ALA - Aula 4 - Matriz Inversa

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 Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se 
X é uma matriz tal que AX = In e XA = In, 
então X é denominada matriz inversa de A e é 
indicada por A-1. Quando existe a matriz 
inversa de A, dizemos que A é uma matriz 
inversível ou não-singular. 
 
 Verifique se existe e, em caso afirmativo, 
 
 determine a matriz inversa de A = 
 
 
 
 
































10
01
3232
8585
10
01
32
85
ba
baba
23
032
185






a
a
a 58
132
085






b
b
b
Ent








52
83 , para AX = I 2. 
 
Chamamos de operações elementares nas 
linhas de uma matriz, às seguintes 
operações: 
 
 i) a troca da ordem de duas linhas da 
matriz; 
 
 ii) a multiplicação uma linha da matriz por 
uma constante diferente de zero; 
 
 iii) a substituição uma linha da matriz por sua 
soma com outra linha multiplicada por uma 
constante diferente de zero. 
 
 Uma matriz elementar é uma matriz obtida 
por meio de operações elementares nas 
linhas de uma matriz identidade. 
 
 
1. Considere a matriz identidade 













1000
0100
0010
0001
I . Ent 
 
 













1000
0100
0050
0001
1E , 













1000
0001
0010
0100
2E , 














1020
0100
0010
0001
3E , s 
 
eleme ntar es obtidas de I , pela aplica
em suas linhas. 
 Se representa a i-ésima linha de I, então, 
estas matrizes foram obtidas da seguinte 
maneira: 
 
 












1000
0100
0010
0001

 22 5 LL 1
1000
0100
0050
0001
E












 












1000
0100
0010
0001

 31 LL
 2
1000
0001
0010
0100
E












 












1000
0100
0010
0001

 244 2 LLL
3
1020
0100
0010
0001
E













 
 Seja A uma matriz quadrada. Se uma 
seqüência de operações elementares nas suas 
linhas reduz A a I, então a mesma seqüência 
de operações elementares transforma I em . 
 
1. Ache a inversa da matriz 













321
121
121
A
 












100321
010121
001121




 21 LL












100321
001121
010121



133
122
LLL
LLL













110440
011240
010121




 22
4
1
LL










110440
0
4
1
4
1
2
1
10
010121



233
211
4
2
LLL
LLL





















101200
0
4
1
4
1
2
1
10
0
2
1
2
1
001




 33
2
1
LL


















2
1
0
2
1
100
0
4
1
4
1
2
1
10
0
2
1
2
1
001




 322
2
1
LLL



















2
1
0
2
1
100
4
1
4
1
2
1
010
0
2
1
2
1
001























2
1
0
2
1
4
1
4
1
2
1
0
2
1
2
1
1A
. 
Assim