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Aula 3: Equac¸o˜es separa´veis Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais To´pico: Equac¸o˜es diferenciais de 1a ordem Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves Agora iremos tratar x como sendo a varia´vel independente. As equac¸o˜es diferenciais ordina´rias separa´veis sa˜o aquelas que podem ser excritas na forma g(y) dy dx = f(x). Integrando ambos os lados em relac¸a˜o a x : ∫ g(y) dy dx dx = ∫ f(x)dx + c ⇒ ∫ g(y)dy = ∫ f(x)dx + c Exemplo 1: Resolva a equac¸a˜o diferencial dy dx = x2 y2 . Ache a soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o que satisfac¸a a condic¸a˜o inicial y(0) = 2 y2 dy dx = x2 ∫ y2 dy dx dx = ∫ x2dx y3 3 = x3 3 + c onde c e´ uma constante qualquer. Notem que poder´ıamos ter usado uma constante c1 no lado esquerdo e uma constante c2 no lado direito, mas decidimos combina´-los em uma so´ constante no lado direito, fazendo c = c2 − c1. 1 Isolando y temos y = 3 √ x3 + 3c. Quando x = 0⇒ y(0) = 3√3c = 2⇒ 3c = 8⇒ c = 8 3 . Assim a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´ y = 3 √ x3 + 8 Exemplo 2: Resolva a equac¸a˜o diferencial dy dx = 6x2 2y + cos y∫ dy dx dx = ∫ 6x2 2y + cos y dx ∫ dy = ∫ 6x2 2y + cos y dx ∫ 2y + cos ydy = ∫ 6x2dx y2 + seny = 2x3 + c onde c e´ uma constante. Esta equac¸a˜o fornece uma soluc¸a˜o geral impl´ıcita. Nesse caso e´ imposs´ıvel resolver a equac¸a˜o para expressar y explicitamente como uma func¸a˜o de x. Exemplo 3: Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial: 2y dy dx = −4x ou 2yy′ = −4x Integrando ambos os lados em relac¸a˜o a x : ∫ 2y dy dx dx = −4 ∫ xdx 2 ∫ 2ydy = −4x 2 2 + c 2y2 2 = −4x 2 2 + c y2 + 2x2 = c onde c e´ uma constante. Exemplo 4: Encontre a soluc¸a˜o do PVI: dy dx = 2x− 1 3y2 − 3 y(1) = 0 . Seja (3y2 − 3)dy = (2x− 1)dx. Integrando ambos os lados em relac¸a˜o a x : ∫ (3y2 − 3)dy dx dx = ∫ (2x− 1)dx ∫ (3y2 − 3)dy = ∫ (2x− 1)dx 3y3 3 − 3y = 2x 2 2 − x + c A soluc¸a˜o geral e´: y3 − 3y = x2 − x + c Como y(1) = 0 ⇒ c = 0 Logo a soluc¸a˜o do PVI e´: y3 − 3y − x2 + x = 0 Exemplo 5: Encontre a soluc¸a˜o do PVI. y′ = (1− 2x)y2 y(0) = −1 6 3 E´ equac¸a˜o diferencial separa´vel pois 1 y2 y′ = (1− 2x) Integrando ambos os lados em relac¸a˜o a x :∫ 1 y2 dy = ∫ (1− 2x)dx −1 y = x− x2 + c −1 x− x2 + c = y ⇒ y = 1 x2 − x− c esta e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial dada. Como y(0) = −1 6 ⇒ c = 6 Assim a soluc¸a˜o do PVI e´ y = 1 x2 − x− 6 4
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