BASES MATEMÁTICAS LIMITES

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BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA - CCE1005 
Semana Aula: 15 
Limites Laterais, Limites envolvendo infinito e Assíntotas 
 
Tema 
Limites e Continuidade 
 
Palavras-chave 
Limites Laterais, Limites envolvendo infinito, assíntota 
 
Objetivos 
Ao término desta aula, o aluno deverá 
Compreender conceito de limite de uma função envolvendo infinito. 
Resolver limites de funções envolvendo infinito. 
Compreender a definição formal de limite. 
Provar o limite de uma função. 
 
 
Estrutura de Conteúdo 
 
Antes de começarmos a aula, é importante que haja uma leitura atenta do Plano de Aula da 
disciplina, seus objetivos, o conteúdo que será apresentado e a bibliografia recomendada. 
Tópicos referentes ao conteúdo específico: Limites. 
Limites no infinito. 
Limites infinitos. 
Assíntotas verticais. 
Assíntotas horizontais. 
Definição Formal de Limite. 
 
1. INTRODUÇÃO/MOTIVAÇÃO. 
Os limites infinitos e no infinito têm tudo a ver com crescimento, decrescimento e 
assíntotas. Com o auxílio da noção de Limite, podemos analisar o comportamento de uma 
função quando a variável cresce "muito", em valor absoluto. Podemos também observar 
quando a variável tende a um valor fixo e a função cresce "muito". 
As assíntotas horizontais ocorrem quando uma função se aproxima de um valor finito, 
ficando muito próxima desse valor, enquanto a variável cresce muito, em valor absoluto, 
enquanto que as assíntotas verticais ocorrem quando a função cresce muito, em módulo, 
enquanto a variável se aproxima de um valor finito. 
 
2. LIMITES INFINITOS 
 
Seja I um intervalo aberto que contém o número real a. Seja uma função definida em I-{a} . 
Dizemos que, quando x se aproxima de a, f(x) cresce (decresce) ilimitadamente e 
escrevemos: 
lim ( )
x a
f x 

 
 
Observe 
2
1
( )f x
x

 em x=0 
 
Exemplo - 
4
( )
2 3
f x
x


 
 
 
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
-1 -0.5 0 0.5 1
1/(x*x)
-10
-5
0
5
10
-10 -5 0 5 10
4/(2*x-3)
0
lim
x
 
 
3/2 
3
2
4
lim
2 3x x


 

 
 
3
2
4
lim
2 3x x


 

 
 
 
 
Atenção: Observe que  não é um número. O limite não existe. O símbolo é apenas uma 
forma particular de expressar a não existência do limite, significa que a função pode assumir 
valores tão grandes quanto quisermos. 
 
Teorema Seja 
( )
( )
( )
p x
f x
q x

. Se o denominador da fração tende a zero enquanto o numerador 
tende a um número qualquer diferente de zero, a fração tenderá a ter um enorme valor 
absoluto, i.e., 
Se 
lim ( ) 0
x a
p x L

 
 e 
lim ( ) 0
x a
q x


 então 
( )
lim
( )x a
p x
q x
 
 
Ou ainda 
Se 
lim ( ) 0
x a
p x L

 
 e 
lim ( ) 0
x a
q x


 e 
 I ) se 
0
)(
)(

xg
xf
 , quando 
ax 
 então 

 )(
)(
lim
xg
xf
ax
 
 II ) se 
0
)(
)(

xg
xf
 , quando 
ax 
 então 

 )(
)(
lim
xg
xf
ax
 
 
Exemplo- 2
2
2 5 1
( ) , 3
6
x x
f x a
x x
 
 
 
 
 a esquerda 
3
( )
lim ( )
( )x
p x
f x
q x

  

 
 a direita 
3
( )
lim ( )
( )x
p x
f x
q x

  

 f não tem limite, finito ou infinito. 
 
Exemplo: 
21 )1(
23
lim


 x
x
x
 Fazendo o estudo do sinal: 
 -2/3 1 
23 x
 - + + 
2)1( x
 + + + 
)()( xgxf
 - + + 
 

 )(
)(
lim0
)(
)(
xg
xf
xg
xf
ax
 
3. LIMITES NO INFINITO 
 
Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a,+). Dizemos que, quando x cresce 
ilimitadamente ( ou indefinidamente ), f(x) se aproxima do número L e escrevemos: 
Lxf
x


)(lim
 
Analogamente podemos definir os seguintes limites: 
 
Lxf
x


)(lim
, 


)(lim xf
x
 e 


)(lim xf
x
 
Exemplo: Observe 
1
( )f x
x

 
 
 
Teorema Se n é um número inteiro e positivo, então: 
 


n
x
xlim
 
 






 imparfornse
parfornse
xn
x
lim
 
 
 
Teorema: Se n é um número inteiro positivo, então 
 
 
 
Teorema : Se 
0,)( 10  n
n
n axaxaaxf 
 é uma função polinomial, então: 
n
n
xx
xaxf

 lim)(lim
 
-100
-50
0
50
100
-1 -0.5 0 0.5 1
1/x
0
1
lim
1
lim 





 nx
n
x xx
lim ( ) 0
lim ( ) 0
x
x
f x
f x




 
 
 
Exemplo : 


535 lim13lim xxxx
xx
 
 
Teorema : Se 
0,)( 10  n
n
n axaxaaxf 
 e 
0,)( 10  m
m
m bxbxbbxg 
 são funções polinomiais, então: 
m
m
n
n
xx xb
xa
xg
xf

 lim
)(
)(
lim
 
 
 
Exemplo : 
5
3
5
3
lim
15
23
lim 


 x
x
x
x
xx
 
 
Exemplo: 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
4. ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS 
 
Limites infinitos são úteis no traçado de gráficos pois podem ser usados para localização de 
assíntotas destes gráficos. 
 
Considere 
2 6
( )
5
x
f x
x



 
0
5
2
lim
5
2
lim
5
32
lim
3
2
3
2


 xx
x
x
x
xxx
0
1
limlimlim
101
100
100101
99100



 xx
x
xx
xx
xxx
 
 
Da mesma maneira, a linha horizontal y = 2 é chamada assíntota horizontal do gráfico, 
pois 
lim ( ) 2
x
f x


 e 
lim ( ) 2
x
f x


 
 
 
A linha reta vertical x = a é chamada assíntota vertical do gráfico da função f se pelo 
menos uma das seguintes condições for válida: 
 
(i) 
lim ( )
x a
f x

 
 
(ii) 
lim ( )
x a
f x

 
 
(iii) 
lim ( )
x a
f x

 
 
(iv) 
lim ( )
x a
f x

 
 
 
 
A linha horizontal y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f 
se pelo menos uma das seguintes condições for válida: 
(i) 
lim ( )
x
f x b


 (ii) 
lim ( )
x
f x b


 
 
 
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-10 -5 0 5 10
(2*x-6)/(x-5)
x = 5 
y = 2 
Note a maneira pela qual o gráfico se 
aproxima da reta vertical x = 5. 
5
lim ( )
x
f x

 
 e 
5
lim ( )
x
f x

 
 
 
Essa reta é chamada de assíntota 
vertical do gráfico 
Antes de começarmos a aula, é importante que haja uma leitura atenta do Plano de Aula da 
disciplina, seus objetivos, o conteúdo que será apresentado e a bibliografia recomendada. 
Tópicos referentes ao conteúdo específico: Limites. 
Definição Formal de Limite. 
 
5. CAUCHY E WEIRSTRASS. 
Deve-se a Cauchy, matemática inglês, em 1821, a primeira definição formal de Limites: 
" Quando os valores sucessivos atribuídos a uma variável aproximam-se indefinidamente 
de um valor fixo, chegando a diferir dele tão pouco quanto se deseje, este último e chamado 
limitede todos os outros. " 
 
A definição formal de limite, com epsilons e deltas, utilizada hoje em dia, deve-se ao 
matemático alemão Karl Weierstrass 
" Diz-se que L é um limite da função f(x) para o valor x=a se, dado qualquer numero 
positivo epsilon, existe um numero positivo delta tal que |f(x)-L|<epsilon para qualquer x 
que verifique 0<|x-a|<delta". 
 
6. DEFINIÇÃO FORMAL 
Comentário: “estar próximo” é muito vago, relativo, carece de precisão. 
Definição: Limite 
Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número a, exceto 
possivelmente no próprio a. Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a é L, e 
escrevemos 
lim ( )
x a
f x L


 
se para todo número  > 0 há um número correspondente  > 0 tal que 
se 
0 x a   
 então 
( )f x L  
  
 
Uma vez que 
x a
 é a distância de x a a e 
( )f x L
 é a distância de f(x) a L, e como  pode 
ser arbitrariamente pequeno, a definição de limite pode ser expressa em palavras da seguinte 
forma: 
 
lim ( )
x a
f x L


 significa que a distância entre f(x) e L pode ser arbitrariamente pequena 
tomando-se a distância de x a a suficientemente pequena ( mas não 0). 
 
Geometricamente, 
lim ( )
x a
f x L


 significa que, para xa, podemos garantir que f(x) se 
encontra em qualquer pequeno intervalo aberto em torno de L se garantirmos que x está em 
um intervalo aberto escolhido em torno de a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo - Prove que 
2
lim 3 7 1
x
x

 
 
a) Uma análise do problema (conjecturando um valor para  ). 
 Dado >0, devemos encontrar um >0 tal que se 
0 ( 2)x    
 temos: (3 7) 1
3 6
3 2
2
2
x
x
x
x




  
 
 
 
 
b) Prova (mostrando que a escolha de  funciona) 
Dado  > 0, 
2

 
 . Se 
0 2x   
 
a a+ a- 
L 
f(a-) 
f(a+) 
L+ 
L- 
x 
y 
f 
0 2
3
( 2)
3
3 2 3
3
3 6
3 7 1
(3 7) 1
x
x
x
x
x
x







   
  
 
 
  
  
 
 
então, 
( )f x L  
 
Ou seja, 
2
lim ( ) 1
x
f x


 
 
 
 
Procedimentos de Ensino 
 
É interessante que se selecione e apresente aplicações existentes na literatura. 
Sempre que possível, procure contextualizar as questões relacionadas ao assunto em 
questão, com fatos atuais e recentes publicados ou divulgados na imprensa. 
É de suma importância que se recomende aos alunos a leitura prévia dos temas a serem 
abordados na aula seguinte. Para isso pode-se informar previamente o conteúdo a ser 
apresentado na aula seguinte. Esse hábito deve ser cultivado durante todas as aulas. 
 Aconselhar aos alunos que resolvam novamente os problemas propostos e/ou resolvidos 
em sala de aula, pois essa atividade ajuda a sedimentar o conhecimento e a esclarecer 
dúvidas quanto à aplicação das técnicas. 
 
Estratégias de Aprendizagem 
 
Sugestão de Objeto de Aprendizagem: 
 
http://www.im.ufal.br/professor/thales/tics/1-deflimite/01_deflimite.html 
 
No site sugerido acima, há um objeto de aprendizagem no qual podemos definir os valores 
de a, L e e, e a própria função f. Pode se tentar encontrar um valor para d que satisfaça a 
condição da definição formal. Se L for realmente o limite, sempre será possível encontrar d 
para qualquer e, por menor que este seja. 
 
 
Indicação de Leitura Específica 
Sugerimos a leitura do material didático referente à Limites, e a resolução dos exercícios 
relacionados. 
 
Sugestão de vídeos: 
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/limits_topic/limits-infinity/v/limits-
and-infinity 
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/limits_topic/limits-infinity/v/limits-
at-positive-and-negative-infinity 
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/limits_topic/limits-infinity/v/more-
limits-at-infinity 
 
 Sugestão de exercícios resolvidos: 
http://www.professores.uff.br/salete/cdii/a2.pdf 
 
http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites4.php 
http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 
matematiques.com.br/arquivos/doc_calculo__752171686.ppt 
 
 
Sugestão de Leitura: 
http://www.mathlynx.com/online/pt_calc1var_limits_at_infinity 
 
 
 
 
Recursos 
 
Além dos recursos físicos oferecidos pela sala de aula, como quadro branco, é proveitoso 
fazer uso do Laboratório de informática com o intuito de se utilizar os softwares de traçado 
de gráficos. 
Sugerimos o site www.somatematica.com.br , no qual se encontram diversos softwares free 
para a construção de gráficos e melhor visualização dos conceitos dados. O deadline é um 
bom exemplo. Sinalizamos também o site www.wolframalpha.com como um excelente 
recurso. Além de traçar gráficos, fornece uma visualização do limite da função dada, 
crescimento e decrescimento, assíntotas, dentre outras funcionalidades. 
Recomendamos a leitura do capítulo referente a Limites no material didático: Limites 
infinitos e Limites no infinito. 
Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Calculo 
disponíveis. 
 
Aplicação: articulação teoria e prática 
 
1. Determine 
x
xsen
x cos1
lim
2
0 
 
(a) 2 
(b) 1 
(c)0 
(d) ½ 
 
 
2. Determine x
x x
5
1
1lim 







 
(a) e1/5 
(b) e5 
(c) 0 
(d)1 
 
3. Determine 
253
14
lim
2 

 xx
x
x
 
 
(a) 3/4 
(b) 0 
(c) 1 
(d) 4 
 
 
4. Usando a definição de limite, mostre que lim
𝑋→1
(5𝑥 + 4) = 9 
 
5. Usando a definição de limite, mostre que lim
𝑥→−2
(3𝑥 + 1) = −5 
 
 
 
 
Avaliação 
 
1. Determine 
x
xsen
x cos1
lim
2
0 
 
(a) 2 
(b) 1 
(c)0 
(d) ½ 
 
Resp: (a)2 
 
2. Determine x
x x
5
1
1lim 







 
(a) e1/5 
(b) e5 
(c) 0 
(d)1 
Resp: (b) e5 
 
3. Determine 
253
14
lim
2 

 xx
x
x
 
 
(a) 3/4 
(b) 0 
(c) 1 
(d) 4 
Resp: (b) 0 
 
 
4. Usando a definição de limite, mostre que lim
𝑋→1
(5𝑥 + 4) = 9 
Chave de resposta: 
 
 
 
5. Usando a definição de limite, mostre que lim
𝑥→−2
(3𝑥 + 1) = −5 
Chave de resposta: 
 
 
Considerações Adicionais 
 
Recomendamos ainda a pesquisa por questões envolvendo Limites nas últimas provas de 
vestibulares, ENEM, provas de concursos, exames de qualificação da UERJ, olimpíadas de 
Matemática, de modo a aprofundar o conhecimento.