Espaço Vetorial Mini Resumo

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Profª Drª Magda Vieira da Silva Oliveira 
 
 
 
1. ESPAÇO VETORIAL 
 
Em semestres anteriores foi ensinado algumas propriedades e fizeram cálculos 
com operações de vetores em ℝ2 , ℝ3, … ℝ𝑛 tanto em Geometria Analítica como em 
Cálculo II. 
Agora é preciso analisar sua estrutura básica. O conceito de espaço vetorial ocorre 
em muitas aplicações tanto na Matemática, nas Ciências e na Engenharia. 
Esse conceito consiste simplesmente em uma generalização do ℝ𝑛 construida de 
maneira cuidadosa. 
Ao estudar as propriedades e a estrutura de um espaço vetorial, estaremos 
estudando não apenas as propriedades do ℝ𝑛 em particular, como também de muitos 
outros espaços vetoriais importantes. 
O conjunto ℝ2 = {(𝑥, 𝑦) ∖ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ} é interpretado geometricamente como sendo o 
plano cartesiano. Um par (x,y) pode ser encardo como um ponto (figura 1 a) e, nesse 
caso, x e y são coordenadas, ou pode ser encarado como um vetor (figura 1 b) e, nesse 
caso, x e y são componentes (ou coordenadas) 
 
 
(a) (b) 
(b) (b) 
Figura 1 – Representação no plano cartesiano 
Essa ideia, em geral ao plano, estende-se para o espaço tridimensional que é a 
interpretação geométrica do conjunto ℝ3. Embora se perca a visão geométrica de 
espaços com dimensão acima de 3, é possível estender ideia a espaços como ℝ4,
ℝ5, … ℝ𝑛.. 
A forma de se trabalhar nesse espaço é idêntica â aquela em ℝ2 e em ℝ3. Por 
exemplo se dois vetores u e v de ℝ𝑛. E  um escalar, define-se: 
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a) u=v se, e somente se, a1=b1, a2=b2, ... e an=bn; 
b) u+v= =(a1+b1,a2+b2, ..., an +bn) 
c) u=(A1, a2,..., an) 
d) u,v=a1b1+a2.b2+...+an.bn 
e) |𝑢| = √𝑢. 𝑢√𝑎1
2 + 𝑎2
2 + ⋯ + 𝑎𝑛2 
Essa ideia se estende ao conjunto ℝ𝑛. e o conjunto das matrizes reais de ordem 
mxn, representado por M(m,n). 
Como nesses casos estão definidas as de adição (+) de elementos de V e uma 
operação de multiplicação (.) de elementos de V por escalares de um conjunto V, 
satisfazendo uma série de propriedades. Conforme já comento anteriormente, os 
conjuntos ℝ𝑛. e M(n,m), munidos desse par de operações apresentam uma “estrutura” 
comum em relação a essas operações. Por esta razão não só vale para dois conjuntos 
com essas operações mas muitos, razão porque será estudado simultaneamente. 
Esses conjuntos serão chamados de ESPAÇOS VETORIAIS. 
 
1.1. ESPAÇOS VETORIAIS 
Seja um conjunto V, não-vazio, sobre o qual estão definidas as operações adição e 
multiplicação por escalar, isto é: 
{
∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 ⇔ 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑉
 ∀𝛼 ∈ ℝ 𝑒 ∀𝑢 ∈ 𝑣 ⇔ 𝛼𝑢 ∈ 𝑣
 
O conjunto V com essas duas operações é chamado espeço vetorial real (ou 
espaço vetorial sobre V) se forem verificados os seguintes axiomas: 
A) Em relação à adição: 
A1)  u,v,w ∈ V: (u+v)+w = u+(v+w) Associativa da adição 
A2) u,v ∈ V segue que: u+v=v+u Comutativa da adição 
A3) Existe 0V (elemento nulo) tal que para todo v ∈ V: 0 + v = v 
Existência de elemento neutro 
A4) Para cada v ∈ V,  (– v) ∈ V (elemento oposto) tal que v+(–v)=0 
Existência de elemento simétrico 
 
M) Em relação à multiplicação por escalar: 
M1) ,  ∈ ℝ e todo v ∈ V ⇔ (.).v = .(.v) 
Associativa da multiplicação por escalar 
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M2) ,  ∈ ℝ e todo v ∈ V ⇔ (+).v = .v+.v 
Distributiva de vetor em relação a adição de escalar 
M3) Para todo escalar  ∈ ℝ e  v,w ∈ V ⇔ .(v+w) = .v + .w 
Distributiva de escalar em relação a adição de vetores 
M4)  v ∈ V ⇔ 1.v = v Elemento neutro multiplicativo 
 
1.1.1. Propriedades em um espaço vetorial 
Se V é um espaço vetorial valem as propriedades: 
a) Para todo  ∈ ℝ segue que .0=0. 
b) O vetor nulo 0 é único. 
c) Para todo v ∈ V tem-se que 0.v=0. 
d) Para cada v ∈ V o vetor oposto – v ∈ V é único. 
e) Seja  ∈ ℝ e v ∈ V. Se k.v=0 então k=0 ou v=0. 
f) Se v+u=v+w para u,v,w ∈ V, então u=w. 
g) Quaisquer que sejam v, w ∈ V, existe um único u ∈ V tal que v+u=w. 
h) Para todo  ∈ ℝ e para todo v ∈ V segue que: (–).v = –(.v) = .(–v) 
i) Para todo  ∈ ℝ e para todo v ∈ V segue que (–)(–v) = ,v 
j) Se 1, 2, ... , n, ∈ ℝ e v ∈ V, então: (1+2+…+n)v = 1v + 2v+…+n 
k) Se  ∈ ℝ e v1,v2,…,vn v ∈ V, então:  (v1+v2+…+vn) = v1 + v2+…+vn 
 
1.1.2. Exemplos de espaços vetoriais 
a) Todo conjunto é um espaço vetorial sobre o próprio corpo com as operações 
usuais de adição e multiplicação. 
b) O conjunto ℝ dos números reais é um espaço vetorial sobre o conjunto ℚ dos 
números racionais com as operações de adição e multiplicação de ℝ. 
c) O conjunto ℂ dos números complexos é um espaço vetorial sobre o conjunto ℝ 
dos números reais com as operações de adição e multiplicação de ℂ. 
d) R²={(x,y): x ℝ, y ℝ } é um espaço vetorial sobre ℝ com as operações de adição 
e multiplicação por escalar definidas por: { 
ℝ n={(x1,x2,…,xn): xiR, i=1,2,…,n} é um espaço vetorial sobre ℝ com as 
operações de adição e de multiplicação por escalar definidas por: 
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) 
 (x,y)=( x, y) 
 
 
 
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O conjunto M(n,n) das matrizes quadradas de ordem n com elementos de 
um conjunto ℝ𝑛. é um espaço vetorial sobre ℝ𝑛.. 
 
1.1.3. Exemplos a resolver 
1. Verificar se o conjuntos a seguir é espaço vetoriail, indicando os axiomas 
durante a verificação: 
a) S={(x,y)R2}, definido pelas seguintes operações: 
{
(𝑥, 𝑦) + (𝑎, 𝑏) = (𝑎, 𝑏) 𝑎𝑑𝑖çã𝑜 𝑛ã𝑜 𝑢𝑠𝑢𝑎𝑙
𝛼(𝑥, 𝑦) = (𝛼𝑥, 𝛼𝑦) 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑢𝑠𝑢𝑎𝑙
 
 
1.2. SUBESPAÇO VETORIAL 
Seja (V,+,.) um espaço vetorial sobre um conjunto V e S um subconjunto não vazio 
de V. S é um subespaço vetorial de V se V for um espaço vetorial, com as operações de 
adição e multiplicação por escalar definidas para V. É comum escrever (S,+,.) para um 
subespaço. 
Para mostrar que (S,+,.) é um subespaço vetorial, podemos mostrar que esta 
estrutura possui as oito propriedades de espaço vetorial V ou usar uma das duas 
caracterizações seguintes: 
 
1.2.1. Caracterização de subespaço vetorial 
Teorema I: Um subconjunto S não-vazio, de um espaço vetorial V é um subespaço 
vetorial de V se estiver satisfeita as condições: 
i) Se v,w S, então v+w S. 
 ii) Se  ℝ e v S, então .v S. 
Teorema II: Um subconjunto S não-vazio, de um espaço vetorial V é um subespaço 
vetorial de V se estiver satisfeita as condições: 
i) O vetor nulo de V pertence ao conjunto S. 
ii) Se v,w S e p, q K, então p.v + q.w S. 
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Observação: Muitas vezes usamos a palavra subespaço no lugar de subespaço 
vetorial e espaço ao invés de espaço vetorial quando não existe possibilidade de 
dúvida. 
Com base nos teoremas I e II para verificar se um conjunto é subespaço podemos 
averiguar as seguintes condições: 
i) Verificar se S∅  verificar se 0  S 
ii) Se u, v S, então u+v S. 
iii) Se  ℝ e v S, então .v S. 
Se todas as condições forem válidas S é subespaço. 
 
1.2.3. Observação 
Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o conjunto {0}, 
chamado subespaço zero ou subespaço nulo, e o próprio espaço vetorial V. esses 
dois são os subespaços triviais de V. Os demais subespaços são denominados 
subespaços próprios de V. 
Por exemplo, os subespaços triviais de V= ℝ3 são {(0,0,0)} (verificar as condições 
do Teorema I) e o próprio ℝ3. Os subespaços próprios de ℝ3 são as retas e os 
planosque passam pela origem. 
Para ℝ2, os subespaços triviais são: {(0,0)} e ℝ2, enquanto os subespaços próprios 
são as retas que passam pela origem. 
 
1.2.4. Exemplos a resolver 
 
1. Verificar S e são subespaços vetoriais de V e indicar quando as condições estão 
satisfeitas ou não. 
a) V= ℝ2 e S={(x,y)  ℝ2/ y=√𝑥} 
b) V= ℝ3 e S={(x,y,0); x,y,z  ℝ}