Problema de Valor Inicial

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Exerc´ıcios:
1) Encontre o valor de yo para o qual a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
y
′ − y = 1 + 3 sin t, y(0) = yo
permanece finita quanto t→∞.
2) Considere o problema de valor inicial
y
′ − 3
2
y = 3t+ 2et, y(0) = yo.
Encontre o valor de yo que separa as soluc¸o˜es que crescem positivamente quando t→
∞ das que crescem em mo´dulo com sinal negativo. Como a soluc¸a˜o correspondente
a esse valor cr´ıtico de yo se comporta quando t→∞ ?
3) Mostre que todas as soluc¸o˜es de
2y
′
+ ty = 2
temdem a um limite quando t→∞ e encontre o valor desse limite.
(Sugesta˜o: Considere a soluc¸a˜o geral e use a regra de L’ Hoˆpital).
4) Mostre que, se a e λ sa˜o constantes positivas e se b e´ qualquer nu´mero real, enta˜o
toda soluc¸a˜o da equac¸a˜o
y
′
+ ay = be−λt
tem a propriedade que y → 0 quando t→∞.
(Sugesta˜o: Considere os casos a = λ e a 6= λ separadamente.)
5 Metodo da Variac¸a˜dos Paraˆmetros. Considere o seguinte me´todo de resoluc¸a˜o
da equac¸a˜o linear geral de primeira ordem:
y
′
+ p(t)y = g(t) (i)
a) Se g(t) = 0 para todo t, mostre que a soluc¸a˜o e´
y(t) = C exp
[
−
∫
p(t)dt
]
, (ii)
one C e´ constante.
b) Se g(t) na˜o for identicamente nula, suponha que a soluc¸a˜o da Eq. (i) e´ da forma
y(t) = C(t)
[
−
∫
p(t)dt
]
, (iii)
onde C, agora; e´ uma func¸a˜o de t. Substituindo y na equac¸a˜o diferencial dada
pro essa expressa˜o, mostre que C(t) tem que satisfazer a condic¸a˜o
C
′
(t) = g(t)
[∫
p(t)dt
]
(iv)
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c) Encontre C(t) da Eq. (iv). Depois substitua C(t) na Eq. (ii) pela expressa˜o
encontrada e determine y.
6) Use o metodo da variac¸a˜o dos paraˆmetros para resolver a equac¸a˜o diferencial dada
a) y
′
+ 2y = t e2t.
b) y
′
+ (1/t)y = 3 cos 2t, t > 0
c) 2y
′
+ y = 3t2.
e) ty
′
+ 2y = sin t, t > 0.
7) Para toda equac¸a˜o diferencial, determine todas as soluc¸o˜es de equil´ıbrio e determine
se sa˜o poc¸os, fontes, ou ningum dos dois. Desenhe o retrato de fase (i.e. x
′
contra
x).
a) x
′
= x3 − 3x
b) x
′
= x4 − x2
c) x
′
= cos x
d) x
′
= sin2 x
e) x
′
= |1− x2|
8) Considere a func¸a˜o cujo grafico e´ desenhado (esboc¸ado) na Figura 1. Esboc¸e o
4
f(x)
b
x x x x x01 2 3
Figure 1: O grafico da func¸a˜o f .
retrato de fase correspondente a` equac¸a˜o diferencial
x
′
= f(x).
4
9) Ex. 1.1, pag. 20 (Rosa): Do Ca´lculo, determine quais func¸o˜es trigonome´tricas
satisfazem a equac¸a˜o diferencial de segunda ordem
d2y
dx2
= −y.
Verifique que combinac¸o˜es lineares dessas func¸o˜es tambe´m satisfazem a equac¸a˜o
diferential, i.e. se y1(x) e y2(x) sa˜o soloc¸o˜es, enta˜o y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)
tambe´m e´ soluc¸a˜o. Ache, tambe´m, a soluc¸a˜o com as condic¸o˜es de contorno
y(0) = 2 e y(pi/2) = 1.
10) Considere a equac¸a˜o logistica
dN
dt
= r
(
1− N
K
)
N.
Determine os pontos cr´ıtico (pontos de equil´ıbrio) e classificar cada um deles quanto
a` estabilidade ou a` instabilidade.
11) Nos Problemas a ate´ f , desenhar dN/dt contra N ; determinar os pontos cri´ıticos
(pontos de equil´ıbrio) e classificar cada um deles quanto a` estabilidade ou a` insta-
bilidade.
a) dN/dt = aN + bN2, a > 0, b > 0, No ≥ 0.
b) dN/dt = aN + bN2, a > 0, b > 0, −∞ ≤ No ≤ ∞.
c) dN/dt = N(N − 1)(N − 2), No ≥ 0.
d) dN/dt = eN − 1, −∞ < No <∞.
e) dN/dt = e−N − 1, −∞ < No <∞.
12) (Boyce & DiPrima pag. 46, ex. 7). Soluc¸o˜es de equil´ıbrio semi-esta´veis. Em
alguns casos, uma soluc¸a˜de equil´ıbrio constante tem a propriedade de as soluc¸o˜es que
esta˜o em um lado da soluc¸a˜o de equil´ıbrio tenderem a se aproximar desta soluc¸a˜o,
enquanto as soluc¸o˜es que esta˜o do outro lado tenderem a se afastar dela (ver Figura
2). Neste caso a soluc¸a˜o de equil´ıbrio se diz semi-esta´vel.
a) Consideremos a equac¸a˜o
dN
dt
= k(1−N)2, (1)
onde k e´ uma constante positiva. Mostrar que N = 1 e´ o u´nico ponto cr´ıtico, com
a soluc¸a˜o de equil´ıbrio que lhe corresponde ϕ(t) = 1.
b) Trac¸ar as curvas de dN/dt contra N. Mostrar que N cresce como
func¸a˜o de t para N < 1 e tambe´m para N > 1. Assim, as soluc¸o˜es abaixo da soluc¸a˜o
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(t)=k
t0
k
N
q (t)=k
N
t
(a) (b)
q
Figure 2: Nos dois casos, a soluc¸a˜o de equil´ıbrio ϕ(t) e´ semi-esta´vel. a) dN/dt ≤ 0; b)
dN/dt ≥ 0.
de equil´ıbrio se aproximam da soluc¸a˜o enquanto as que esta˜o acima se afastam dela.
Enta˜o ϕ(t) = 1 e´ semi-esta´vel.
c) Resolver Eq. (1) de acordo com a condic¸a˜o N(0) = No e confirmar as concluso˜es
de parte b).
13) Considere a equac¸a˜o
dx
dt
= f(x)g(t)
onde
f(x) = x2 g(t) = cos t.
a) Identifique os zeros de f(x), que da˜o as soluc¸o˜es estaciona´rias.
b) Resolve a equac¸a˜o por separac¸a˜o de varia´veis para achar as soluc¸o˜es na˜o-
estaciona´rias.
c) Identifique claramente os intervalos de definic¸a˜o de cada soluc¸a˜o.
Em particular, determine o maior intervalo da forma ]a, b[, com a < 0 < b, no
qual a soluc¸a˜o que satisfaz x(0) = 1 esta´ definida.
d) Determine os poss´ıveis valores dos paraˆmetros da famı´lia de soluc¸o˜es.
14) Considere a equac¸a˜o
dx
dt
= f(x)g(t)
onde
f(x) = (x− 1)2 g(t) = 2t.
a) Identifique os zeros de f(x), que da˜o as soluc¸o˜es estaciona´rias.
b) Resolve a equac¸a˜o por separac¸a˜o de varia´veis para achar as soluc¸o˜es na˜o-
estaciona´rias.
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c) Identifique claramente os intervalos de definic¸a˜o de cada soluc¸a˜o.
d) Determine os poss´ıveis valores dos paraˆmetros da famı´lia de soluc¸o˜es.
15) (Ex. 1.1, Pag 89, Rosa) Ache fo´rmulas expl´ıcitas para o conjunto de soluc¸o˜es das
seguintes equac¸o˜es diferencias, onde os paraˆmetros λ e γ sa˜o positivos:
a)
dx
dt
= ex,
b)
dx
dt
= λx− γx2,
c)
dx
dt
= λx− x3,
d)
dx
dt
= cos2 x,
e)
dx
dt
= t
√
x,
f)
dx
dt
= x3 sinx.
16) (Ex. 1.2, Pag 89, Rosa) Trac¸e o gra´fico dos va´rios tipo de soluc¸o˜es das equac¸o˜es do
exerc´ıcio 9.
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