Primeiro estágio_Jesualdo

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT
Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME
Disciplina: Álgebra Vetorial e Geometria Analítica - Período: 2006.1
Aluno:_________________________________________
Professor:_______________________________________
Primeiro Estágio 2006.1 - 15/08/2006
Resolva 05 dentre as 06 questões abaixo
1. Encontre um vetor:
a) Com a mesma direção e sentido do vetor (3, 4) e módulo igual a
√
2;
b) Com a mesma direção e sentido contrário ao do vetor (−1, 2) e módulo igual a pi.
2. a) Mostre que se os vetores ~u e ~v têm mesma direção, então existe um número k tal que ~v = k~u;
b) Mostre que ‖~u‖2 + ‖~v‖2 = ‖~u− ~u‖2 se, e somente se, os vetores ~u e ~v são perpendiculares.
3. a) Se P ~v~u = (2, 1), ~u = (4, 2) e ‖~v‖ = 6, determine o vetor ~v;
b) Sejam ~u e ~v vetores não-nulos. Demonstre que ~u é perpendicular a ~v − P ~v~u .
4. a) Escreva as equações paramétricas e cartesiana da reta que contém o ponto (1, 2) e faz com a
reta y = −2x+ 4 um ângulo de 60o;
b) Escreva as equações paramétricas da circunferência cuja equação cartesiana é
x2 + y2 + 3x−
√
2y − 17
4
= 0.
5. a) Determine o valor de k para que a reta
2x
9
+
ky
4
= 1 seja tangente à elipse
x2
9
+
y2
4
= 1;
b) Deduza uma equação da hipérbole de focos F1(−3, 0) e F (3, 0) e vértices A1(−2, 0) e A(2, 0).
Faça um esbôço da mesma, juntamente com suas assíntotas.
6. a) Deduza uma equação da parábola de foco F (0,−1) e diretriz y = 1;
b) Deduza uma equação da parábola que contém o ponto (1,4), sabendo ue seu eixo é paralelo
ao eixo y e que seu vértice é o ponto (2, 3).