24° arquivo Formas Indeterminadas

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Formas Indeterminadas 
1 
 Formas Indeterminadas 0/0 
 Se as funções contínuas f (x) e g(x) são zero em x = a, então:. 
)(
)(
lim
xg
xf
ax
não pode ser obtido por substituição de x = a, 
pois gera a forma indeterminada 0/0. 
 A Regra de L’Hôpital nos permite, usando derivadas, calcular limites 
 que, abordados de outra maneira, levam a formas indeterminadas. 
Teorema: Regra de L´Hôpital (primeira forma) 
Suponha que f (a) = g (a) = 0, que e existam e que 
 
)(af  )(ag
0)(  ag
então: 
 
 )(
)(
)(
)(
lim
ag
af
xg
xf
ax 


 Fazer a prova 
 
 
Formas Indeterminadas 
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 Exemplo 1: Calcule os limites a seguir usando a Regra de L’Hôpital: 
x
xx
x
sen3
lim
0


Às vezes, mesmo após o processo de derivação, os novos numeradores e 
denominadores continuam nulos em x = a. Nestes casos, aplica-se a 
forma forte da Regra de L´Hôpital. 
e 
 
 
x
x
x
11
lim
0


Teorema: Regra de L´Hôpital (forma forte) 
Suponha que f (a) = g (a) = 0, onde f e g sejam deriváveis em um intervalo 
aberto I contendo a e que: 
0)(  xg
em I se x ≠ a. Então: 
 
 
)(
)(
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
axax 



Desde que o limite do lado direito da igualdade exista. 
 
 
Formas Indeterminadas 
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 Exemplo 2: Calcule os limites a seguir 
 aplicando a forma forte da Regra de L’Hôpital: 










20
30
2/11
lim
sen
lim
x
xx
x
xx
x
x
 Teorema do Valor Médio de Cauchy 
Suponha que as funções f e g sejam contínuas em [a, b] e deriváveis ao 
 longo de todo o intervalo (a, b). 
)()(
)()(
)(
)(
agbg
afbf
cg
cf





Suponha também que ao longo de todo o intervalo (a, b). 
 
 
A prova da forma mais forte da Regra de L’Hôpital baseia-se no teorema 
descrito a seguir: 
0)(  xg
Existe, assim, um 
número c em (a, b) no qual: 
 
 
Formas Indeterminadas 
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 Formas Indeterminadas /, . 0,  -  
 Prova do Teorema de L´Hôpital – forma forte. 
 Uso inadequado da Regra de L´Hôpital. 
 Caso /: Pode-se provar que a Regra de L’Hôpital é aplicada à forma 
indeterminada / da mesma forma que ocorre com a forma 0/0. 
 Assim, se f (x)    e g(x)    quando x  a, tem-se que: 
)(
)(
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
axax 



Desde que o limite do lado 
direito da igualdade exista. 
 
  Na notação x  a, o valor de a pode ser finito ou infinito. Além disso, 
 x  a pode ser substituído pelos limites laterais x  a+ e x  a -. 
Formas Indeterminadas 
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 Exemplo 3: Calcule o limite . 
x
x
x 2
ln
lim

 Outros casos: . 0,  -  : De início, deve-se transformar o caso em 
 um dos dois casos anteriores (/ ou 0/0) para então aplicar a Regra 
 de L´Hôpital. 
 Exemplo 4: Calcule o limite . 
xx
x
lnlim
0
Potências Indeterminadas 
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 Os limites que levam a formas indeterminadas do tipo 1 , 00 e 0 
podem, às vezes, ser tratados utilizando primeiro logaritmos. 
 Usa-se a Regra de L’Hôpital para encontrar o limite do logaritmo e, em 
 seguida, calcula-se a exponencial deste valor, obtendo o limite da 
 função original. Assim: 
onde a pode ser finito ou infinito. 
 
 
Se 
 
Lxf
axaxax
eexfLxf 

)(lnlim)(lim))(ln(lim
 Exemplo 5: Calcule o limite . 
x
x
x /1lim

Formas Indeterminadas 
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 Exercícios 
1. Calcule o limite das funções abaixo usando a Regra de L´Hôpital 
 (forma forte). 
xx
xx
x 

 sen
)1(cos
lim
0
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
1
2)13(2
lim
2
1 

 x
xxx
x
x
x
x 11tg
7sen
lim
0
Método de Newton 
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 É um método numérico usado para aproximar a solução de uma equação 
do tipo f (x) = 0. 
 Usa retas tangentes para substituir o gráfico de f (x) próximo aos pontos 
onde f é zero (um valor de x onde a função é nula é uma solução da 
equação f (x) = 0). 
Passos – Método de Newton 
1. Escolha de x0 (arbitrada ou com a ajuda 
de um gráfico). 
2. Use a reta tangente à curva em (x0, f (x0)) 
para aproximar a curva. 
3. Determine o ponto x1 que é onde a 
tangente do ponto anterior cruza o eixo x. 
Esta é a segunda estimativa. 
4. Os passos 2 e 3 são repetidos até que se 
esteja próximo à raiz. 
 
 
Método de Newton 
9 
 A expressão abaixo representa a equação da tangente à curva em 
 (xn, f (xn)) para uma dada aproximação xn : 
 Essa curva cruza o eixo x quando y = 0 (ver figura a seguir). 
)()()( nnn xxxfxfy 
)()()(0 nnn xxxfxf 
)(
)(
n
n
n
xf
xf
xx


)(
)(
n
n
n
xf
xf
xx


O valor de x é a próxima aproximação 
xn+1 . 
Método de Newton 
10 
 Resumo do Método de Newton. 
1. Escolha de uma primeira aproximação (x0) para resolver a equação 
 f (x) = 0. Um gráfico da função y = f (x) pode ajudar. 
2. Utilize a 1a aproximação para obter a 2a, a 2a para obter a 3a e assim 
 sucessivamente utilizando a expressão: 
)(
)(
n
n
n
xf
xf
xx

 se 
 
 
0)(  nxf
 Envolve muitos cálculos: uso computacional. 
 Método muito utilizado pelas calculadoras para determinar raízes, pois 
 a convergência do mesmo é rápida. 
Método de Newton 
11 
 Exemplo 5: Determine a raiz positiva da equação . 
02)( 2  xxf
Solução: Determinação da expressão no quadro. 
Valor de x Valor aproximado – valor exato 
x0 = 1,0 - 0,41442 
x1 = 1,5 0,08579 
x2 = 1,41667 0,00246 
x3 = 1,41422 0,00001 
Fazendo x0 = 1 como valor inicial e sabendo que 
(com 5 casas decimais), tem-se que: 
41421,12 
Método de Newton 
12 
 Exemplo 6: Determine a abscissa do ponto onde a curva 
 cruza a reta horizontal y = 1. 
xxy  3
Solução: A curva se encontra com a reta em: 
n xn f (xn) f´(xn) xn+1 
0 1,0 -1 2 1,5 
1 1,5 0,875 5,75 1,347826087 
2 1,347826087 0,100682173 4,449905482 1,325200399 
3 1,325200399 0,002058362 4,268468292 1,324718174 
4 1,324718174 0,000000924 4,264634722 1,324717957 
5 1,324717957 -1,8672e-13 4,264631999 1,324717597 
011 33  xxxx
Onde a f (x) será nula? Como: haverá uma raiz em (1,2). 





5)2(
1)1(
f
f
Fazendo x0 = 1, inicia-se o processo: 
Método de Newton 
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 Convergência do Método de Newton 
 Normalmente a velocidade de convergência é muito grande, mas isso não é 
garantido. 
 Uma maneira de testar a convergência é iniciar traçando o gráfico da função 
para fazer uma boa estimativa para x0. 
 Você pode verificar se está se aproximando de uma raiz da função 
calculando | f (xn) |. 
 A convergência também pode ser verificada calculando | xn+1 - xn |. 
 Falha do Método de Newton 
 O Método de Newton pára quando: 0)(  nxf
Neste caso, deve-se escolher um outro x0. 
Não há ponto de interseção para definir xn+1 . 
Método de Newton 
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 Falha do Método de Newton 
 No caso do exemplo a seguir: 
o Método de Newton não converge. 







rxrx
rxxr
xf
,
,
)(
 Se tomarmos x0 = r – h, o próximo valor ser x1 = r + h, e as aproximações 
 sucessivas se alternarão entre esses dois valores.Pode acontecer do Método de Newton convergir para uma raiz que não 
é a desejada. Isso normalmente ocorre quando a estimativa inicial está 
distante da raiz procurada. 
Método de Newton 
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 Exercícios 
1. Use o Método de Newton para estimar as duas raízes da função 
 f (x) descrita a seguir. Comece com x0 = 0 para a raiz à esquerda e 
 x0 = 2 para a raiz à direita. Então determine x2 em cada caso, 
 usando 5 casas decimais. 
12)( 2  xxxf
2. Seja a função f (x) dada a seguir. Mostre que a equação f (x) = 75 
 tem uma solução no intervalo [3,4] e use o Método de Newton para 
 determiná-la. No uso do método, determine x3 utilizando 4 casas 
 decimais. 
34)( xxxf 