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EP1 Ca´lculo I EP1 - Ca´lculo I Ola´ pessoal !!! Sejam muito bem vindos ao Ca´lculo I !!! E´ com grande satisfac¸a˜o que preparamos esta primeira lista de exerc´ıcios da disciplina Ca´lculo I ! Esperamos que essa caminhada que realizaremos juntos seja alegre e produtiva. Faremos o poss´ıvel para lhes oferecer excelentes oportunidades de aprender coisas novas. A experieˆncia mostra que alunos com um bom rendimento no Ca´lculo I teˆm o´timo desem- penho nas disciplinas seguintes. E´ exatamente isso o que desejamos: ajuda´-los a construir uma sequeˆncia de sucessos!! Sucesso! E ao trabalho! Nessa primeira semana voceˆs devera˜o estudar as aulas 1 (“Um curso para quem quer viver no limite!”) e 2 (“Limites de func¸o˜es - algumas propriedades”). Na aula 1, a ideia principal e´ utilizar fatorac¸o˜es para levantar as indeterminac¸o˜es; na aula 2, e´ calcular graficamente limites finitos de func¸o˜es. Assim, nessa semana, voceˆs teˆm como metas principais a serem alcanc¸adas: • utilizar simplificac¸o˜es alge´bricas para calcular alguns limites de func¸o˜es racionais; • obter uma boa percepca˜o geome´trica da noc¸a˜o de limite de uma func¸a˜o em um dado ponto, ou seja, determinar o limite de uma func¸a˜o em um dado ponto a partir do gra´fico da mesma; • aprender algumas propriedades iniciais de limites de func¸o˜es para efetuar o ca´lculo dos mesmos. Iniciaremos esse nosso primeiro EP com alguns exerc´ıcios fundamentais de revisa˜o. 1. Esboce o gra´fico e determine o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f definida por: (a) f(x) = −2 (b) f(x) = −x (c) f(x) = 3 + x (d) f(x) = 1− x2 (e) f(x) = x2 + 2 (f) f(x) = √x + 1 (g) f(x) = |5− x| (h) f(x) = |x− 1| x− 1 (i) f(x) = |x 2 − 4| 2. Determine o domı´nio da func¸a˜o f definida por: (a) f(x) = x3 − 3x2 + 1 (b) f(x) = √x2 + 3x− 4 (c) f(x) = 2x x3 + x2 − 6x (d) f(x) = √ x− 1 4− x 1 EP1 Ca´lculo I (e) f(x) = 3 √ x2 + 1 x3 − x2 − 2x (f) f(x) = 4 √ 25− x2 (g) f(x) = x + 4√ x3 − x2 − 6x (h) f(x) = 1− √ x2 + 1 3. Esboce o gra´fico da func¸a˜o f definida por: (a) f(x) = { x2 − 1, se x ≤ 0 x, se x > 0 (b) f(x) = −4, se x < −2 x− 1, se −2 ≤ x ≤ 0 x2 − 4, se x > 0 (c) f(x) = |x + 1| x + 1 , se x < −1 x2 − 4, se −1 ≤ x ≤ 2 |x| − 2, se x > 2 (d) f(x) = |1 + x2| , se x ≤ 0 2, se 0 < x < 4 |x2 + x + 1| −x2 − x− 1 , se x ≥ 4 4. Calcule os seguintes limites de func¸o˜es: (a) lim x→1 4x− 1 x2 − 3 x (b) lim x→4 4x− 16 x2 − 16 (c) limx→−5 |x| − 5 x2 − 25 (d) lim x→−3 2x2 − 18 −3x2 − 12x− 9 (e) limx→1 x3 + 4x2 − 5x x2 + x− 2 (f) limx→1 3(1− x2)− 2(1− x3) (1− x2)(1− x3) (g) lim x→5 x− 5√ x−√5 (h) limx→−2 3−√7− x x2 − 4x− 12 (i) limx→1 √ 2x2 + 6x− 8 x3 + x2 − 2x (j) lim x→−1 3 √ x2 − 3x− 4 x3 − x2 − 2x (k) limx→0 √√ x2 + 4 − 2 x2 (l) lim x→3 4 √ x− 3√ x−√3 (m) lim x→−1 x3 + 1 x4 − x3 − 2x2 (n) limx→4 |6 + x− x2| − 6 16− x2 (o) limx→−1 4x2 − 8x− 12 x3 + 3x2 + 2x (p) lim x→1 x4 + 3x3 − 4x2 x4 − 1 (q) limx→−1 x2 − 4x− 5 x4 − x3 − 2x2 (r) limx→0 √ x2 + 9− 3 x2 5. Sejam f, g e h, func¸o˜es definidas nas vizinhanc¸as de −1 tais que lim x→−1 f(x) = −2, lim x→−1 g(x) = 1 e lim x→−1 h(x) = 4. Utilizando as propriedades de limites de func¸o˜es, determine: (a) lim x→−1 [f(x) g(x) + h(x)] (b) lim x→−1 [g(x)− 3h(x)] 2 EP1 Ca´lculo I (c) lim x→−1 [ h(x)− f(x) 2 g(x) ] (d) lim x→−1 √ g(x)− f(x)h(x) 6. Sejam f, g e h, func¸o˜es definidas nas vizinhanc¸as de 4 tais que lim x→4 f(x) = −2, lim x→4 g(x) = −1 e lim x→4 h(x) = 3. Utilizando as propriedades de limites de func¸o˜es, deter- mine: (a) lim x→4 [2f(x)− 4h(x)g(x)] (b) lim x→4 [ f(x)h(x)− g(x)2 + 1] (c) lim x→4 [ h(x) + 2g(x)− f(x) g(x)− 4f(x) ] (d) lim x→4 √ f(x)2 − 2g(x)h(x) 7. Considere a func¸a˜o f : R− {4} → R definida por: f(x) = x + 4 5−√x2 + 9 , se x 6= −4 −2, se x = −4 Calcule lim x→2 f(x) e lim x→−4 f(x). 8. Considere a func¸a˜o f : [0,+∞)→ R definida por: f(x) = √ x−√7 x− 7 , se x < 7 −1, se x = 7 x2 − 1 1 + x , se x > 7 Calcule lim x→4 f(x) e lim x→9 f(x). 9. Seja f : R→ R a func¸a˜o cujo gra´fico esta´ esboc¸ado na figura abaixo. 3 EP1 Ca´lculo I Determine: (a) lim x→0 f(x); (b) lim x→2 f(x); (c) lim x→3 f(x); $ (d) lim x→5 f(x); (e) lim x→8 f(x); (f) lim x→10 f(x); 10. Considere a func¸a˜o f(x) = { −4x + 1, se x ≤ 1 −x2 + 6x− 8, se x > 1 . Esboce o gra´fico de f para determinar: (a) lim x→0 f(x) (b) lim x→1 f(x) (c) lim x→2 f(x) (d) lim x→3 f(x) 11. Seja f : R→ R a func¸a˜o cujo gra´fico esta´ esboc¸ado na figura abaixo. Determine lim x→−2 f(x) e lim x→2 f(x). 4 EP1 Ca´lculo I 12. Seja f : R→ R a func¸a˜o cujo gra´fico esta´ esboc¸ado na figura abaixo. Determine: (a) lim x→−2 f(x); (b) lim x→2 f(x); (c) lim x→1 f(x). 13. Seja f : R→ R a func¸a˜o cujo gra´fico esta´ esboc¸ado na figura abaixo. Determine: (a) lim x→−2 f(x) (b) lim x→1 f(x) (c) lim x→2 f(x) (d) lim x→3 f(x) 5 EP1 Ca´lculo I 14. Considere a func¸a˜o f(x) = { x2 − 6x + 8, se x > 1 2x + 1, se x ≤ 1 . (a) Esboce o gra´fico de f ; (b) Determine lim x→1 f(x), lim x→3 f(x), lim x→4 f(x) e lim x→−2 f(x). Desejamos que estes exerc´ıcios sirvam de est´ımulo para uma ativa sec¸a˜o de trabalho! Procurem a tutoria mesmo que tudo esteja correndo bem com os seus estudos individuais. Lembrem-se: a troca de informac¸o˜es com os tutores e com os colegas e´ fundamental para o seu progresso pessoal. E na˜o esquec¸am: no´s queremos o seu sucesso! Ma´rio Olivero e Cristiane de Mello Coordenadores de Ca´lculo I 6
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