Apostila - Equações Diferenciais Ordinárias

+ ...+ an(x) I
logo, a EDO pode ser escrita na forma
L(y) = b(x)
Este e´ o motivo pelo qual, a EDO acima recebe o nome de linear.
1.6 Soluc¸a˜o de uma EDO
Uma soluc¸a˜o para uma EDO e´ uma func¸a˜o que satisfaz identica-
mente a` EDO.
A soluc¸a˜o mais geral possı´vel que uma EDO admite e´ a soluc¸a˜o
geral, enquanto que uma outra soluc¸a˜o e´ denominada soluc¸a˜o par-
ticular.
Exemplos de EDO com soluc¸o˜es gerais e particulares:
À y(x) = e−x e´ uma soluc¸a˜o particular de y′ + y = 0.
Á y(x) = Ce−x e´ a soluc¸a˜o geral de y′ + y = 0.
 y(x) = sin(x) e´ uma soluc¸a˜o particular de y′′ + y = 0.
à y(x) = A sin(x) +B cos(x) e´ a soluc¸a˜o geral de y′′ + y = 0.
Ä y(x) = 777 e´ uma soluc¸a˜o particular de y′′ + 3yy′ = 0.
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1.7 Existeˆncia e unicidade de soluc¸a˜o para uma EDO 4
1.7 Existeˆncia e unicidade de soluc¸a˜o para uma EDO
Existem treˆs perguntas importantes sobre soluc¸o˜es para uma EDO.
À Dada uma equac¸a˜o diferencial, sera´ que ela tem soluc¸a˜o?
Á Se a EDO tem soluc¸a˜o, sera´ que a soluc¸a˜o e´ u´nica?
 Existe uma soluc¸a˜o que satisfaz a uma condic¸a˜o especial?
Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existeˆncia e
Unicidade de Soluc¸a˜o que garante resposta para algumas das questo˜es
desde que a EDO tenha algumas caracterı´sticas.
Alertamos que obter uma soluc¸a˜o para uma EDO e´ similar a calcular
uma integral real e sabemos que existem integrais que na˜o possuem
primitivas, como e´ o caso das integrais elı´pticas.
NA˜O PODEMOS ESPERAR QUE TODAS AS EDO POSSUAM SOLUC¸O˜ES.
1.8 Problema de Valor Inicial (PVI)
Uma EDO satisfazendo a certas condic¸o˜es iniciais e´ denominado
Problema de Valor Inicial (PVI).
Exemplo: ex y′ + 2y = arctan(x) com a condic¸a˜o inicial y(0) = pi.
Quando temos condic¸o˜es iniciais, podemos obter soluc¸o˜es particu-
lares para a EDO e quando na˜o temos condic¸o˜es adicionais, de-
vemso obter a soluc¸a˜o geral.
2 EDO de primeira ordem
2.1 A forma normal e a forma diferencial de primeira ordem
Muitas EDO de primeira ordem podem ser escritas na sua forma
normal, dada por:
y′ = f(x, y)
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2.2 Equac¸o˜es Separa´veis de primeira ordem 5
Quando a func¸a˜o f = f(x, y) pode ser escrita como o quociente de
duas outras func¸o˜es M =M(x, y) e N = N(x, y), obtemos:
y′ =
M(x, y)
N(x, y)
Quando existe o sinal negativo antes da frac¸a˜o, a EDO tem a forma
y′ = −M(x, y)
N(x, y)
e como dy = y′(x) dx, obtemos a EDO na forma diferencial:
M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0
Exemplos de EDO em suas formas normal e diferencial:
À y′ = cos(x+ y) (forma normal)
Á y′ =
x
y
(forma normal)
 xdx− ydy = 0 (forma diferencial)
à Mdx+Ndy=0 (forma diferencial)
2.2 Equac¸o˜es Separa´veis de primeira ordem
Se a EDO M dx +N dy = 0 e´ tal que M = M(x) e N = N(y), enta˜o
esta EDO fica na forma
M(x) dx+N(y) dy = 0
Esta EDO e´ separa´vel. Podemos separar as func¸o˜es de modo que
cada membro da igualdade possui uma func¸a˜o de somente uma
varia´vel, logo, podemos integrar cada membro apenas nessa varia´vel.
Exemplo: A EDO y′ =
x
y
na forma normal, pode ser reescrita na
forma diferencial xdx− ydy = 0 ou na forma
x dx = y dy
Integrando cada termo na pro´pria varia´vel e reunindo as constantes
em uma u´nica constante C, obtemos:
x2
2
+ C1 =
y2
2
+ C2, ou seja,
x2 − y2 = C
Esta relac¸a˜o (na˜o e´ uma func¸a˜o) mas satisfaz a` EDO dada.
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2.3 Modelos Matema´ticos e Equac¸o˜es Diferenciais 6
2.3 Modelos Matema´ticos e Equac¸o˜es Diferenciais
Muitos problemas pra´ticos podem ser modelados pela Matema´tica,
de acordo com as quatro etapas (na˜o muito bem definidas):
À Construir um modelo matema´tico para descrever um fenoˆmeno fı´sico;
Á Estabelecer um procedimento matema´tico adequado ao modelo fı´sico;
 Realizar ca´lculos nume´ricos aproximados com o Modelo Matema´tico pre´-
estabelecido;
à Comparar as quantidades nume´ricas obtidas pelo Modelo Matema´tico com
aquelas esperadas a partir da formulac¸a˜o do modelo criado para resolver o
problema.
Apo´s estas etapas, analisamos os resultados e verificamos se os mes-
mos sa˜o adequados para que possamos aceitar o modelo, mas, se os
resultados na˜o sa˜o adequados, devemos reformular o modelo, em
geral, introduzindo maior controle sobre as varia´veis importantes e
retirando o controle sobre as varia´veis que na˜o sa˜o importantes.
2.4 Crescimento Populacional: Modelo de Malthus
Problemas populacionais sa˜o u´teis e trazem muitas perguntas:
À Qual sera´ a populac¸a˜o em um local ou meio ambiente em alguns anos?
Á Como podemos proteger os recursos deste local ou deste meio ambiente
para que na˜o ocorra a extinc¸a˜o de uma ou va´rias espe´cies?
Aplicac¸a˜o: Uma aplicac¸a˜o de uma EDO relacionado ao Problema
populacional, e´ quando consideramos o modelo matema´tico mais
simples para estudar o crescimento populacional de algumas espe´cies,
conhecido como: Modelo de Crescimento Exponencial de Malthus.
O modelo de Malthus afirma que a taxa de variac¸a˜o da populac¸a˜o
N = N(t) em relac¸a˜o ao tempo, denotada por
dN
dt
, e´ proporcional a`
populac¸a˜o presente e temos a EDO:
dN
dt
= k N
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2.4 Crescimento Populacional: Modelo de Malthus 7
onde a taxa k e´ uma constante. Se k ≥ 0, ocorre crescimento e se
k ≤ 0, ocorre decrescimento.
Figura 1: Modelo de Malthus: Curva exponencial
Esta EDO tem soluc¸a˜o
N(t) = N0 e
kt
ondeN(0) = N0 e´ a populac¸a˜o inicial. Podemos concluir o seguinte:
À Se k > 0, a populac¸a˜o cresce, lim
t→∞
N(t) =∞ e ocorre a explosa˜o da populac¸a˜o.
Á Se k < 0, a populac¸a˜o se reduz, lim
t→∞
N(t) = 0 e ocorre a extinc¸a˜o da populac¸a˜o.
O primeiro caso na˜o serve e o modelo pode na˜o funcionar bem a
longo prazo, por causa das limitac¸o˜es do ambiente. A complicac¸a˜o
e´ que o crescimento populacional e´ eventualmente limitado por al-
gum fator, usualmente dentre os recursos essenciais. Quando uma
populac¸a˜o esta´ muito distante de seu limite de crescimento ela pode
crescer de modo exponencial, mas quando esta´ pro´xima de seu li-
mite o tamanho da populac¸a˜o pode variar.
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2.5 Crescimento Populacional: Modelo de Verhulst–Pearl 8
2.5 Crescimento Populacional: Modelo de Verhulst–Pearl
Existe um outro modelo proposto para corrigir este problema do
modelo exponencial, conhecido como Modelo Logı´stico (ou Mo-
delo de Verhulst-Pearl). A EDO para este modelo e´:
dN
dt
= k N
(
1− N
L
)
onde L e´ o limite ma´ximo para a populac¸a˜o, tambe´m conhecido
como a capacidade do ambiente.
Figura 2: Modelo de Verhulst-Pearl: Curva logı´stica
Se N = N(t) e´ muito pequeno em relac¸a˜o a` capacidade do ambiente
L, a expressa˜o em pareˆnteses e´ pro´xima de 1 e o modelo se reduz ao
modelo exponencial de Malthus.
Este e´ um exemplo de uma EDO na˜o linear separa´vel.
As soluc¸o˜es constantes sa˜o N = 0 e N = L. As soluc¸o˜es na˜o cons-
tantes sa˜o obtidas pela separac¸a˜o das varia´veis, seguido por inte-
grais com a te´cnica das frac¸o˜es parciais.
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2.6 Equac¸o˜es homogeˆneas de primeira ordem 9
Com algumas manipulac¸o˜es alge´bricas, obtemos:
N(t) =
L C ekt
L+ C ekt
onde C e´ uma constante e L e´ o limite do ambiente.
Considerando 0 < N0 < L, obtemos:
N(t) =
L N0
N0 + (L−N0) e−kt
Com ca´lculos simples de limites podemos mostrar que
lim
t→∞N(t) = L
Esta