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Teorema Fundamental do Cálculo Teorema do Valor Médio para integrais definidas O valor médio de uma função contínua ao longo de um intervalo [a, b] é sempre assumido pelo menos uma vez pela função no referido intervalo. Valor médio Geometricamente: existe um número c em [a, b] tal que o retângulo com altura igual ao valor médio f (c) da função e base (b – a) tem exatamente a mesma área que a região sob a curva de f entre a e b. b a dxxf ab )( 1 1 Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Teorema Fundamental do Cálculo Resumindo: Se a função f for contínua ao longo de [a, b], então em algum ponto c em [a, b]: b a dxxf ab cf )( 1 )( Importante: A continuidade de f é fundamental, pois uma função descontínua pode não assumir seu valor médio no intervalo. Valor médio 2 Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Teorema Fundamental do Cálculo Exemplo: Determine o valor médio de f (x) = 4 – x em [0, 3] e em que ponto do intervalo a função assume este valor. Resp: M( f ) = 2,5 e o ponto onde o valor ocorre é c = 1,5. Teorema Fundamental – Parte I Se f (t) for uma função integrável em um intervalo finito I, então a integral de qualquer número fixo a I até outro número x I nova definirá uma função F dada por: x a dttfxF )()( 3 Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Teorema Fundamental do Cálculo Se f for qualquer função contínua, o Teorema Fundamental afirma que F será uma função derivável de x cuja derivada é a própria função f. Em cada valor de x: Aspectos Geométricos Se f ≥ 0 em [a, b], para calcular , segundo a definição de derivada, faz-se: )()()( xfdttf dx d xF dx d x a )()()( xfhxFhxF Para h > 0, o numerador é obtido a partir da subtração de duas áreas. Assim, ele é a área sob a curva de f de x até x + h. Se h é pequeno: h xFhxF h )()( lim 0 4 )(xF Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Teorema Fundamental do Cálculo Dividindo os dois lados por h e considerando h 0: Teorema Se f é contínua em [a, b], então é contínua em [a, b] e derivável em [a, b]. Sua derivada é f (x): )( )()( lim)( 0 xf h xFhxF xF h x a dttfxF )()( )()()( xfdttf dx d xF x a Exercício: Use o Teorema Fundamental do Cálculo para obter: )( 1 1 a. 0 2 xfdt tdx d x 5 )sen3(b. x dttt dx d 2 1 cossec. x dtty dx dy 5 Teorema Fundamental do Cálculo Prova do Teorema Fundamental do Cálculo – Parte I Aplicando a definição de derivada à função F(x), quando x e (x + h) estão em (a, b), tem-se: De acordo com o Teorema do Valor Médio para Integrais Definidas, o valor (*) é um dos valores assumidos pela função f no intervalo entre x e x + h. Para algum número c: hx a x a hh dttfdttf hh xFhxF xF )()( 1 lim )()( lim)( 00 hx x h dttf h )( 1 lim 0 (*) hx x dttf h cf )( 1 )( 6 Teorema Fundamental do Cálculo Quando h 0, (x + h) x e c x. Como f é contínua em x, f (c) se aproxima de f (x): Assim: )()(lim)( 1 lim)( 00 xfcfdttf h xF h hx x h OBS: Se x = a ou b, o limite do início da demonstração é interpretado como um limite lateral com h 0+ ou h 0+ respectivamente. )()(lim 0 xfcf h 7 Teorema Fundamental do Cálculo Teorema Fundamental – Parte II Descreve como calcular integrais definidas sem a necessidade de calcular limites de Somas de Riemann: )()()( aFbFdxxf b a Se f é contínua em qualquer ponto de [a, b] e se F é qualquer primitiva de f em [a, b], tem-se: Prova do Teorema Fundamental do Cálculo – Parte II A parte I do Teorema Fundamental diz que existe uma primitiva de f dada por: x a dttfxG )()( 8 Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Teorema Fundamental do Cálculo Se F for qualquer primitiva de f, tem-se que F(x) = G(x) + C para alguma constante C, sendo a < x < b (Corolário 2 do Teorema do Valor Médio para Derivadas). Como F e G são contínuas em [a, b], a expressão F(x) = G(x) + C também é válida para x = a e x = b, considerando-se limites laterais, pois são pontos de extremidade. Assim: )()()()()()( aGbGCaGCbGaFbF b a a a b a dttfdttfdttf )()()( OBS: Notação para F(b) – F(a) é: b a b a xFxF )(ou)( Quando F(x) tem mais de um termo 9 Teorema Fundamental do Cálculo Conclusões Se você primeiro integrar a função f e depois derivar o resultado, vai obter a função f : Assim, de certa forma, os processos de integração e derivação são o “inverso” um do outro. )()( xf dx dF dttf dx d x a Se você primeiro derivar a função F e depois integrar o resultado, vai obter a função F (ajustada por uma constante de integração): )()()( aFxFdttfdt dt dF x a x a 10 Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Teorema Fundamental do Cálculo O teorema ainda afirma que: Qualquer função contínua f tem uma primitiva F. A equação diferencial dy/dx = f (x) tem uma solução y = F(x) para qualquer função contínua f. Exercício: Calcule as integrais abaixo: 0 cosa. dxx 2 0 )2(b. dtt 4 1 4 c. dx x Resp: 0 Resp: 4 ln4 Resp: -1 11 Luciany Lopes Realce Luciany Lopes Realce Área Total Na soma de Riemann quando f (ck) é positiva: f (ck) x é a área de um retângulo. negativa: f (ck) x é a área de um retângulo com sinal negativo. Exemplo: Seja a função y = sen(x) no intervalo [0, 2]. Pede-se: a. Calcular a integral definida de f (x) em [0, 2]. b. Determinar a área de f (x) entre o gráfico da função e o eixo x em [0, 2]. Respostas: a. 0 b. 4 12 Área Total Resumindo: Para determinar a área entre a curva y = f (x) e o eixo x no intervalo [a, b]: a. Subdividir o intervalo [a, b] nas raízes de f. b. Integrar o valor da função f em cada subintervalo. c. Somar os valores absolutos das integrais. 13 Luciany Lopes Realce
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