Resumo_Calculo_Funcional

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CA´LCULO FUNCIONAL DE MATRIZES
Equipe de Ca´lculo IV do Departamento de Matema´tica
24 de Setembro de 2009
Vamos resolver os problemas discreto e cont´ınuo
un+1 = Aun,
u0 dado
v′(t) = Av(t),
v(0) dado
onde A e´ uma matriz d×d fixa e u e v sa˜o vetores com d coordenadas. Abstrata-
mente, pelo menos, as soluc¸o˜es sa˜o fa´ceis de escrever:
un = A
nu0 e v(t) = e
tAv(0)
(confira!). Queremos agora mostrar receitas para calcular func¸o˜es f(A) de uma
matriz A (os exemplos que nos interessam sa˜o f(x) = xn e f(x) = etx).
Receita: Calcule os autovalores λ1, λ2, . . . , λk de A, (isto e´, as soluc¸o˜es de
det(A−λI) = 0) junto com as multiplicidades m1,m2, . . . ,mk. Agora, voceˆ deve
procurar um polinoˆmio p tal que
p(λ1) = f(λ1), p
′(λ1) = f ′(λ1), . . . , p(m1−1)(λ1) = f (m1−1)(λ1),
...
p(λk) = f(λk), p
′(λk) = f ′(λk), . . . , p(mk−1)(λk) = f (mk−1)(λk).
A matriz procurada, f(A), e´ simplesmente p(A).
Exemplo: Se
A =
 3 −4 −1−3 5 1
21 −32 −7
 ,
λ1 = 1, m1 = 1, λ2 = 0, m2 = 2.
Para calcular etA, basta obter p tal que p(1) = et1, p(0) = et·0, p′(0) = tet·0.
Para satisfazer treˆs pedidos, um polinoˆmio de grau dois, ax2+bx+c, e´ suficiente.
De fato, fac¸a c = 1, b = t, a = et − t− 1. Moral:
etA = (et − t− 1)A2 + tA+ 1 · I.
1
1o Atalho: Se a matriz for diagonaliza´vel, calcule os autovalores λ1, λ2, . . . , λk
e procure um polinoˆmio p tal que
p(λ1) = f(λ1), . . . , p(λk) = f(λk)
De novo f(A) = p(A).
Alia´s, matrizes sime´tricas sa˜o diagonaliza´veis, assim como matrizes com todos
seus autovalores diferentes entre si.
Exemplo: Se
A =
 2 2 32 5 6
3 6 10
 ,
seus autovalores sa˜o 1 e 15 (confira: qual e´ o autovalor duplo?). Como A e´
sime´trica, e´ diagonaliza´vel. Para calcular A1000, procure um polinoˆmio levando 1
a 11000 = 1 e 15 a 151000. Uma mera reta faz isto:
p(x) =
151000 − 1
14
x+
15− 151000
14
.
e
A1000 = p(A) =
 2α + β 2α 3α2α 5α+ β 6α
3α 6α 10α + β

onde
α =
151000 − 1
14
, β =
15− 151000
14
.
Note que se tive´ssemos seguido a receita principal ter´ıamos que achar um polinoˆmio
de grau dois enquanto no presente caso um de primeiro grau e´ suficiente.
2o atalho: Suponha que saibamos o polinoˆmio minimal de A e que suas ra´ızes
sejam λ1, λ2, . . . , λk com multiplicidades m1,m2, . . . ,mk. Procedemos agora com
estes dados exatamente como na receita principal. A vantagem e´ que a multipli-
cidade de uma raiz do polinoˆmio minimal pode ser menor que a multiplicidade de
uma raiz do polinoˆmio caracter´ıstico. Assim o grau do polinoˆmio procurado pode-
ria ser menor do que seria dado pela receita principal. Alias, o primeiro atalho e´
um caso particular deste pois o polinoˆmio minimal de uma matriz diagonaliza´vel
e´ (λ− λ1)(λ− λ2) · · · (λ− λk) onde λ1, λ2, . . . , λk sa˜o os autovalores.
Exemplo: Se
A =

1 0 1 0
0 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 2
 ,
o polinoˆmio minimal e´ (λ − 1)2(λ − 2). Para calcular etA devemos achar um
polinoˆmio de grau dois p(x) = ax2 + bx + c tal que p(1) = et, p′(1) = tet e
2
p(2) = e2t. Uma conta revela:
a = e2t − et(t+ 1)
b = et(3t+ 2)− 2e2t
c = e2t − 2tet
e assim etA = aA2 + bA+ cI.
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