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Aula 3: Equac¸o˜es separa´veis
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
To´pico: Equac¸o˜es diferenciais de 1a ordem
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
Agora iremos tratar x como sendo a varia´vel independente. As equac¸o˜es
diferenciais ordina´rias separa´veis sa˜o aquelas que podem ser excritas na forma
g(y)
dy
dx
= f(x).
Integrando ambos os lados em relac¸a˜o a x :
∫
g(y)
dy
dx
dx =
∫
f(x)dx + c
⇒
∫
g(y)dy =
∫
f(x)dx + c
Exemplo 1:
Resolva a equac¸a˜o diferencial
dy
dx
=
x2
y2
. Ache a soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o que
satisfac¸a a condic¸a˜o inicial y(0) = 2
y2
dy
dx
= x2
∫
y2
dy
dx
dx =
∫
x2dx
y3
3
=
x3
3
+ c
onde c e´ uma constante qualquer.
Notem que poder´ıamos ter usado uma constante c1 no lado esquerdo e uma
constante c2 no lado direito, mas decidimos combina´-los em uma so´ constante
no lado direito, fazendo c = c2 − c1.
1
Isolando y temos y = 3
√
x3 + 3c.
Quando x = 0⇒ y(0) = 3√3c = 2⇒ 3c = 8⇒ c = 8
3
.
Assim a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´ y = 3
√
x3 + 8
Exemplo 2:
Resolva a equac¸a˜o diferencial
dy
dx
=
6x2
2y + cos y∫
dy
dx
dx =
∫
6x2
2y + cos y
dx
∫
dy =
∫
6x2
2y + cos y
dx
∫
2y + cos ydy =
∫
6x2dx
y2 + seny = 2x3 + c
onde c e´ uma constante. Esta equac¸a˜o fornece uma soluc¸a˜o geral impl´ıcita.
Nesse caso e´ imposs´ıvel resolver a equac¸a˜o para expressar y explicitamente
como uma func¸a˜o de x.
Exemplo 3:
Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial:
2y
dy
dx
= −4x
ou
2yy′ = −4x
Integrando ambos os lados em relac¸a˜o a x :
∫
2y
dy
dx
dx = −4
∫
xdx
2
∫
2ydy = −4x
2
2
+ c
2y2
2
= −4x
2
2
+ c
y2 + 2x2 = c
onde c e´ uma constante.
Exemplo 4:
Encontre a soluc¸a˜o do PVI:

dy
dx
=
2x− 1
3y2 − 3
y(1) = 0
.
Seja (3y2 − 3)dy = (2x− 1)dx. Integrando ambos os lados em relac¸a˜o a x :
∫
(3y2 − 3)dy
dx
dx =
∫
(2x− 1)dx
∫
(3y2 − 3)dy =
∫
(2x− 1)dx
3y3
3
− 3y = 2x
2
2
− x + c
A soluc¸a˜o geral e´:
y3 − 3y = x2 − x + c
Como y(1) = 0 ⇒ c = 0
Logo a soluc¸a˜o do PVI e´:
y3 − 3y − x2 + x = 0
Exemplo 5:
Encontre a soluc¸a˜o do PVI.
y′ = (1− 2x)y2 y(0) = −1
6
3
E´ equac¸a˜o diferencial separa´vel pois
1
y2
y′ = (1− 2x)
Integrando ambos os lados em relac¸a˜o a x :∫
1
y2
dy =
∫
(1− 2x)dx
−1
y
= x− x2 + c
−1
x− x2 + c = y ⇒ y =
1
x2 − x− c
esta e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial dada.
Como y(0) = −1
6
⇒ c = 6
Assim a soluc¸a˜o do PVI e´
y =
1
x2 − x− 6
4