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Apostila - Equações Diferenciais Ordinárias

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Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Prof. Ulysses Sodre´
Material para alunos dos cursos de Matema´tica e
de Fı´sica da Universidade Estadual de Londrina
Londrina-PR, 30 de abril de 2013.
Matema´tica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
SUMA´RIO ii
Suma´rio
1 Conceitos fundamentais em equac¸o˜es diferenciais 1
1.1 Definic¸a˜o de Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Ordem e Grau de uma Equac¸a˜o Diferencial . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Classes de diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Operadores diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria Linear de ordem n . . . . . . . . . . 3
1.6 Soluc¸a˜o de uma EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.7 Existeˆncia e unicidade de soluc¸a˜o para uma EDO . . . . . . . . . . 4
1.8 Problema de Valor Inicial (PVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 EDO de primeira ordem 4
2.1 A forma normal e a forma diferencial de primeira ordem . . . . . 4
2.2 Equac¸o˜es Separa´veis de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Modelos Matema´ticos e Equac¸o˜es Diferenciais . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Crescimento Populacional: Modelo de Malthus . . . . . . . . . . . 6
2.5 Crescimento Populacional: Modelo de Verhulst–Pearl . . . . . . . 8
2.6 Equac¸o˜es homogeˆneas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . 9
2.7 Equac¸o˜es Exatas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8 Resoluc¸a˜o de uma EDO na forma Mdx+Ndy = 0 . . . . . . . . . . 12
2.9 Teorema de Existeˆncia e Unicidade de soluc¸a˜o de um PVI . . . . . . 13
2.10 Simplificando equac¸o˜es lineares de primeira ordem . . . . . . . . . 13
2.11 Complementos de Ana´lise na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.12 Me´todo do Fator Integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.13 Equac¸o˜es na˜o lineares de 1a. ordem redutı´veis a lineares . . . . . . 17
2.13.1 A Equac¸a˜o de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.13.2 A Equac¸a˜o de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 EDO de segunda ordem 20
3.1 EDO Lineares de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Equac¸o˜es Lineares homogeˆneas de segunda ordem . . . . . . . . . 21
3.3 Teorema de Existeˆncia e Unicidade de soluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . 21
Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias - Prof. Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2013
SUMA´RIO iii
3.4 EDO Lineares de 2a. ordem com coeficientes constantes . . . . . . 21
3.5 Soluc¸a˜o da equac¸a˜o Homogeˆnea Associada . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6 Me´todo de d’Alembert para obter uma outra soluc¸a˜o . . . . . . . . 23
3.7 Equac¸a˜o equidimensional de Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . 26
3.8 Me´todo dos Coeficientes a Determinar . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.9 Me´todo da Variac¸a˜o dos Paraˆmetros (de Lagrange) . . . . . . . . . . 32
4 Reduc¸a˜o da ordem de uma EDO 37
4.1 EDOL da forma y(n) = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 EDOL que na˜o tem o termo em y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 EDOL que na˜o possui os termos em y e em y′ . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 EDOL que na˜o possui os termos em y, y′ e y′′ . . . . . . . . . . . . . 38
4.5 EDOL que na˜o possui y, y′, y′′, ..., y(k−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.6 Equac¸a˜o que na˜o tem a varia´vel independente x . . . . . . . . . . . 38
4.7 EDO F (y, y′, ..., y(n)) = 0, F homogeˆnea so´ nas varia´veis y(k) . . . . 39
5 Aplicac¸o˜es de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias 40
5.1 Decaimento Radioativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Lei do resfriamento de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 Elementos de Eletricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4 Circuitos Ele´tricos RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
“Ora, a fe´ e´ o firme fundamento das coisas que se esperam e a prova das coisas que na˜o
se veˆem. Porque por ela os antigos alcanc¸aram bom testemunho. Pela fe´ entendemos
que os mundos foram criados pela palavra de Deus; de modo que o visı´vel na˜o foi feito
daquilo que se veˆ.” Carta aos Hebreus 11:1-3, A Bı´blia Sagrada.
Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias - Prof. Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2013
Sec¸a˜o 1 Conceitos fundamentais em equac¸o˜es diferenciais 1
1 Conceitos fundamentais em equac¸o˜es diferenciais
1.1 Definic¸a˜o de Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria
Uma Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria (EDO) e´ uma relac¸a˜o da forma
F (x, y(x), y′(x), y′′(x), ..., y(n)(x)) = 0
envolvendo uma func¸a˜o desconhecida (func¸a˜o inco´gnita) y = y(x)
e suas derivadas (ou diferenciais).
x e´ a varia´vel independente, y e´ a varia´vel dependente.
O sı´mbolo y(k) e´ a derivada de ordem k de y = y(x) na varia´vel x.
Exemplos de EDO:
À y′′ + 3y′ + 6y = sin(x)
Á (y′′)3 + 3y′ + 6y = tan(x)
 y′′ + 3y y′ = ex
à y′ = f(x, y)
Ä M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0
Å
dy
dx
= −M(x, y)
N(x, y)
1.2 Ordem e Grau de uma Equac¸a˜o Diferencial
A ordem da EDO e´ a ordem da mais alta derivada da func¸a˜o inco´gnita
que esta´ na equac¸a˜o.
O grau da EDO e´ o valor do expoente da derivada mais alta da
equac¸a˜o, quando a EDO tem a forma polinomial na func¸a˜o des-
conhecida e em suas derivadas, como por exemplo:
A y(3) +B y(2) + C y(1) +D y(0) = 0
Exemplos de graus e ordens de EDO:
À y′′ + 3y′ + 6y = sin(x) e y′′ + 3y y′ = ex teˆm ordem 2 e grau 1.
Á (y′′)3 + 3(y′)10 + 6y = tan(x) tem ordem 2 e grau 3.
 y′ = f(x, y) e M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 teˆm ordem 1 e grau 1.
Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias - Prof. Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2013
1.3 Classes de diferenciabilidade 2
1.3 Classes de diferenciabilidade
Uma func¸a˜o real f : R → R pertence a` classe de diferenciabilidade
Cn(R), se:
À f e´ contı´nua; Nota: f = f (0)
Á Todas as derivadas f (k) (k = 1, 2, 3, ..., n) sa˜o func¸o˜es contı´nuas
C0(R) e´ a classe das func¸o˜es reais contı´nuas definidas sobre R.
Exemplos: A func¸a˜o definida por f : R→ R, por:
À f(x) = |x| pertence a` classe C0(R) mas na˜o pertence a` classe C1(R).
Á f(x) = x2|x| pertence a` classe C3(R) mas na˜o pertence a` classe C4(R).
 f(x) = ex pertence a` classe C∞(R).
1.4 Operadores diferenciais lineares
O conjunto F = Cn(R) de todas as func¸o˜es reais n vezes continua-
mente diferencia´veis, e´ um espac¸o vetorial sobre R. Para cada ele-
mento f ∈ F , definimos o operador diferencial D : F → F por
D(f) = f ′
sendo D0(f) = f . Para cada k = 1, 2, 3, ..., n, definimos o operador
diferencial recursivo Dk : F → F por
Dk(f) = D[Dk−1(f)] = f (k)
onde f (k) e´ a derivada de ordem k da func¸a˜o f ∈ F .
Os operadores diferenciais Dk : F → F sa˜o lineares, isto e´, para
quaisquer func¸o˜es f e g em F e para quaisquer a, b ∈ R:
Dk(af + bg) = a Dk(f) + b Dk(g)
Exemplo: O operador L = x5D2 + exD + sin(x) I e´ linear sobre o
espac¸o vetorial F = C2(R), pois para para quaisquer f, g ∈ F e
para quaisquer a, b ∈ R, vale a identidade
L(af + bg) ≡ a L(f) + b L(g)
Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias - Prof. Ulysses Sodre´ - Matema´tica - UEL - 2013
1.5 Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria Linear de ordem n 3
1.5 Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria Linear de ordem n
Uma EDO linear de ordem n (EDOLn) tem a forma
a0(x) y
(n) + a1(x) y
(n−1) + a2(x) y(n−2) + ...+ an(x) y = b(x)
onde a func¸a˜o b = b(x) e as func¸o˜es ak = ak(x) (k = 0, 1, 2, ..., n)
coeficientes das derivadas sa˜o conhecidas, sendo a0 = a0(x) 6= 0
e todas estas func¸o˜es dependem somente da varia´vel x. A func¸a˜o
desconhecida e´ y = y(x).
Pela definic¸a˜o acima, definimos o operador diferencial linear por
L = a0(x) D
(n) + a1(x) D
(n−1) + a2(x) D(n−2)