Resolução VA2 - 2012.1 Matemática Discreta

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Correção da segunda VA de Matemática Discreta II 
BCC – UFRPE 2012/1 
Rodrigo de Souza 
 
Exercício 1 
a) Os invertíveis em Z8 são {3, 5, 7} e os divisores de zero são {2, 4, 6}. Em Z23, como 23 é 
primo, todos os elementos > 1 são invertíveis e não há divisores de zero. 
b) É falso. Em Z8, o elemento 2 não tem um inverso. 
Exercício 2 
 É verdadeiro. 
 Suponha que o elemento a em Zn não seja um divisor de zero. Então, a e n não são 
relativamente primos. Então, existe um inteiro d > 1 que divide a e n. Seja q o quociente da 
divisão de n por d (note que q pertence a Zn). Então, q multiplicado por a é um múltiplo de n, e 
portanto é igual a 0. Ou seja, a é um divisor de zero. 
Exercício 3 
 Seja f: G  H um isormofismo. Para elementos a e b quaisquer do grupo H, podemos 
encontrar x e y em G tais que f(x) = a e f(y) = b, pois f é bijetora. Como G é abeliano, xy = yx. 
Como f é um isomorfismo, f(xy) = f(x)f(y) e f(yx) = f(y)f(x). Concluímos que f(x)f(y) = f(y)f(x), ou 
seja, ab = ba. Como a e b são arbitrários, concluímos que H é abeliano. 
Exercício 4 
 Resta demonstrar que o produto de matrizes é comutativo e toda matriz tem um 
inverso, considerando apenas esse conjunto de matrizes (vamos chamar de conjunto das 
matrizes diagonais). 
Sejam A e B matrizes diagonais quaisquer. Sejam a1, ..., an os elementos na diagonal de 
A, e b1, ..., bn os da diagonal de B. Pela definição de produto de matrizes, AB é uma matriz 
diagonal, e os elementos na sua diagonal são a1 b1, ..., an bn, o que é igual a b1 a1, ..., bn an, 
precisamente os elementos na diagonal de BA. Então, AB = BA. 
O inverso de A é a matriz A-1 cuja diagonal é a1
-1, ..., an
-1. De fato, os elementos na 
diagonal de AA-1 são todos iguais a 1. 
Exercício 5 
 Os invertíveis são (1, -1), (-1, 1), (-1, -1). 
 Os divisores de zero são todos os pares da forma (x, 0) ou (0, x), com x diferente de 0.