GABARITO AD2 2016/2, CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS, Cederj

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Gabarito 
 
 
Questão 1: Determine, graficamente, o paralelogramo ABCD sendo dados AC = 40 mm, BD = 
58mm e o ângulo AÔD = 60º, onde O é o ponto de encontro das diagonais. (1,5 pts) 
 
 
Solução: Como a diagonal AC mede 40mm então o segmento OC= OA mede 20mm. Como BD 
mede 58 mm, então o segmento OD =OD mede 29mm. Marque sobre uma reta r um ponto O e 
construa segmento oposto OB e OD de comprimentos 29mm. Construa em O um ângulo de 60º e 
sobre a reta do novo lado do ângulo construa os segmentos opostos OC e OA de comprimentos 
20mm. O quadrilátero ABCD é o paralelogramo desejado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 2: Num losango, uma das diagonais mede 60 mm e o lado é o segmento áureo dessa 
diagonal. Construa esse losango. (1,7 pts) 
 
Solução: Para resolver este exercício devemos separá-lo em dois momentos: obtenção do segmento 
áureo de um segmento de 60mm de comprimente e a construção do losango. 
 
Primeiro momento: Construa sobre uma reta r um segmento AB de 60mm de comprimento e 
encontre seu ponto médio. Construa um triângulo retângulo ABC de catetos AB e AC sendo AC de 
comprimento igual a metade de AB, isto é, 30 mm. Marque um ponto D sobre a hipotenusa CB tal 
que CD = AC. O segmento BD é um segmento de comprimento igual ao segmento áureo de AB. 
 
 
Segundo momento: A construção do losango poderá ser feita utilizando a figura anterior sendo AC 
a metade da diagonal e perpendicular à reta r. Com centro em C e raio igual BD descreva um arco 
de circunferência que interceptará a reta r nos pontos E e F . Construndo um segmento AG oposto a 
AC de mesmo comprimento, finalizamos o losango. 
 
 
 
Questão 3: Construa um trapézio ABCD, dadas as bases AB e CD, e as diagonais AC e BD. 
(1,6 pts) 
 
Solução: Transfira para uma reta r segmento CD e construa o segmento DF consecutivo de 
comprimento AB. Com centro em C e raio AC trace um arco de circunferência e com centro em E e 
raio BD trace outro arco interceptando o primeiro arco no ponto A. Com centro em A e raio AB 
trace um arco de circunferência e com centro em D e raio BD trace outro arco interceptando o 
primeiro no ponto B. O quadrilátero ABCD é o trapézio procurado. 
 
 
 
 
Questão 4: Construa um trapézio ABCD de bases AB e CD, dados AB = 22mm, CD = 54mm, o 
ângulo interno no vértice C igual a 60º e o ângulo interno no vértice D igual a 45º. (1,6 pts) 
 
Solução: Transfira para uma reta r o segmento CD. Construa em C um ângulo de 60º e em D um 
ângulo de 45º. Marque sobre o segmento CD, em r, um ponto E tal que CE seja congruente a AB. 
Pelo ponto E trace uma paralela ao lado do ângulo de 60º construído em C. Esta paralela 
intercpetará o lado do ângulo de 45º , contruído em D, no ponto A. Com centro em A e raio AB 
trace um arco de circunferência interceptando o lado do ângulo de 60º no ponto B. O quadrilátero 
ABCD e o trapézio procurado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 5: Construa o triângulo ABC tal que AB = m, o ponto P pertence a reta suporte do lado 
AB, A pertence a r, B pertence à reta s que passa por Q paralela a r e a reta t é a bissetriz do ângulo 
no vértice C do triângulo ABC. Este problema apresenta duas soluções, encontre as duas. (1,8 pts) 
 
Solução: Trace por Q a reta s paralela a r. Com centro em um ponto E sobre r trace um arco de 
circunferência de raio m que interceptará a reta s nos pontos F e G. Trace por P a reta paralela a EF 
interceptando as retas r e s nos pontos A1 e B1 que são vértices do primeiro triângulo. Observe que 
estes pontos não pertencem ao a reta t, neste caso a reta t é bissetriz do vértice C. Trace por P a reta 
paralela a EG , interceptando as retas r e s nos pontos A2 e B2. Ache o simétrico de A1 em relação 
a t ligando-o com B1 obtendo em t o vértice C1. Ache o simétrico de A2 em relação a t ligando-o 
com B2 obtendo em t o vértice C2. Os triângulos A1B1C1 e A2B2C2 são as soluções do problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 6: Obtenha o ponto O para o qual a reta r´ seja o resultado da multiplicação de r por 2/3 
com centro de homotetia em O, e a reta s´ seja o resultado da multiplicação de s por –4/3 com 
centro em homotetia em O. (1,8 pts) 
 
Solução: Como a razão de r para r’ e positiva e menor que 1 então r’ está entre O e r. Como a 
razão de s para s’ é menor que –1 então O está entre s e s’ e mais próximo de r. O ponto O é a 
interseção dos lugares geométricos dos centros de homotetia de r para r’ e de s para s’. Estes lugares 
geométricos são retas paralelas a r e s, respectivamente. Basta então encontrarmos um ponto de 
cada lugar geométrico e traçarmos as paralelas. Marque um ponto A sobre r’ e B sobre r trace a reta 
por eles e nesta reta marque o ponto E tal que A esteja entre B e E , e EA = 2AB. Por E trace a reta 
paralela a r’, este é o primeiro lugar geométrico (LG1). Marque C sobre s’ e D sobre s. Divida CD 
em sete partes iguais, e marque F neste segmento tal que FC tome quatro das sete partes do 
segmento CD. Trace por F a paralela a s, este é o segundo lugar geométrico (LG2). A interseção de 
LG1 com LG2 é o ponto O procurado.