Álgebra Linear I - Poli - Psub - 2013

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GABARITO PSUB – 2013 
 
Questão Resposta 
1 A 
2 A 
3 E 
4 D 
5 A 
6 B 
7 A 
8 A 
9 C 
10 E 
11 C 
12 C 
13 B 
14 C 
15 A 
16 D 
 
MAT2457 - Álgebra Linear para Engenharia I
Prova Substitutiva - 26/06/2013
Nome: NUSP:
Professor: Turma:
INSTRUÇÕES
(1) A prova tem início às 7:30 e duração de 2 horas.
(2) Não é permitido deixar a sala sem entregar a prova.
(3) Todo material não necessário à prova (mochilas, bolsas, calculadoras, agasalhos, bonés, celulares, livros, etc.) deve ficar na frente da sala.
(4) Sobre a carteira devem permanecer apenas lápis, caneta, borracha e documento de identidade com foto.
(5) É permitida a entrada na sala até as 8:00 e não é permitida a saída da sala antes das 8:40.
(6) As respostas devem ser transferidas para a folha óptica durante as 2 horas de prova (não há tempo extra para o preenchimento da folha
óptica).
(7) Só destaque o gabarito do aluno (última folha) quando for entregar a prova. Não esqueça de anotar o tipo de prova no gabarito do aluno
(para que você possa depois conferir suas respostas com o gabarito oficial).
(8) A folha óptica deve ser preenchida com caneta esferográfica azul ou preta.
(9) Para o correto preenchimento da folha óptica siga o exemplo abaixo.
Notação: Nas questões nas quais um sistema de coordenadas em E3
não é especificado, fica subentendido que as coordenadas são dadas
com respeito a um sistema de coordenadas em que a base é ortonormal
e positiva.
Se v1, . . . , vn são vetores de um espaço vetorial V, o subespaço veto-
rial de V gerado por eles será denotado por [v1, . . . , vn]. O vetor nulo de
V será denotado por 0V .
O espaço vetorial formado por todos os polinômios será denotado
por P(R), enquanto Pn(R) denotará o espaço dos polinômios de grau
menor ou igual a n (mais o polinômio nulo).
Questão 1. Sejam S1 e S2 os subespaços de P2(R) definidos por
S1 =
[
1− t, 1+ 2t− 3t2, 1− t2]
S2 =
{
p ∈ P2(R) : p(1) = p(−1)
}
.
Então, as dimensões de S1, S2 e S1 ∩ S2 são, respectivamente, iguais a
a. 2, 2 e 1
b. 2, 2 e 0
c. 2, 2 e 2
d. 3, 2 e 1
e. 3, 2 e 2
2
Questão 2. Dada a matriz
A =
1 −1 0 11 0 −1 0
3 0 2 −1
 ,
seja W o subespaço deR4 gerado pelas linhas de A e seja S o subespaço
de R4 definido por S = {X ∈ R4 : AX = 0}. Considere as seguintes
afirmações:
(I) As colunas de A formam um conjunto linearmente indepen-
dente emR3.
(II) dim S = 2.
(III) dimW + dim S = 4.
Está correto o que se afirma em
a. (III), apenas.
b. (I) e (III), apenas.
c. (II) e (III), apenas.
d. (I), apenas.
e. (I), (II) e (III).
Questão 3. Uma equação geral do plano que é paralelo à reta
(x, y, z) = (1,−1, 2) + λ(2, 2, 2) (λ ∈ R)
e que contém os pontos P = (1, 0, 1) e Q = (0,−1, 1) é
a. x− y+ z = 2
b. 3x− 3y+ 2z = 5
c. z = 1
d. 2x− 2y+ 3z = 5
e. x− y = 1
3
Questão 4. Seja λ ∈ R e denote a matriz identidade de tamanho 3× 3
por I3. Considere a matriz A =
−1 0 00 1 2
0 2 1
. Então, o valor de λ para
que o subespaço S =
{
X ∈ R3 : (A−λI3)X = 0
}
deR3 tenha dimensão
2 é igual a
a. 0
b. 3
c. 1
d. −1
e. −3
Questão 5. Assinale a afirmação FALSA acerca de subespaços vetoriais
S1 e S2 de um espaço vetorial V de dimensão finita igual a n.
a. dim S1 + dim S2 ≤ n.
b. Se dim S1 + dim S2 > n, então S1 ∩ S2 6= {0V}.
c. Se dim S1 + dim S2 < n, então S1 6= V.
d. Se dim S1 = n, então S2 ⊂ S1.
e. V admite uma base contendo vetores de uma base de S1.
Questão 6. Considere os seguintes subconjuntos de M3(R):
A =
{
(aij) ∈ M3(R) : a11 + a22 + a33 = 0
}
B =
{
(aij) ∈ M3(R) : aij = 0, se i > j}
Assinale a alternativa correta.
a. Somente B é um subespaço de M3(R) e dim B = 3.
b. A ∩ B é um subespaço de M3(R) e dim A ∩ B = 5.
c. A e B são subespaços de M3(R) com dim A = 2 e dim B = 6.
d. A ∩ B é um subespaço de M3(R) e dim A ∩ B = 3.
e. Somente A é um subespaço de M3(R) e dim A = 3.
4
Questão 7. O tetraedro T tem vértices A, B,C,D tais que as arestas AB,
AC e AD medem, respectivamente, 1, 2 e 3. Além disso, sabe-se que a
medida do ângulo entre as arestas AB e AC é pi/12 radianos, e que a
medida do ângulo entre a aresta AD e a direção ortogonal ao plano que
contém os vértices A, B e C também é pi/12 radianos. Então, o volume
de T é igual a
a. 1/4
b. 1/8
c. 1/12
d. 1/2
e. 1/6
Questão 8. Considere as afirmações abaixo.
(I) Se V é um espaço vetorial de dimensão n, então qualquer con-
junto com mais do que n elementos é um conjunto gerador de V.
(II) Se p1(x), . . . , pn(x) são elementos de P(R) tais que
{
p1(x), . . . , pk(x)}
é linearmente independente, então o conjunto
{
xp1(x), . . . , xpk(x)}
também é linearmente independente.
(III) Dado v ∈ Rn, o conjunto {A ∈ Mm×n(R) : Av = 0} é um espaço
vetorial.
Está correto o que se afirma em
a. (II) e (III), apenas.
b. (II), apenas.
c. (I) e (III), apenas.
d. (III), apenas.
e. (I) e (II), apenas.
5
Questão 9. A soma das coordenadas de t3 com respeito à base{
1, 2− t, t2 + 1, 1+ t+ t3}
de P3(R) é igual a
a. 1
b. −2
c. −1
d. 0
e. 2
Questão 10. Considere as seguintes afirmações acerca de dois subcon-
juntos finitos A e B de um espaço vetorial V:
(I) Se A ⊂ B ⊂ V e v ∈ [A], então v ∈ [B].
(II) Se S é um subespaço vetorial deV, A ⊂ B ⊂ S e B é um conjunto
gerador de S, então A também gera S.
(III) Se A e B são linearmente independentes e [A] ∩ [B] = {0V}, en-
tão A ∪ B é linearmente independente.
Está correto o que se afirma em
a. (III), apenas.
b. (I), (II) e (III).
c. (I), apenas.
d. (I) e (II), apenas.
e. (I) e (III), apenas.
6
Questão 11. Seja α ∈ R, α 6= 0, e seja pi o plano que passa pelos pontos
A = (0, 0, α), B =
(
0,− α2 , 0
)
e C = (−α, 0, 0). Então, os valores de α para
que a distância do ponto P = (1, 1, 0) ao plano pi seja 2
√
6
3 são
a. −9 e 12
b. 9 e −5
c. −7 e 1
d. 9 e 5
e. 7 e −1
Questão 12. Sejam A ∈ M3(R) e b ∈ M3×1(R). Suponha que o sistema
linear AX = b, depois de escalonado, escreva-se na forma RX = d (com
R ∈ M3(R) e d ∈ M3×1(R)) e que sua solução geral seja da forma
(4, 0, 0) + λ(2, 1, 0) + µ(5, 0, 1) (λ, µ ∈ R).
Se a entrada na posição (1, 1) da matrix R é igual a 1, então d e a soma
dos elementos da primeira linha de R são, respectivamente,
a. (5, 0, 1) e −6
b. (4, 0, 0) e 4
c. (4, 0, 0) e −6
d. (5, 0, 1) e 4
e. (2, 1, 0) e 4
7
Questão 13. Seja S o subespaço de P3(R) definido por
S =
{
p ∈ P3(R) : p(0) = 2p(1) e p(−1) = 3p(1)
}
.
Assinale, dentre os conjuntos abaixo, aquele que é uma base de P3(R)
contendo uma base de S.
a.
{
t3 − 2, t− 2, t3, t}
b.
{
t3 − 2, t− 2, t2 + 1, t2 − 1}
c.
{
(t− 2)3, (t− 2)2, t− 2, 1}
d.
{
t2, 2t3, 1− t, t− 2}
e.
{
t3, t2, t, 1
}
Questão 14. Considere os planos pi1,pi2 e a reta r definidos abaixo:
pi1 : X = (0, 0, 4) + α(1, 0,−3) + β(0, 1,−2) (α, β ∈ R)
pi2 : 3x− y− 7z− 2 = 0
r : x− 2 = −y− 1 = −z
Então, está correto afirmar que
a. pi1 e pi2 são paralelos e distintos, e pi1 contém r.
b. pi1 e pi2 são ortogonais e pi1 não contém r.
c. pi1 e pi2 são ortogonais e pi1 contém r.
d. pi1 e pi2 são coincidentes e pi1 contém r.
e. pi1 e pi2 são ortogonais e pi2 contém r.
8
Questão 15. Considere as retas r e s definidas por
r : X = (2, 1, 0) + λ(2, 0,−2) (λ ∈ R)
s : x+ 2 = y = z
e a reta t que passa pelos pontos A = (0, 1, 2) e B = (−1, 0, 5). Então,
uma equação vetorial da reta concorrente com r e s e que é paralela à
reta t é
a. X = (−1, 1, 3) + λ(−1,−1, 3) (λ ∈ R)
b. X = (−1,−1, 3) + λ(−1, 1, 3) (λ ∈ R)
c. X = (2, 1, 0) + λ(1, 1, 1) (λ ∈ R)
d. X = (2, 1, 0) + λ(−1,−1, 3) (λ ∈ R)
e. X = (−2, 0, 0) + λ(−1,−1, 3) (λ ∈ R)
Questão 16. Considere os vetores~x = (3, 3, 0) e~y = (−4, 8, 4) de V3, cu-
jas coordenadas estão dadas com respeito a uma base ortonormal. En-
tão, a área do paralelogramo determinadopelos vetores proj~y ~x e proj~x~y
é igual a
a.
√
5
b.
√
13
c. 3
d.
√
11
e.
√
7
9
Gabarito do Aluno
Nome: NUSP:
Tipo de prova:
a b c d e
Questão
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16