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CÁLCULO III – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRISA
Moisés Moreira Carreiro – 200811685
1 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
1.1 – DEFINIÇÃO
Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação que envolve uma função incógnita de uma única variável independente e suas derivadas.
1.2 – ORDEM
A ordem de uma EDO. é a ordem da derivada mais alta que nela aparece.
1.3 – GRAU
 
O grau de uma “E. D. O. que pode ser escrita como um polinômio“, na função incógnita e suas derivadas é a potência que se acha elevada a derivada de ordem mais alta.
1.4 – E. D. Os. LINERAS
Uma E DO. de ordem N na função incógnita Y e uma variável independente X é linear se tem a forma:
bn(x) 
1.5 – SOLUÇÕES
1.5.1 – DEFINIÇÃO
Uma solução de uma EDO na função incógnita Y e na variável X é uma função Y(X) que verifica identicamente a equação.
1.5.2 – SOLUÇÃO PARTICULAR E SOLUÇÃO GERAL
Uma solução particular de uma EDO é qualquer solução de mesma.
A solução geral de uma EDO é o conjunto de todas as soluções.
1.5.3 – PROBLEMA DE VALOR INICIAL E PROBLEMA DE VALORES DE CONTORNO
Uma EDO com condições subsidiárias relativas à função incógnita e suas derivadas para o mesmo valor da variável independente é chamado de problema de valor inicial, caso as condições sejam dadas para valores diferentes da variável independente, tem-se um problema de valores de contorno.
2 - CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM
2.1 – FORMA NORMAL E FORMA DIFERENCIAL
A forma normal de uma EDO de 1ª ordem é . Porém, representando como o cociente de duas funções e , teremos:
Daí, , que é a forma diferencial de uma EDO de 1ª ordem.
2.2 – EDO LINEAR
As EDO lineares podem ser sempre escritas na forma:
 .
2.3 – EDO HOMOGÊNEA
Uma EDO de 1ª ordem é homogênea se , para todo “t” real.
2.4 – EDO SEPARÁVEL
Seja a EDO , se:
 
e, 
então a EDO é dita separável ou de variáveis separáveis.
2.5 – EDO EXATA
Seja a EDO 
então se,
a equação é dita exata.
3 – EDOs SEPARÁVEIS
Seja uma EDO de 1ª ordem separável, então pode se dizer que:
onde C é uma constante arbitrária.
4 – EDOs DE 1ª ORDEM HOMOGÊNEAS
4.1 – MÉTODO DE RESOLUÇÃO
Seja 
uma EDO homogênea, se for feita a substituição y+ v.x, teremos:
4.2 – MÉTODO ALTERNATIVO
 Escrevendo a equação diferencial como
E fazendo a substituição
A derivada correspondente é
5 – EDO DE 1ª ORDEM EXATA
5.1 – MÉTODO DE RESOLUÇÃO
Se a EDO é exata, então existe uma função g(x,y)tal que dg(x,y) = 
.
Além disso, pode-se dizer que g(x,y) = c, pois dg(x,y) = 0 y = y(x) e, 
 
 
Para resolver a EDO exata, deve-se considerar as seguintes equações:
6 – FATOR INTEGRANTE
Uma função I(x,y) é um fator integrante da EDO
 
Se a EDO 
I(x,y) , é exata.
6.1 – DETERMINAÇÃO DE UM FATOR INTEGRANTE
Se a EDO é possível separar o grupo de termos:
Ydx . Xdy
Então o fator integrante será um dos seguintes:
Ydx + Xdy
Então o fator integrante será um dos seguintes:
Se na EDO não é possível separar os grupos de termos citados em (i) e (ii) o fator integrante poderá ser determinado usando um dos três casos seguintes:
iii) Se
Função de X somente então
iv) Se
Função de Y somente então
v) Se
Então:
7 – EDOs DE 1ª ORDEM LINEARES
7.1 – FATOR INTEGRANTE
Um fator integrante da equação diferencial y’ + p(x)y = q(x) é:
7.2 – MÉTODO DE RESOLUÇÃO
Ao multiplicar a equação diferencial
O membro esquerdo da equação resultante será:
A integração direta desta nova equação nos dará a solução da EDO linear dada.