X

R é derivável à direita no ponto a

X

X’

, com 
0)('  af
, então existe um 
0
 tal que
Xx
, 
 axa
 
)()( xfaf 
. 
 
D: Tome-se 
0)('
)()(
lim 




af
ax
afxf
ax
, pela definição de limite à direita, 
tomando 
)(' afL 
, obtém-se: 
)()(0
)()(
,,0 xfaf
ax
afxf
axaXx 


  
 
Corolário 1: Se f: X

R é monótona não decrescente então suas derivadas 
laterais, onde existem são não negativas. 
 
D: Se alguma derivada lateral, digamos 
0)('  af
 então o análogo ao 
teorema daria que se x 

 X, a < x então f(a) > f(x), uma contradição. 
 
Corolário 2: Seja a 

 X um ponto de acumulação bilateral. Se f: X

R é 
derivável em a com f’ (a) > 0, então existe 

 > 0 tal que x, y 

 X, 
)()()( yfafxfayaxa   . 
 
Diz-se que uma função f: X

R tem um máximo local no ponto a 

 X 
quando existe 

 > 0 tal que x 

 X, 
ax 
< 

 

 f(a) 

 f(x); se f(x) < f(a), diz-
se que o máximo local é estrito. Definições análogas para mínimo local. 
103 
 
Quando a 

 X é tal que f(x) 

 f(a) 

 x 

 X, diz-se que a é um ponto de 
mínimo absoluto. Analogamente para máximo absoluto. 
 
Corolário 3: Se f: X

R é derivável à direita no ponto a 

 X

X’

 e tem um 
máximo local então f’

(a) 

 0. 
 
D: Se f fosse tal que f’

(a) > 0 então f(a) < f(x) para todo x

X, a < x < a + 

, 
logo f não teria um máximo no ponto a. 
 
Corolário 4: Seja a 

 X um ponto de acumulação bilateral. Se f: X

R é 
derivável no ponto a e a função possui um máximo ou mínimo local então 
f’(a)=0. 
 
D: Suponha-se 
0)('  af
 e 
0)('  af
. Como 
)(')(')(' afafaf  
, segue-
se que 
0)(' af
. 
Um ponto c

X chama-se ponto crítico da função derivável f: X

R quando 
f’(c) = 0. 
Se c

X’


X’


X é um ponto de mínimo ou de máximo, então c é um ponto 
crítico. 
 
Teorema 5 (Teorema de Darboux): Seja 
Rbaf ],[:
 derivável. Se 
f’(a)<d<f’(b) então existe c

(a, b) tal que f’(c) = d. 
 
D: Suponha-se inicialmente que d = 0. A função contínua f, pelo teorema de 
Weierstrass, atinge seu máximo e seu mínimo em algum ponto c do conjunto 
compacto [a,b]. Como f’(a) < 0 existem pontos x 

 (a, b) tal que f(x) < f(a), 
logo o mínimo não é atingido em a, isto é a < c. Por motivo análogo c < b, 
então f’(c) = 0. O caso geral reduz-se a este considerando a função auxiliar 
g(x) = f(x) - dx. Então g’(x) = f’(x) - d, donde g’(c) = 0 

 f’(c) = d e 
g’(a) < 0 < g’(b) 

 f’(a) < d < f’(b). 
 
Teorema 6 (Teorema de Rolle): Seja f: [a,b]

R contínua com f(a) = f(b). Se 
f é derivável em (a, b) existe c 

 (a, b) tal que f’(c) = 0. 
 
104 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D: Pelo teorema de Weierstrass, f atinge seu máximo M e seu mínimo m em 
pontos do conjunto compacto [a,b]. Se esses pontos forem a e b então m = M 
e f será constante, daí f’(x) = 0 para todo x

(a,b). Se um desses pontos m ou 
M estiver em (a, b) e, denote-se por c, então f’(c) = 0. 
 
Teorema7(Teorema do valor médio de Lagrange): Seja f:[a, b]

R 
contínua. Se f é derivável em (a,b), existe um 
),( bac
 tal que 
ab
afbf
cf



)()(
)('
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D: Considere-se a função auxiliar g: [a, b]

R, dada por g(x) = f(x) - dx, onde 
d é escolhido de modo que g(a) = g(b), ou seja, 
ab
afbf
d



)()(
. Pelo Teorema 
de Rolle existe c 

 (a, b) tal que g’(c)=0=f’(c)-d. Isto é 
ab
afbf
dcf



)()(
)('
. 
 
Fig.3: Gráfico de Teorema de Rolle 
 
x 
y 
a b o 
y=f(x) 
C1 
C2 
Fig.4: Gráfico do Teorema do valor médio 
x 
y 
a 
b o 
y=f(x) 
c 
105 
 
Corolário 1: Uma função f: I

R contínua no intervalo I, com derivada f’(x) = 
0 para todo x

intI, é constante. 
 
D: Dados x, y

I quaisquer, existe c entre x e y tal que 
 f(y) - f(x) = f’(c)(y - x) = 0(y - x) = 0 
 logo f(y) = f(x). 
 
Corolário 2: Se f,g: I

R contínuas, deriváveis em intI com f’(x) = g’(x) para 
todo x

intI então existe c

R tal que g(x) = f(x) + c para todo x

I. 
D: Basta considerar h(x) = g(x) - f(x). 
 
Corolário 3: Seja f: I

R derivável no intervalo I, se 
IxkxfRk  )(';
 
então 
xykxfyfIyx  )()(,
. 
 
D: Dados x, y 

 I, f é contínua no intervalofechado cujos extremos são x, y e 
diferenciável no seu interior. Logo, existe z entre x e y tal que 
f(y)-f(x) = f’(z)(y-x), 
Donde 
xykxyzfxfyf  )(')()(
. 
 
Corolário 4: A fim de que a função derivável f: I

R seja monótona não 
decrescente no intervalo I é necessário e suficiente que f’(x) 

 0 para todo 
 x 

 I. Se f’(x) > 0 para todo x 

 I então f é uma bijeção crescente de I sobre 
um intervalo J e sua inversa g=f 1 :J

I é derivável, com 
)('
1
)('
xf
yg 
 para 
todo y = f(x) 

 J. 
D: Já se sabe que f é monótona não decrescente então f’(x) 

 0 para todo 
Ix
. Reciprocamente, vale esta condição então, para quaisquer x, y 

 I, 
tem-se f(y) - f(x) = f’(z)(y - x) onde z 

 I está entre x e y. Como f’(z) 

 0 se vê 
que f(y) - f(x) 

 0, isto é x < y em I 

 f(y) 

 f(x). Do mesmo modo suponha-
se, f’(x) > 0 para todo x 

 I, tem-se f crescente. As demais afirmações foram 
provadas anteriormente. 
 
106 
 
Na epígrafe 4.1 foi visto que, quando existe a derivada f’(x) em todos os 
pontos 
XXx  '
 diz-se que a função 
RXf :
 é derivável no conjunto X e 
se obtém uma nova função 
RXXf  '' :
, tal que 
)(' xfx
 chamada à 
função derivada de f. Se f’ é derivável pode-se determinar sua derivada, 
obtendo assim uma nova função 
RXXf  ':"
, ou 
2
2
dx
fd
, no caso que as 
derivadas existam, este processo pode ser continuado, obtendo assim, as 
derivadas de ordem superior, ou derivadas de ordem n para um n natural 
qualquer. 
A seguir serão aplicadas as derivadas de segunda ordem para o estudo dos 
máximos e mínimos de funções. 
 
 §4.3. Máximos e mínimos de uma função. 
Uma função tem um máximo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, 
c
I
 tal que f(x) < f(c) para todo 
Ix
 
Uma função tem um mínimo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, 
 
c
I
 tal que f(c) < f(x) para todo 
Ix
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na gráfica os pontos x1 e x3 são pontos de máximo local, entretanto x2 e x4 
são pontos de mínimo local. 
Exemplo 13: Seja a função f(x) = -x 2 + 4. 
Tem um máximo em x = 0. 
 
Fig. 5: gráfico de máximos e 
mínimos locais 
 
107 
 
Exemplo 14: Seja a função f(x)= x 2 + 2x - 3. 
Tem um mínimo em x = -1. 
 
Proposição: Suponha-se que f’(x) existe para todos os valores de x em (a,b) 
e que tem um extremo relativo em c, onde a < c < b. Se f’(c) existe então 
f’(c)=0. 
Se f'(c) existe, a condição f’(c) = 0 é necessária para a existência de um 
extremo relativo em c. Esta condição não é suficiente. 
 
Definição: O ponto c do domínio de f tal que f’(c) = 0 ou f’(c) não existe, é 
chamado ponto crítico de f. Portanto, uma condição necessária para a 
existência de um extremo relativo em um ponto c é que c seja um ponto 
crítico. 
É interessante verificar que uma função definida num dado intervalo pode 
admitir diversos pontos extremos relativos. 
 
Exemplo 15: Seja
3)( xxf 
então
23)(' xxf 
, da condição f’(c) = 0 

 c = 0, que é o único ponto crítico de f. 
 
Exemplo 16: f(x) = (x - 2)(x + 1)(x + 3), aqui se tem que, f(2)=f(-1)=f(-3), e 
pelo teorema de Rolle, existem dois pontos onde a derivada anula-se, um no 
intervalo (-3,-1) e um outro no intervalo (-1,2). 
652)( 23  xxxxf
, 
e sua derivada, 
543)(' 2  xxxf
, 
e assim os pontos críticos de f são: 
3
192
,
3
192
21



 xx
 
Diz-se que f(c) é o máximo absoluto da função se 
)( fDc
 e f(c) > f(x) para 
todos os valores de x no domínio de f. 
Diz-se que f(c) é o mínimo absoluto da função se 
)( fDc
 e f(c) < f(x) para 
todos os valores de x no domínio de f. 
 
108 
 
Exemplo 17: A função f(x) = x2 + 6x - 3 tem um mínimo absoluto igual a 
-12 em c = -3. 
 
Exemplo 18: A função f(x) = -x2 + 6x - 3 tem um máximo absoluto igual a 6 
em c = 3. 
 
§4.4. Funções crescentes e decrescentes. 
 
Diz-se que uma função f, definida num intervalo I, é crescente, neste intervalo 
I se para quaisquer 
,,, 2121 xxIxx 
tem-se
)()( 21 xfxf 
. 
Diz-se que uma função f definida num intervalo I, é decrescente nesse 
intervalo I se para quaisquer 
,,, 2121 xxIxx 
tem-se 
)()( 21 xfxf 
. 
 
Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável no 
intervalo (a, b) e cumpre-se que: 
(i) Se f’(x) > 0 para todo x em (a, b) então f é crescente em [a,b]; 
(ii) Se f’(x) < 0 para todo x em (a, b) então f é decrescente em [a,b]. 
 
Teorema 8 (Critério da derivada primeira para determinação de 
extremos): Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b] que 
possui derivada em todos os pontos do intervalo (a,b), exceto possivelmente 
num ponto c, sendo c um ponto crítico de f: 
-Se f’(x) > 0 para todo x < c e f’(x) < 0 para todo x > c, então f tem um máximo 
relativo em c. 
-Se f’(x) < 0 para todo x < c e f’(x) > 0 para todo x > c, então f tem um mínimo 
relativo em c. 
 
Exemplos 19: Seja 
6)( 2  xxf
, f’(x) = 2x, x = 0 é um ponto crítico de f. 
Para x < 0, f’(x) < 0, e para x > 0, f’(x) > 0, então a função dada tem um 
mínimo relativo em x=0. 
 
Teorema 9 (Critério da 2º derivada para determinação de extremos de 
uma função): Seja f uma função derivável num intervalo (a,b), c um ponto 
109 
 
crítico de f neste intervalo, isto é, f'(c) = 0, com a < c < b. Se f admite a 
derivada de segunda ordem em (a,b), tem-se: 
(i) Se f”(c) < 0, então se tem um valor máximo relativo de f, no ponto x=c. 
(ii) Se f”(c) > 0, então se tem um valor mínimo relativo de f, no ponto x=c. 
 
Exemplo 20: Seja 
3)( 2  xxf
, f’(x) = - 2x, então x = 0 é um ponto crítico. 
f”(x) = - 2, assim f”(0) = - 2, a função tem um máximo relativo em x = 0. 
Uma função f é dita côncava para cima no intervalo (a,b), se f’(x) é crescente 
neste intervalo. 
Uma função f é côncava para baixo no intervalo (a,b), se f'(x) for decrescente 
neste intervalo. 
 
Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável até 
segunda ordem no intervalo (a,b): 
-Se f"(x) > 0 para todo x em (a,b), então f é côncava para cima em (a,b). 
-Se f"(x) < 0 para todo x em (a,b), então f é côncava para baixo em (a,b). 
 
Um ponto P(c,f(c)) do gráfico de uma função contínua f é chamado um ponto 
de inflexão, se existe um intervalo (a,b) contendo c, tal que uma das 
seguintes situações ocorra: 
(i) f é côncava para cima em (a,c) e côncava para baixo em (c,b), 
(ii) f é côncava para baixo em (a,c) e côncava para cima em (c,b). 
 
Exemplo 21: (0,0) é um ponto de inflexão de 
3)( xxf 
. 
Pois f”(x) = 6x, e para 
)0,(
, f”(x) < 0, quer dizer que f é côncava para baixo; 
e para 
),0( 
, f”(x)>0, quer dizer que f é côncava para cima. 
 
§4.5. Assíntotas verticais e obliquas. 
A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de y = f(x), se: 


)(lim xf
ax
 
A reta y = mx + b é uma assíntota oblíqua do gráfico de y = f(x), se: 
 i) 
m
x
xf
x


)(
lim
 
110 
 
ii) 
bmxxf
x


])([lim
 
De forma análoga para 
x
. 
 
Exemplo 22: Seja 
2
7
)(


x
xf
. 

 2
7
lim
2 xx
 e 

 2
7
lim
2 xx
, 
 
então x = 2 é uma assíntota vertical. 
 
Exemplo 23: Seja 
92
1
)(



x
x
xf
 





92
1
lim
2
9 x
x
x
 e 




 92
1
lim
2
9 x
x
x
, 
Então, 
2
9
x
 é uma assíntotavertical. 
0
)92(
1
lim 


 xx
x
m
x
 e 
2
1
92
1
lim 


 x
x
b
x
, 
Assim tem-se uma assíntota horizontal 
2
1
y
. 
 
§4.6. Esboço dos gráficos. 
Utilizando todos os itens citados na análise do comportamento de uma função, 
pode-se fazer um resumo das atividades que se terá em conta para o esboço 
dos gráficos, esses são: 
1) Determinar o D(f) 
2) Calcular os pontos de intersecção com os eixos. 
3) Encontrar os pontos críticos. 
4) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f. 
5) Encontrar os máximos e mínimos relativos. 
6) Anlisar a concavidade e os pontos de inflexão de f. 
7) Encontrar as assíntotas verticais e oblíquas. 
8) Esboçar o gráfico. 
 
111 
 
EExxeemmpplloo2244:: 
1
)(
2


x
x
xf
 
11)) DD((ff)) == RR -- {{11}} 
 
22)) PPaarraa xx == 00,, yy == 00.. 
 
33)) 
2
2
)1(
2
)('



x
xx
xf
 
--PPoonnttooss ccrrííttiiccooss:: xx == 00,, xx == 11,, xx == 22.. 
44)) CCrreesscceennttee:: 
DDeeccrreesscceennttee:: 
]2,1()1,0[ 
 
55)) ((00,,00)) -- ppoonnttoo ddee mmááxxiimmoo llooccaall.. 
((22,,44)) -- ppoonnttoo ddee mmíínniimmoo llooccaall.. 
66)) CCoonnccaavviiddaaddee:: 
3)1(
2
)(''


x
xf
 
)1,(
-PPaarraa eemmbbaaiixxoo,, ppooiiss nneessssee iinntteerrvvaalloo ff””((xx)) << 00.. 
),1( 
-PPaarraa aacciimmaa,, ppooiiss nneessssee iinntteerrvvaalloo ff””((xx)) >> 00.. 
77)) AAssssíínnttoottaass:: 

 1
2
1
lim
x
x
x
,, 

 1
2
1
lim
x
x
x
 xx == 11 éé uummaa aassssíínnttoottaa vveerrttiiccaall.. 
1
1
lim
)(
lim 


 x
x
x
xf
m
xx
 
  1
1
lim)(lim
2










x
x
x
xxfb
xx
 
 
yy == xx ++ 11 éé uummaa aassssíínnttoottaa oobbllííqquuaa.. 
 
 
 
 
 
 
 
),2[]0,(  U
112 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
§4.7. Problemas de maximização e minimização. 
 
O primeiro passo para solucionar estes problemas é escrever precisamente 
qual a função que deverá ser analisada. Esta função poderá ser escrita em 
função de uma ou mais variáveis. Quando a função é de duas variáveis deve-
se procurar expressar uma das variáveis em função da outra. 
 
Exemplo 25: Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída 
de forma que o seu volume seja 8m3. O material da base vai custar R$ 4,00 
por m2 e o material dos lados R$ 2,00 por m2. Encontre as dimensões da 
caixa, de modo que o custo do material seja mínimo. 
 
Observando a Figura 6, escreve-se a função que dá o custo do material: 
C = x2.4 + 4xy.2 
V = x2y = 8 cm3 , 
Isolando o y e substituindo em C, 
 tem-se que, 
y=
2
8
x
 
 


 080)('
648
)(' 3
2
3
xxC
x
x
xC
 
ix
ix
x
21
21
2
3
2
1



- Não é possível. 
x
xxC
64
4)( 2 
Figura 6: Gráfico da função. 
 
x 
y 
2 
4 
o 
y=x +1 
x =1 
Fig.7: Gráfico da caixa 
x 
x 
y 
113 
 
 
2
4
8
y
 
 
4.7.1. Aplicação no amazonas da maximização e minimização. 
 
Exemplo 26: Se quer construir uma oca (figura 8) cujas dimensões são 
mostradas no gráfico (figura 9), onde l é altura lateral, h é altura do telhado 
cônico e 2r diâmetro da parte inferior, se coloca a restrição adicional h=r, 
também é conhecida a sua área e se deseja maximizar seu volume. 
 
 
 
 
 
O volume da oca é a soma dos volumes do cone e o cilindro 
V=Vcone+Vcili= 3
2
3
r
r l


, 
A área da oca é A=Acone+Acili= 22 2r rl  , como a área total da oca é 
conhecida e isolando l na fórmula da área se obtém 22
2
A r
l
r




 e 
substituindo na fórmula do volume. Fica o volume como função de uma 
variável (r), 3
32/ 2
3 2
r
V rA r
   
 
Calculando a primeira derivada e igualando a zero obtém-se a equação para 
determinar os possíveis pontos extremos, veja. 
2 2( 3 ) 0
2 2
dV A
r
dr
    
, de onde 
(3 2 2)
A
r

 

, calculando a segunda 
derivada para verificar qual dos valores de r é o máximo da função volume 
h 
l 
r 
Fig.9: Gráfico das dimensões 
 
Fig.8: Gráfico da oca. 
114 
 
2
2
(3 2 2)
d V
r
d r
  
, a segunda derivada é negativa no ponto 
(3 2 2)
A
r



 , 
onde se tem um máximo. Então a oca com área A alcança seu máximo 
volume quando 
(3 2 2)
A
r



, e 
( 2 1) ( 2 1)
(3 2 2)
A
l r   
 
 
 
§4.8. Método de Newton-Raphson. 
Sabe-se que as equações polinomiais de 1a até 4a ordem tem fórmulas gerais 
para determinar sua solução, para o caso particular das equações de 3a e 4a 
ordem, onde essa fórmula quase não se utiliza, para as equações de 5a 
ordem e superior não tem fórmulas gerais, o qual foi demonstrado por Galois 
no século XIX, para as equações transcendentes, por exemplo, 
04/)1(10/)1(1)1(105 2   harcsenhh , que é uma equação com 
relação h, não se tem fórmulas e se têm que aplicar outros métodos para 
resolvê-la. 
Aqui aparecem os métodos numéricos, que permitem construir sequências 
convergentes de soluções aproximadas, quando satisfeitas determinadas 
condições. Aqui será visto o método de Newton-Raphson, o qual é muito 
importante. 
Seja a equação y=f(x), e suponha-se que tem o seguinte gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que f(x) = 0 em um valor próximo de 4, com um pacote matemático 
dar para acompanhar uma aproximação e com zoom sucessivos alcançar 
Fig10: Gráfico de Newton-Raphson. 
x 
y 
o 
y=f(x)
))=0 
-2 
4 
115 
 
aproximações imprecisas , para obter melhores aproximações é necessário 
um método numérico. 
O método de Newton–Raphson graficamente mostra-se na figura a seguir 
 
 
 
 
 
f(x)
x1
x2
 
 
 
x1 e x2 serão as aproximações convergentes à raiz, se construirá a fórmula 
para calcular os valores, o método consiste em tomar um ponto inicial na 
curva, (x0,f(x0)), onde se calcula a reta tangente, sabe-se que a primeira 
derivada da função f(x) avaliada no ponto x0, representa geometricamente o 
coeficiente angular da reta tangente a curva no ponto (x0,f(x0)), também se 
conhece que dado um ponto e o coeficiente angular, a equação da reta se 
pode determinar pela fórmula y - f(x0) = m(x - x0), como m = f’(x0) se tem que 
y-f(x0)=f’(x0)(x-x0), em x1 a reta tangente anula-se então tem-se 
f(x0)=f’(x0)(x1-x0), isolando x1 (se f’(x0) ≠ 0) , obtém-se a fórmula 
0
1 0 1
0
( )
( )
f x
x x
f x
 
, para obter x2 conhecendo x1 se aplica a mesma fórmula 
1
2 1 1
1
( )
( )
f x
x x
f x
 
 e assim sucessivamente a fórmula geral fica 
1 1
( )
( )
n
n n
n
f x
x x
f x
  
, 
como se vê na fórmula; não se pode aplicar o método no caso que a derivada 
se anule. Também se tem duas situações que o método não funciona que 
Fig.10:Gráfico dos passos do 
método de Newton-Raphson 
 
 
 
 
 
116 
 
uma aproximação fique fora do domínio da função o tenha lugar em uma 
repetição cíclica entre duas raízes. 
 
Teorema 10: Seja r a raiz de f(x) = 0 no intervalo [a,b]. Sejam f’(x) e f’’(x)continuas e diferentes de zero em [a,b]. Seja x0 um ponto de [a,b] tal que 
f’(x0)f’’(x0) > 0. Então se 
1 1
( )
( )
n
n n
n
f x
x x
f x
  
 para n= 1,2,3,...se tem 
lim n
n
x r


. 
Sobre o critério de parada do método esta associada ao erro. Se desejar obter 
uma solução com um erro absoluto menor que ε, então o método de Newon-
Raphson se desenvolve até a aproximação xn que satisfaz, |xn – xn-1| < ε. 
 
§4.8.1. Aplicação no amazonas no Método de Newton-Raphson. 
 
Exemplo 27: Em uma comunidade indígena para ter água acumulada na 
época da estiagem, tem um tanque de água da forma mostrada (fig.11) que é 
um cilindro circular colocado em forma horizontal, mais para controlar a água 
que têm em cada momento eles querem medir com uma vara atravessando o 
eixo radial. 
 
 
 
 
Utilizando geometria básica pode-se modelar o problema para encontrar 
diferentes valores de unidades cúbicas de água que tem o tanque e colocar 
altura h da vara, este processo é conhecido como aferimento, à equação 
transcendente mostrada ao início do assunto é um caso particular deste 
problema. 
vara 
Fig. 11: Gráfico do tanque. 
 
r 
117 
 
 
 
 
A área C calculando e subtraindo ao quadrante inferior esquerdo a área do 
triângulo retângulo B e o setor circular A, tem-se. 
Área (A) = 2 ( )
2
r r h
arcsen
r

, Área (B)= 
2 2( ) ( )
2
r h
r r h

 
, portanto 
Área (C) = 2 2
2 2( ) ( )( )
4 2 2
r r h r r h
r r h arcsen
r
  
   
 
O volume de água será duas vezes essa área pelo comprimento L do cilindro, 
se terá finalmente o modelo matemático em forma de equação transcendente 
para determinar altura para um volume dado do cilindro. 
2 2
2 2( ) ( )2 ( ( ) )
4 2 2
r r h r r h
V L r r h arcsen
r
  
    
, 
Observe que quando h > r os elementos A e B aparecem e é preciso somá-los 
e neste caso o sinal das expressões de suas áreas mudam. 
Considerando o caso particular e calculando a altura (h) para que o cilindro 
tenha um volume de água determinado, para um tanque de dimensões 

10
L
, r = 1 a que altura h se alcançará quatro unidades cúbicas de água? 
Ter-se-ia a equação original do início. Para o cálculo da raiz h para que o 
volume de água do cilindro seja V = 4 unidades cúbicas. 
 
2( ) 5 10(1 ) 1 (1 ) / 10 (1 ) / 4 0f h h h arcsen h          
20 ( 2)
'( )
h h
f h

 

 
Então substituindo na fórmula do método obtém-se o esquema de cálculo 
2
0 0 0
1 0
0 0
5 10(1 ) 1 (1 ) / 10 (1 ) / 4
20 ( 2)
h h arcsen h
h h
h h
 

      
 
 
, 
Precisa-se de uma primeira aproximação que satisfaça o teorema da 
convergência. 
Fig. 12: Gráfico das dimensões do tanque 
r 
h 
A B 
C 
118 
 
20( 1)
''( )
( 2)
h
f h
h h

 
 
. 
Colocando h = 0,2 se terá que, f’(0,2) f’’(0,2) = 32,42 > 0, portanto como h fica 
no intervalo [0,1;0,9] e [1,2;1,9] onde as funções possuem derivadas continuas 
e não são zeros, então se terá garantida a convergência do método. 
 
Sabe-se que em V(0) = 0, V(1) = 5, V(2) = 10 unidades cúbicas. 
 
Aplicando o método (existem muitos programas que o calculam) 
 
Obtém-se na terceira iteração h3 = 0.84226385544913873193, 
 
Na quarta iteração h4 = 0.84226380619998442167 
|h4-h3| = 4,92491543103.10
-8, que garante uma solução com um erro menor 
que 10-6. 
Portanto se aproxima na altura h = 0.842 o cilindro terá 4 unidades cúbicas de 
água. 
Se for preciso calcular para outros volumes, por exemplo, 1,2,3,5,6,7,8, e 9 
unidades cúbicas as alturas para aferir a vara, será necessário resolver a 
equação para cada um de esses valores. 
 
§4.9. Exercícios gerais do capítulo. 
 
245. Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o 
maior possível. 
246. Determinar o ponto P situado sobre o gráfico da hipérbole xy = l, que 
está mais próximo da origem. 
247. Determine o ponto da reta y = x - 1 mais próxima do ponto (2,0). 
248. Seja s uma reta que passa pelo ponto (4, 3) formando um triângulo com 
a parte positiva dos eixos coordenados. Qual a equação de s para que a área 
desse triângulo seja mínima? 
250. Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens, retangulares, exige 
que o comprimento de cada caixa seja 2m e o volume 3m3. Para gastar a 
menor quantidade de material possível na fabricação das caixas, quais devem 
ser suas dimensões? 
119 
 
251. Um cacique possui 500 Km de arame para delimitar um terreno, a dois 
fios, em forma retangular. Quais devem ser as dimensões dos lados para que 
a área seja máxima? 
252. Para cortar a quinta parte de um queijo de forma cilíndrica de r = 20 cm, 
determine aproximadamente a que distância do centro deve ser dada o corte. 
Sugestão: Aplicar variante do exemplo 16. 
 
EEssbbooççaarr oo ggrrááffiiccoo ddaass sseegguuiinntteess ffuunnççõõeess:: 
225533.. 
4
4
)(


x
xf
 
225544.. 
x
x
xf
2
13
)(


 
225555.. 
xxxxf 23)( 23 
 
225566.. 
1
5
)(


x
x
xf
 
225577.. 
x
xxf
2
)( 
 
225588.. 
23)( xxxf 
 
225599.. 
)1ln()( xexf 
 
226600.. 
4)(
1
 xexf
 
226611.. 
 2
1
2
2
4
2
)(


x
x
xf
 
226622.. 
x
x
xf
ln
)( 
 
226633.. 
1)(  xexf
 
226644.. 
)1ln()( xexf 
 
226655.. 
senxxxf )(
 
266. Sejam f, g, h: X

R tais que f(x) 

 g(x) 

 h(x) 

x

X. Se f e h são 
deriváveis no ponto a

X’

X, com f(a) = h(a) e f’(a) = h’(a), prove que g é 
derivável nesse ponto, e g’(a) = f’(a). 
Sugestão: Use duas vezes o teorema do sanduíche. 
120 
 
267. Seja I um intervalo aberto. Uma função f: I

R diz-se de classe 
C 2 quando é derivável e sua derivada f’: I

R é de classe C1 . Prove que se 
f(I) 

J e g: J

R também é de classe C 2 então a composta gof: I

R é de 
classe C 2 . 
Sugestão: Use a segunda derivada da função composta. 
268. Seja I um intervalo aberto com centro 0. Uma função f: I

R chama-se 
par quando f(x) = f(-x) par todo x

I. Prove que se f é par, suas derivadas de 
ordem par são pares, e as derivadas de ordem ímpares são ímpares. 
Enuncie resultado análogo para f impar. 
Sugestão: Use a derivada de uma função composta. 
269. Seja f: I

R derivável no intervalo I. Um ponto crítico c

I chama-se 
não degenerado quando 
0)(" cf
. Prove que todo ponto crítico não 
degenerado é um ponto de máximo ou de mínimo local. 
Sugestão: Valore os diferentes sinais da segunda derivada. 
270. Seja f: R

R definida por f(x) = (lnx)/x, indique os intervalos de 
crescimento e decrescimento de f, seus pontos críticos e seus limites 
quando x

0 e quando x

+

. 
271. Prove que 
)1,1()
2
,
2
(: 

sen
,
)1,1(),0(:cos 
 e 
Rsen  )
2
,
2
(:
 
são bijeções com derivadas diferentes de zero em todos os pontos e calcule 
as derivadas das funções inversas: 
)
2
,
2
()1,1(:

arcsen
, 
),0()1,1(:arccos 
 e 
)
2
,
2
(:

Rarctg
. 
Sugestão: Aplique a fórmula da derivada da função inversa. 
272. Sejam f, g, h: X

R tais que f(x) 

 g(x) 

 h(x) 

x

X. Se f e h são 
deriváveis no ponto a

X’

X, com f(a) = h(a) e f’(a) = h’(a), prove que g é 
derivávelnesse ponto, e g’(a) = f’(a). 
121 
 
Sugestão: Use duas vezes o teorema do sanduíche. 
273. Seja I um intervalo aberto. Uma função f: I

R diz-se de classe 
C 2 quando é derivável e sua derivada f’: I

R é de classe C1 . Prove que se 
f(I) 

 J e g: J

R também é de classe C 2 então a composta gof: I

R é de 
classe C 2 . 
Sugestão: Use a segunda derivada da função composta. 
274. Seja I um intervalo aberto com centro 0. Uma função f:I

R chama-se 
par quando f(x) = f(-x) para todo x

I. Prove que se f é par, suas derivadas 
de ordem par são pares, e as derivadas de ordem ímpares são ímpares. 
Enuncie resultado análogo para f impar. 
Sugestão: Use a derivada de uma função composta. 
275. Seja f: I

R derivável no intervalo I. Um ponto crítico c

I chama-se 
não degenerado quando f”(c)

0. Prove que todo ponto crítico não 
degenerado é um ponto de máximo ou de mínimo local. 
Sugestão: Valore os diferentes sinais da segunda derivada e conclua com 
relação à possibilidade de extremos.