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UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Instituto de Matemática e Estatística 
Departamento de Matemática Aplicada 
Disciplina: Matemática Discreta 
Professor: Augusto César de Castro Barbosa 
3a lista de exercícios 
__________________________________________________________________ 
 
Princípio da Indução Matemática 
 
1 – Use o princípio de indução matemática para provar as identidades que 
seguem. 
 
(a) 
6
)1n2)(1n(nk
n
1k
2 ++
=∑
=
 
(b) 
3
)2n)(1n(n1)i(i
n
1i
++
=+∑
=
 
(c) 
1n
n
1)j(j
1n
1j +
=
+∑
=
 
(d) 1n
k
11
n
1k
+=





+∏
=
 
(e) 
2
)1n(n)1(i)1(
1nn
1i
21i +−
=−
−
=
−∑ 
 
 
2 – Use o princípio de indução matemática para provar as desigualdades que 
seguem. 
 
(a) 
n
12
k
1n
1k
2 −≤∑
=
, para todo inteiro positivo n 
(b) ∏
=
<
n
1j
n j2 , para 4n ≥ 
 
3 – Prove pelo princípio da indução matemática que o termo geral da progressão: 
 
(a) aritmética é: r)1n(aa 1n −+= 
(b) geométrica é: 1n1n qaa −= 
 
 
4 – Prove pelo princípio da indução matemática que a fórmula para a soma dos 
termos de uma progressão: 
 
(a) aritmética é: 
2
n)a(aS n1n
+
= 
(b) geométrica é: 
1q
aqaS 1nn
−
−
= 
 
 
5 – Considere nF o número de Fibonacci. Prove, usando o princípio da indução 
matemática, que, para todo inteiro positivo n : 
 
(a) ∑
=
+=
n
1j
1nn
2
j FFF 
(b) ∑
=
−
=
n
1j
2n12j FF 
 
6 – Provar, pelo princípio da indução matemática, que, para todo inteiro positivo 
n , 
 
nn
n 2
51
5
1
2
51
5
1F 





−
−




 +
= , 
 
onde 1F , 2F , ... é a sequência de Fibonacci.